2025年中考数学一轮复习题型分类练习第24讲 特殊四边形-菱形（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc156936182" 题型01 利用菱形的性质求角度
\l "_Tc156936183" 题型02 利用菱形的性质求线段长
\l "_Tc156936184" 题型03 利用菱形的性质求周长
\l "_Tc156936185" 题型04 利用矩形的性质求面积
\l "_Tc156936186" 题型05 利用矩形的性质求坐标
\l "_Tc156936187" 题型06 利用矩形的性质证明
\l "_Tc156936188" 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
\l "_Tc156936189" 题型08 证明四边形是菱形
\l "_Tc156936190" 题型09 根据菱形的性质与判定求角度
\l "_Tc156936191" 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
\l "_Tc156936192" 题型11 根据菱形的性质与判定求面积
\l "_Tc156936193" 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156936194" 题型13 与菱形有关的新定义问题
\l "_Tc156936195" 题型14 与菱形有关的规律探究问题
\l "_Tc156936196" 题型15 与菱形有关的动点问题
\l "_Tc156936197" 题型16 菱形与反比例函数综合
\l "_Tc156936198" 题型17 菱形与一次函数、反比例函数综合
\l "_Tc156936199" 题型18 菱形与二次函数综合
题型01 利用菱形的性质求角度
1．（2021·河北唐山·统考一模）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB=20cm，则∠DAB的度数是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
2．（2021·广东深圳·统考一模）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4: 1B．5: 1C．6: 1D．7: 1
3．（2021·河北·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于12AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为 ．
4．（2021·浙江温州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：BE＝DF．
(2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
题型02 利用菱形的性质求线段长
5．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．125B．185C．4D．245
6．（2021·黑龙江大庆·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（ ）
A．4B．8C．13D．6
7．（2021·广东中山·校联考一模）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ．
8．（2021·湖北荆州·统考一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ．

题型03 利用菱形的性质求周长
9．（2021·湖北黄石·统考模拟预测）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
10．（2021·辽宁大连·统考一模）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5B．20C．24D．32
11．（2021·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）若菱形一条对角线长为8，其边长是方程x2-10x+24=0的一个根，则菱形的周长为
12．（2021·广东湛江·统考三模）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点E，F是BC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是 ．
题型04 利用矩形的性质求面积
13．（2021·广西百色·统考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（2021·湖南长沙·二模）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝10，点E是边AB的中点．分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CB，CD，则四边形BCDE的面积为 ．
15．（2021·新疆乌鲁木齐·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)连接DE，若AC=23，BC＝2，求菱形ADCE的面积．
16．（2021·广东汕头·统考一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．
题型05 利用矩形的性质求坐标
17．（2021·河南洛阳·统考三模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为（9，3），分别以点B、C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．（7.5，0）B．（6.5，0）C．（7，0）D．（8，0）
18．（2021·山东淄博·统考二模）如图，在直角坐标系中，点P为菱形OACB的对角线AB、OC的交点，其中点B、P在双曲线y＝kx（x＞0）上．若点P的坐标为（1，2），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，103）B．（﹣2，72）C．（﹣139，149）D．（﹣3，185）
19．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为-10,0，对角线AC，BD相交于点D，双曲线y=kx x<0经过点D，交边AB于点E，且AC+BO=125，则E的坐标为（ ）
A．-24,43B．-10,165C．-12,83D．-12,43
20．（2021·河北保定·校考一模）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
21．（2021·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x＋b与菱形OABC有交点，则b的取值范围是 ．
题型06 利用矩形的性质证明
22．（2021·广东东莞·一模）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
23．（2021·陕西·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，BM，BN分别交AC于E、F两点．
求证：AE=CF．
24．（2021·云南楚雄·统考二模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，与CB的延长线交于点G，连接BD．
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形；
(2)连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
25．（2021·辽宁鞍山·统考一模）在如图菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E,F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．
（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：DE=BF＋EF．
题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
26．（2021·山西·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选项中不能判定平行四边形ABCD是菱形的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．AC⊥BDC．AB＝BCD．AC＝BD
27．（2021·山东·统考一模）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）．
A．AD=BDB．OD=CD
C．∠CAD=∠CBDD．∠OCA=∠OCB．
28．（2021·山东潍坊·校考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E,F分别是AB,AC边的中点，若要使得四边形AEDF是菱形，则需添加的一个条件是 （不添加辅助线，写出一个答案即可）．
29．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在BC、AD上，AM=MC．若添加一个条件： ，则四边形AMCN是菱形．
题型08 证明四边形是菱形
30．（2021·广东河源·校考二模）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．
31．（2021·广东深圳·统考一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6,AD=10，求四边形CEFG的面积．
32．（2021·全国·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B=60゜，BC=6，求菱形ADCE的高．
33．（2021·山东烟台·校考一模）如图，ΔABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.

（1）求证：ΔECG≅ΔGHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若∠B=30∘，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.
题型09 根据菱形的性质与判定求角度
34．（2020·重庆·重庆市育才中学校考二模）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为( )
A．23°B．28°C．62°D．67°
35．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
36．（2021·河北·校联考二模）如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，用∠ADB的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
37．（2019·河北唐山·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC=70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．100°B．70°C．50°D．20°
题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
38．（2023·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（ ）
A．4B．23C．2D．3
39．（2022·广东佛山·统考二模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=2，则四边形AECF的周长等于（ ）
A．20B．202C．30D．434
40．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．
41．（2023·广东广州·一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．

(1)求证：AC⊥BD；
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
题型11 根据菱形的性质与判定求面积
42．（2022·北京海淀·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE=DF．
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BECF的面积．
43．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F．
（1）若∠BAD=60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE=4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
44．（2021·宁夏石嘴山·统考一模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
45．（2022·云南昆明·统考二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，邻边AD,CD上的高相等，即BE=BF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若DB=10,AB=13，求平行四边形ABCD的面积．
题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
46．（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）如图所示，在菱形ABCD中，AB=AC，点E，F分别为边AB，BC上的点，且AE=BF，连接CE，AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③∠AEH=∠DAH；④AE·AD=AH·AF．其中正确结论有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
47．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
48．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点E在边AD上，连接BE．作点A关于BE的对称点F，连接EF、BF、DF．现给出以下4个结论：①BE平分∠ABF；②菱形ABCD的面积等于3；③△DEF周长的最小值为23；④当EF⊥AD时，AE=3-1，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
49．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM．①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时，S△CMN=14S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）

50．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；④∠ADM=120°．其中正确的结论是 （填序号）．
题型13 与菱形有关的新定义问题
51．（2020·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的对角线互相垂直，且较长对角线的长度是较短对角线长度的2倍，则称这个四边形为“倍垂四边形”．
（1）如图①，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5,AC=2，试判断菱形ABCD是否为“倍垂四边形”，并说明理由；

（2）如图②，在△ABC中，AB=32,BC=7,AC=5，作AO⊥BC于点O，问在射线AO上是否存在着一点D，使得四边形ABDC是“倍垂四边形”．若存在，请求出此时线段OD的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，在Rt△ABC中，AB=4,AC=5，且∠ABC=90°，分别以Rt△ABC的斜边AC和直角边AB为边向外作Rt△ACD和Rt△ABE，且∠CAD=∠BAE=90°，连接DE，当四边形BCDE是“倍垂四边形”时，求DE的长．
52．（2021·江苏泰州·校考二模）设A（a，n）为双曲线y=kx（k>0，x>0）上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，AB的垂直平分线交y轴于点C，交双曲线于点P．定义：P为A点的中垂点；特别的，当△ABP为等腰直角三角形时，又称P为A点的完美中垂点．
（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是________
（2）四边形ACBP一定为 ． （填字母）
A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D．正方形
（3）若△AOP的面积为6时，则k= ．
（4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且△APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达式．
题型14 与菱形有关的规律探究问题
53．（2021·黑龙江鹤岗·统考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到ΔADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到ΔA1D1A2……按此规律，得到ΔA2020D2020A2021，记ΔADA1的面积为S1，ΔA1D1A2的面积为S2……ΔA2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021= ．
54．（2021·辽宁丹东·校考模拟预测）如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点Bn的坐标是 ．
55．（2020·浙江·校联考模拟预测）如图，直线l1的解析式是y＝33x，直线l2的解析式是y＝3x，点A1在l1上，A1的横坐标为32，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1、B1B2为邻边在直线l1、l2间作菱形A1B1B2C1，延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2、B2B3为邻边在l1、l2间作菱形A2B2B3C2，………按照此规律继续作下去，则线段A2020B2020长为（ ）

A．22019B．（32）2019C．（32）2020D．（32）2020
56．（2020·广东茂名·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠ADC=120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1=120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2=120°；……按此规律，菱形AC2019C2020D2020的面积为 ．
题型15 与菱形有关的动点问题
57．（2022·安徽合肥·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠A=60°，点E为BC的中点，动点P以2cms的速度沿A→B→E运动，动点Q以1cms的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为xs，△BPQ的面积为ycm2，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A． B． C． D
58．（2023·河南信阳·校考三模）如图，菱形ABCD，∠ADC=120°，边长为4，点E在AB上，且BE=1，F为对角线AC上一动点，则BF+EF的最小值为（ ）

A．11B．13C．14D．4
59．（2021·四川成都·统考二模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为 ．

60．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，AB是平面内一条线段，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，连接EF交线段AB于点G，点D是射线GE（不与G点重合）上一个动点，过点D，点B分别作EF，AB的垂线交于点C，连接CG．

(1)求证：四边形AGCD是平行四边形；
(2)四边形AGCD能否为菱形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
61．（2023·山东烟台·统考二模）已知AE∥BF，AB=6，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．

(1)如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，连接BD交AC于点M，BG=10，AC=5．
①求证：△BDG为直角三角形；
②求DG的长．
62．（2023·黑龙江·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA，OB的长是方程x2-6x+8=0的两个根OA
(1)求点C的坐标；
(2)设△PCQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线BC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型16 菱形与反比例函数综合
63．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，菱形OABC的边OC在y轴，点B在第一象限，且∠B=60°，将这个菱形向右平移2个单位得到菱形O'A'B'C'（点A'和A对应）．若反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好经过点A'，B，则k的值为 ．

64．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象经过点C，交AB于点D，若sinB=23，S△OCD=6，则k值为 ．

65．（2023·浙江衢州·三模）如图，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，菱形OABC的边OA落在x轴上，点C的坐标为3,4，反比例函数y=kxk>0,x>0经过OB、AC的交点E，则k的值是 ．

66．（2023·山东济南·统考三模）如图1，菱形ABCD的边AB在平面直角坐标系中的x轴上，A-1,0，菱形对角线交于点M0,2，过点C的反比例函数y=kxx>0与菱形的边BC交于点E．

(1)求点C的坐标和反比例函数y=kxx>0的表达式；
(2)如图2，连接OC，OE求出△COE的面积；
(3)点P为y=kxx>0图像上的一动点，过点P做PH⊥x轴于点H，若点P使得△AOM和△BPH相似，请直接写出点P的横坐标．
题型17 菱形与一次函数、反比例函数综合
67．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过菱形的顶点A，B两点，若AD∥x轴，菱形ABCD的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（ ）

A．22B．-22C．6D．-6
68．（2023·河北·统考模拟预测）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1，0，点D4，4在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．

(1)求C点坐标；
(2)求k,b的值；
(3)求△ACE的面积．
69．（2023·湖北恩施·统考一模）如图1，直线y=23x+2与y轴交于点B，与反比例函数y=mx的图象交于一象限内的点A，△AOB的面积等于3，
(1)求m的值；
(2)如图2，点E4，a在反比例函数y=mx的图象上，过点E作EC⊥x轴垂足为C，以EC为对角线的菱形CDEF的顶点D在y轴上，试说明点F也在反比例函数的图象上．
70．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，已知正比例函数y1=43x的图象与反比例函数y2=kx的图象相交于点A(3,n)和点B.
(1)求n和k的值；
(2)请结合函数图象，直接写出不等式43x-kx<0的解集；
(3)如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点F，连接AE、OE，求△AOE的面积.
71．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知一次函数y=mx-3与反比例函数y=kx的图象相交于点A(8,n)，与x轴相交于点B(4,0)．以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限．求点D的坐标．
72．（2020·江苏苏州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两条对角线相交于点P1,2,AB⊥x轴，垂足为点E,正比例函数y=mx(m≠0)的图像与反比例函数y=nx(n≠0)的图像相交于A,P两点.
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标.
题型18 菱形与二次函数综合
73．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=-2x-1与y轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数y=12x+b的图象上．
(1)求b的值；
(2)若一次函数y=-2x-1与一次函数y=-x交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式；
(3)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t-174．（2019·河南南阳·校联考一模）如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得它到B、C两点的距离和最小，若存在，求出此时M点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，请直接写出点P的坐标．
75．（2021·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+3x+c的图像经过点A（23，0）和点B（0，2），点P为二次函数图像上一动点且在直线AB上方，作PC平行于y轴交AB于点C，连接PB，OC
图1 图2 备用图
(1)求二次函数的表达式；
(2)当线段PC=2时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下：
①判断四边形PBOC的形状，并说明理由；
②如图2，将四边形PBOC沿射线BA平移得到四边形P'B'O'C'，直线O'C'与x轴交于点D，连接P'O'，P'D，当△P'O'D为等腰三角形时，直接写出点D的坐标.
76．（2017·湖南娄底·统考一模）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C,
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标.
77．（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，3）， C（1，0），其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；
（3）若M为y轴上的一个动点，连接ME，求12MB+ME的最小值．
一、单选题
1．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）

A．2B．4C．5D．6
2．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD=4，AB=2．则四边形MBND的周长为（ ）
A．52B．5C．10D．20
3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是（ ）
A．ab2nB．ab2n-1C．ab2n+1D．ab22n
4．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y=3xB．y=-34x+152
C．y=-2x+11D．y=-2x+12
5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A．32B．332C．6D．3
6．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB=BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
7．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形
二、填空题
8．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形，②DN2=MC⋅NC；③△DNF为等边三角形；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．正确结论的序号 ．
三、解答题
9．（2023·江苏·统考中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．

(1)若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是_______；
(2)如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB的度数；
(3)如图2，在四边形ABCD中，AC=BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由．
10．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC,CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC=3,DC=2，求四边形OCED的面积．
11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．

(1)尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
12．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

(1)证明：△BOF≌△DOE；
(2)连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．

(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD=4时，求EG的长．
14．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
15．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
16．（2022·山东威海·统考中考真题）如图:
(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝25，BC＝7，CF＝5，求四边形AGCH的面积．
17．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．
(1)求BF的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC//AE时，求证：四边形AGCE是菱形