2025年中考数学二轮复习讲与练专题03 函数、方程及不等式的应用（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc160094594" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc160447441" 考点一 函数、方程及不等式的应用
\l "_Tc160447442" \l "_Tc160094596" 【真题研析·规律探寻】
\l "_Tc160447443" 题型01 坐标方法的简单应用
\l "_Tc160447444" 题型02 从函数图象上获取信息
\l "_Tc160447445" 题型03 实际问题与一次方程（组）
\l "_Tc160447446" 类型一 一元一次方程与实际问题
\l "_Tc160447447" 类型二 列二元一次方程组
\l "_Tc160447448" 类型三 二元一次方程组与实际问题
\l "_Tc160447449" 题型04 分式方程的实际应用
\l "_Tc160447450" 类型一 列分式方程
\l "_Tc160447451" 类型二 分式方程与实际问题
\l "_Tc160447452" 题型05 不等式（组）的实际应用
\l "_Tc160447453" 题型06 一元二次方程的实际应用
\l "_Tc160447454" 题型07 一次函数的实际应用
\l "_Tc160447455" 类型一 行程问题
\l "_Tc160447456" 类型二 最大利润问题
\l "_Tc160447457" 类型三 几何问题
\l "_Tc160447458" 类型四 分配问题
\l "_Tc160447459" 类型五 其它问题
\l "_Tc160447460" 题型08 反比例函数与实际问题
\l "_Tc160447461" 题型09 二次函数与实际问题
\l "_Tc160447462" 类型一 销售问题
\l "_Tc160447463" 类型二 拱桥问题
\l "_Tc160447464" 类型三 图形问题
\l "_Tc160447465" 类型四 图形运动问题
\l "_Tc160447466" 类型五 投球问题
\l "_Tc160447467" \l "_Tc160094605" 【好题必刷·强化落实】
考点一 函数、方程及不等式的应用
题型01 坐标方法的简单应用
利用隐含的平面直角坐标系确定地理位置的坐标的一般步骤：
1)根据已知地理位置的坐标找出原点的位置:
2)根据原点的位置建立平面直角坐标系;
3)由平面直角坐标系得到其他地理位置的坐标.
用坐标表示地理位置确定物体位置的方法：
有行列定位法、方向角+距离定位法、经纬定位法，最常用的是用平面直角坐标系中点的坐标来表示位置解答此类问题的关键是建立平面直角坐标系，而建立平面直角坐标系的关键是确定坐标原点,确定坐标原点的位置一般分两种情况:(1)题目隐含条件中已经给定:(2)任意选择，自建坐标系.
1．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）
【答案】D
【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学楼的位置可得答案．
【详解】解：如图，根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），画图如下：
∴教学楼的坐标为：(2,2).
故选D
【点睛】本题考查的是根据位置确定点的坐标，熟练的根据已知条件建立坐标系是解本题的关键．
2．（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【答案】A
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
∴PH=22PA=32km，故选项A错误；
选项B：站在公路上向西南方向看，公路l的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路l的走向是北偏东45°，故选项C正确；
选项D：从点P向北走3km后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=12AP=3，故再向西走3km到达l，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
3．（2019·浙江金华·统考中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75º方向处B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处D．在南偏东75º方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【详解】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，
故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
题型02 从函数图象上获取信息
从函数图象中获取信息的方法
(1)首先弄清坐标轴所表示的意义：x轴和y轴上的点分别表示自变量和因变量，要弄清自变量与因变量及其取值范围是什么:
(2)弄清图象上的点所表示的意义：由该点向x轴和y轴分别作垂线，当自变量取x轴上的垂足所对应的数时，因变量取y轴上的垂足所对应的数.
(3)弄清图象上的最高点和最低点分别表示的意义：最高点对应着函数的最大值，最低点对应着函数的最小值，进而求出函数的取值范围,
(4)弄清图象上的上升线、下降线、水平线分别表示的意义:上升线表示函数值随自变量取值的增加而增大，下降线表示函数值随自变量取值的增加而减下，水平线表示函数值随自变量取值的增加而不变.
1．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．小星家离黄果树景点的路程为50kmB．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h
C．小星从家出发2小时离景点的路程为125kmD．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h
【答案】D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．
【详解】解：x=0时，y=200，因此小星家离黄果树景点的路程为50km，故A选项错误，不合题意；
x=1时，y=150，因此小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，故B选项错误，不合题意；
x=2时，y=75，因此小星从家出发2小时离景点的路程为75km，故C选项错误，不合题意；
小明离家1小时后的行驶速度为150-752-1=75km/h，从家出发2小时离景点的路程为75km，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了3h，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．
2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）

A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【答案】D
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故该选项正确，不符合题意；
B. 1000-40045-37=75（米/分钟），
即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米，故该选项正确，不符合题意；
C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是400米，故该选项正确，不符合题意；
D. 小亮打羽毛球的时间是37-7=30分钟，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）

A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米
【答案】B
【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知x+y+z45=x+y+z-210010，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10-40=45（分钟），小温游玩行走的时间为205-100=105（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
x+y+z45=x+y+z-210010，
解得：x+y+z=2700，
∴游玩行走的速度为2700-2100÷10=60（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y=105×60=6300，
∴x+y=2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800（米）；
故选B．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
5．（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1,y2随时间t变化的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知，t=t1时，铁桶注满了水，0≤t≤t1，y1是一条斜线段，t>t1，y1是一条水平线段，
当t=t1时，长方体水池开始注入水；当t=t2时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当t=t3时，长方体水池满了水，
∴y2开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
观察函数图象，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
题型03 实际问题与一次方程（组）
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1）审题：弄清题意；
2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；
4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
类型一 一元一次方程与实际问题
1．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A．12x+4.5=x-1B．12x+4.5=x+1
C．12x-4.5=x+1D．12x-4.5=x-1
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为x+4.5尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为x+4.5尺，根据题意，得
12x+4.5=x-1
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2023·贵州·统考中考真题）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A．x+13=100B．3x+1=100C．x+13x=100D．x+13=100
【答案】C
【分析】每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需13x头鹿，一共分了100头鹿，由此列方程即可．
【详解】解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需13x头鹿，
由此可知x+13x=100，
故选C．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是正确理解题意．
3．（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和ym与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)y=3x+12030