2025年中考数学一轮复习讲与练第1章第3讲 分式（考点精析+真题精讲）（2份，原卷版+解析版）

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→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 分式的有关概念
考向二 分式的基本性质
考向三 分式的约分与通分
考向四 分式的运算
第3讲分式
分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为18分左右。预计2024年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分,学生应扎实掌握。
→➊考点精析←
一、分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注意】①若B≠0，则有意义；
②若B=0，则无意义；
③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则
把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母
几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．
用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
→➋真题精讲←
考向一 分式的有关概念
1．分式的三要素：
（1）形如的式子；
（2）均为整式；
（3）分母中含有字母．
2．分式的意义：
（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．
（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件即可解答．
【解析】根据题意可知，，即．故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．
2．（2020·浙江金华·中考真题）分式的值是零，则x的值为（ ）
A．5B．2C．－2D．－5
【答案】D
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式的值不存在，则__________．
【答案】-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【解析】∵分式的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
4．（2020·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且B．C．D．，且
【答案】A
【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．
【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得，且故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．
考向二 分式的基本性质
分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：
（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
5.分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为
A．扩大为原来2倍 B．缩小为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的倍
【答案】B
【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为
∴把分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．
6．（2019·江苏扬州·中考真题）分式可变形为( )
A．B．-C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.
【解析】A. ≠，故A选项错误；B. -=≠，故B选项错误；
C. =-，故C选项错误；D. ==，故D选项正确，故选D.
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
考向三 分式的约分与通分
约分与通分的区别与联系：
1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；
3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．
7. 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x-1
C．约分的结果是1
D．化简-的结果是1
【答案】D
【解析】A、=，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2-1，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；D、-=1，故本选项正确，故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．
8．（2023·湖南·统考中考真题）已知，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．
【详解】解：原式=
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．
9．（2023·四川遂宁·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将代入化简结果求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．
10.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x-1
C．约分的结果是1 D．化简-的结果是1
【答案】D
【解析】A、=，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2-1，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；D、-=1，故本选项正确，故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．
11．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
【答案】 x=-4
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解析】解：∵，∴分式与的最简公分母是，
方程，去分母得：，去括号得：，
移项合并得：，变形得：，解得：x=2或-4，
∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．
【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
考向四 分式的运算
（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．
（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．
12．（2023·广东·统考中考真题）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
13．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.
【详解】解：
.
故选：D.
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.
15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知，计算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故选：A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：_______．
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
17．（2020·山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．
【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．
【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：解；
．
任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．
考向五 分式化简求值
18．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】；1
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
20．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【答案】；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
21．（2023·江西·统考中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③；(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
22．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∵，
∴的整数解有：，
∵，
∴，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
23．（2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将和的值代入即可求出答案．
【详解】解：
，
原式．
故答案为：，2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．

解：原式
……
解：原式
……