北京市清华大学附属中学上地学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份北京市清华大学附属中学上地学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了11，已知集合，，则，设命题，“”是“二次函数有零点”的，定义在上的偶函数满足等内容，欢迎下载使用。
（清华附中上地学校高24）2024.11
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.设命题：，，则的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，N
3.下列各组函数中，两个函数相同的是（ ）
A.和B.和
C.和D.和
4.下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A.B.C.D.
5.若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A.B.C.D.
6.“”是“二次函数有零点”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，则使方程有解的实数m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
9.定义在上的偶函数满足：对任意的，都有，且，则不等式的解集是（ ）
A.B.
C.D.
10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（ ）
A.若，则为奇函数B.若，则有最小值
C.若，则为增函数D.若，则存在零点
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.函数的定义域为__________.
12.已知函数，则当且仅当_________时，有最小值________.
13.已知集合，，若满足，则实数a的值为________.
14.已知函数在上是奇函数，当时，，则________；当时，________.
15.已知非空集合A，B满足以下四个条件：
①；
②；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素.
（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是__________；
（ⅱ）有序集合对的个数是__________.
三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）
16.已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
17.解下列关于x的不等式：
（1）
（2）
（3）
18.已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求a的值，并用定义法证明在上单调递增；
（2）解关于x的不等式.
19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
20.已知函数.
（1）若不等式的解集为，求m的取值范围；
（2）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围；
21.设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.
（1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
（2）若集合，求证：A不可能具有性质；
（3）若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.
高一第一学期期中试卷
数学
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
CBAABABDCD
二、共填空题（共5小题）
11. 12.；2 13.-3 14.； 15.5；10
三、解答题（共6小题）
17.（1）.
（2）a的取值范围是.
16.（1）；
（2）
（3）综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
18.（1），证明略
（2）
∴或.
19.水池总造价
元.
当且仅当，时取等号.
∴设计水池底面为边长为40m的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.
20.（1）m的取值范围为；
（2）m的取值范围为；
21.（1）集合B不具有性质，集合C具有性质
（2）证明：将集合中的元素分为如下11个集合，
{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，
所以从集合中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，
所以A不可能具有性质；
（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，
以1，2，3……，11为例.
构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.
①5，6，7同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；
则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
②5，6，7选2个，
若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，
3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，
故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，
4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
③5，6，7中只选1个，
又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，
故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，
如取1，4，6，7，9.
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有184×5=920个.
给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；
2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.