北京市景山学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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数学
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案打在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若集合{}，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
4. 已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知集合，集合，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
6. 已知函数，若，则实数（ ）.
A. B. C. 1D. 3
7. 若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于对称B. 的图象关于对称
C. 在单调递增D. 有最小值
9. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_________．
12 已知集合有且仅有两个子集，则实数________
13. 已知,且，则最小值为__________
14. 已知奇函数定义域为R，当时， ，则______；若f4>f1−1m，则实数m的取值范围是______ ．
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，；
②若存在最小值，则a的取值范围为；
③若存在零点，则a的取值范围为；
④若是减函数，则a取值范围为．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知集合．
（1）求，；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
17. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，且在上恒成立，求的取值范围；
18. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；
（2）设，若，，使得，求实数a的取值范围．
19. 已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意．
（1）求；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）．
20. 已知关于x的函数．
（1）当时，求在上的最小值；
（2）如果函数同时满足：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为．
则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．
（i）若关于的函数是“闭函数”，求实数的取值范围；
（ii）判断（1）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由．
21. 设n 为不小于3正整数，集合，对于集合中的任意元素，记
（Ⅰ）当时，若，请写出满足所有元素
（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.