广西壮族自治区河池市十校协作体2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到焦点F的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的性质即可求解.
【详解】．
故选：C
2. 已知直线，，则与的距离为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题意得，与的距离．
故选：C．
3. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点0,2，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点0,2，
所以，，，椭圆的标准方程为．
故选：B．
4. 已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，，
，，，．
故选：A．
5. 已知直线平分圆C：的周长，则a＝（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心坐标，利用点在直线上求出值.
【详解】圆C：的圆心，由直线平分圆C：的周长，
得直线过圆C的圆心，即，所以．
故选：A
6. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线方程写出准线方程，求得双曲线一个焦点坐标，求得值，即得其方程，继而得到渐近线方程.
【详解】因的准线为，
由题意，双曲线的一个焦点为，
则有，解得，故双曲线方程为，
其渐近线方程为，即．
故选：D．
7. 在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，E为棱的中点，则与平面的夹角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面的夹角的正弦值，再转化为余弦值.
【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，，
如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，，设平面的法向量为，
则，所以，两式相减可得，
令，解得，，
则平面的一个法向量为，，
则到平面的夹角正弦值，
.
故选：B
8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义式联立求出的值，代入三角形面积公式即得.
【详解】
由双曲线对称性可知，A，B，O三点共线，连接，，，，
由可得,
因，故四边形为矩形，则，，
由双曲线C：可得，，则，
于是，则①，
又②，
由，解得，
故．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，直线倾斜角为
B. 当时，
C. 若，则
D. 直线始终过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线方程得斜率，从而求得倾斜角判断A，根据直线垂直或平行的条件求得参数值判断BC，把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标判断D．
【详解】对于A，当时，直线，故斜率，则倾斜角为，A正确.
对于B，等价于，解得，故B正确.
对于C，若，且，故，故C错误.
对于D，，令，得，解得，，
故恒过，D正确.
故选：ABD．
10. 如图，正方体的棱长为1，是上的中点，以下说法正确的是（ ）
A. 的面积是定值
B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值为
D. 平面的一个法向量是
【答案】BC
【解析】
【分析】由可判断A选项，建立空间直角坐标系，求得与同向的单位向量可判断B选项，求得，利用空间向量夹角公式可求得与夹角的余弦值判断C；可利用向量的数量积的坐标运算可判断D.
【详解】对于A选项：在上且，
到AC的距离等于到AC的距离，则为定值1，
，故A选项错误；
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
对于B选项：，与同向的单位向量为
，故B选项正确；
对于C选项：，，
则 ，故C选项正确；
对于D选项：由，，设，
则，，
即不垂直，不垂直，
不是平面的一个法向量，故D选项错误.
故选：BC．
11. 已知椭圆，，分别为它左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 存在4个点，使得
B. 直线与直线斜率乘积为定值
C. 有最小值
D. 的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】设为椭圆上顶点，利用椭圆的性质可求得，可判断A；设Mx,y，计算可得的值可判断B；由题意可得，利用基本不等式中1的代换可求得的最小值判断C；利用数形结合可求得的最值，进而可求得的取值范围判断D.
【详解】对于A中，由椭圆，可得，，，设为椭圆的上顶点，
且，可得，所以，故在第一象限有点，使得，
根据对称性四个象限各有一个点符合题意，故存在4个点，使得，所以A正确；
对于B中，设Mx,y，则，且，可得，
则为定值，所以B错误．
对于C中，由椭圆的定义，可得，
则
，
当且仅当时，即时等号成立，所以C错误．
对于D中，由点在椭圆外，设直线，与椭圆相交于，，
如图所示，则，
因为，且，
可得，即，
所以，
所以，所以D正确．
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：对于C，关键利用椭圆的定义得，进而利用基本不等式1的代换求得最小值，对于D，求圆锥曲线中两线段和的最值，常常利用数形结合求得最值，其中常用到圆锥曲线的定义.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线过点，倾斜角为，则直线的纵截距为________________．
【答案】1
【解析】
【分析】求得直线的斜率，进而可求得直线的方程，令，可求得纵截距.
【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，
令即，，所以直线的纵截距为1．
故答案为：1．
13. 已知圆与直线相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】先将圆的一般方程变为标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】由已知圆的标准方程为，
所以圆心为，半径为，
依题意，.
故答案为：.
14. 双曲线C：的离心率为________________．
【答案】2或
【解析】
【分析】分或两种情况计算即可.
【详解】当，所以；
当，，
故答案为：2或．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点分别为．
（1）求边的中线所在直线的方程；
（2）求边的垂直平分线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程；
（2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程；
【小问1详解】
设中点的坐标为，则，，所以，
边的中线过点两点，
所以，
所以所在直线方程为，
即；
【小问2详解】
因为的斜率，
所以的垂直平分线的斜率，
所以的垂直平分线所在直线的方程为，
即．
16. 已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长以及三角形AOB面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即可.
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求解即得.
【小问1详解】
依题意，，则，由离心率，得，得，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由消去得，解得，
则弦长；
原点O到直线l：距离为：，
所以三角形AOB面积：
17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，，为中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面，建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式求解即可；
（2）由面面角的向量求法求解角的余弦值，即可求解正弦值.
【小问1详解】
设与交点为，连接，则，所以平面，
所以，，三条直线两两互相垂直，
以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，
则，，，，，E0,0,1，
，，
设平面EAD的法向量为，
，可取，
又，则点C到平面EAD的距离：；
【小问2详解】
，，，，
设平面PBC的法向量为，
则，可取，
所以，
所以平面PBC与平面EAD夹角的余弦值为，
所以平面PBC与平面EAD夹角的正弦值为.
18. 已知圆，圆．
（1）证明两圆相交，并求两圆公共弦长；
（2）已知过点0,1的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
【答案】（1）证明见解析，
（2）或．
【解析】
【分析】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长.
（2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线，代入圆的方程，根据韦达定理得到，，进而表示出，由就是可求的值.
【小问1详解】
如图：
圆化成标准方程，圆心，半径，
圆化成标准方程为，圆心，半径，
由，所以两圆相交，
两圆方程作差得．
即公共弦所在直线的方程为．
圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：，
所以公共弦长为：.
【小问2详解】
由题可知，设Ax1,y1，Bx2,y2，
①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意.
②当直线斜率存在时，设直线l方程为：，
将代入，得，
整理得，，，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
．
由可得，
化简得，即，解得或．
19. 设抛物线C：的焦点为F，已知点F到圆E：上一点的距离的最大值为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知，是双曲线左右焦点，过右焦点的直线l与C交于M，N两点．证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用点F到圆E上点的最大距离为求出可得答案；
（2）设MN的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得答案．
【小问1详解】
点F到圆E上点的最大距离为，
即，得，
故抛物线C的方程为；
【小问2详解】
由题意可知，
设MN的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立方程得，
得，所以，，
，，
所以，
所以，
则直线与直线的倾斜角互补，所以．
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由韦达定理判断.