广西壮族自治区贵百河联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
2. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 定义运算：．已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，两点到直线距离相等，求a的值（ ）
A. B. C. 或D. 或
5. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）
A. 16B. 30C. 32D. 51
6. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C 锐角三角形D. 钝角三角形
7. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知函数，则有（ ）
A. 最小值B. 最大值
C. 最小值D. 最大值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）
9. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 向量在上投影向量为
10. （多选）从今年起年内，小李的年薪（万元）与年数的关系是，小马的年薪（万元）与年数的关系是，则下列判断正确的有（ ）
A. 年后小马的年薪超过小李B. 年后小马的年薪超过小李
C. 小马的年薪比小李的增长快D. 小马的年薪比小李的增长慢
11. 已知内角的对边分别是，则（ ）
A.
B. 的最小值为3
C. 若锐角三角形，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是____________．
13. 已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则__________．
14. 如图，正方体的棱长为，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线．
（1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围．
（2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程．
16. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.
17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
18. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

（1）若从成绩不高于60分同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
19. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值.