山东省青岛市第六十六中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

这是一份山东省青岛市第六十六中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了定义行列式，，则的取值集合为，已知集合，，则，下列函数中是增函数的为，下列关系中正确的是，函数的图象大致是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．定义行列式，，则的取值集合为（ ）
A．B．或
C．或D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3. 已知，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
4．下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
5．下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．8
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数（）的图象是一条直线
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．当时，的最小值是5
D．，是的充分不必要条件
10. 下面结论错误的是（ ）
A. 函数的单调递减区间是；
B.已知函数（且）的图象恒过定点，则3.
C.函数是R上的增函数；
D. 若，则
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．存在最小值，则
C．的单调递减区间为D．若，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的定义域为 .
13．已知幂函数满足，则 .
14．已知函数，若对上的任意实数，恒有
成立，那么的取值范围是 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知全集，集合，集合，集合．
(1)求，
(2)若，求实数m的取值范围．
16．（15分）已知函数的图象过点.
（1）求实数的值，并证明函数为奇函数；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论．
17．（15分）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18．（17分）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式，画出函数的图像并写出函数的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(3)若方程有个根，求实数的取值范围，并求这个根的和.
19．（17分）已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数.
(1)求和的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2024-2025学年度第一学期高一年级期中检测
数学试题 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【分析】根据行列式定义，化简不等式，结合一元二次不等式解法求解集.
【详解】因为，
所以不等式，可化为，
所以，
所以，
所以或，
所以的取值集合为.
故选：C.
2.【答案】D
【分析】先根据指数函数单调性计算集合，绝对值不等式化简得出集合，再根据并集定义计算即得.
【详解】集合，，
则，
故选：D.
3.【答案】C
【解析】
【分析】ACD，由不等式的性质可得到正误；B选项，由函数单调性得到判断.
【详解】A选项，因为，，所以，，A正确；
B选项，因为在上单调递增，故，B正确；
C选项，，不等式两边同时乘以得，，C错误；
D选项，因为，所以，不等式两边同除以得，，D正确.
故选：C
4.【答案】D
【分析】对选项逐一分析函数的单调性，由此选出正确选项.
【详解】对于A：，由一次函数性质，为减函数，不满足题意，故A错误；
对于B：，由指数函数的性质可知为减函数，不满足题意，故B错误；
对于C：，由幂函数的性质可知在上为减函数，不满足题意，故C错误；
对于D：，由幂函数的性质可知，为增函数，满足题意，故D正确.
故选：D.
5.【答案】D
【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项.
【详解】幂函数在单调递增，所以，
指数函数单调递减，所以，
所以.
故选：D
6.【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据时函数值的特征排除C.
【解析】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
又当时，故排除C.
故选：D
7.【答案】D
【分析】由一元二次不等式解集得到参数关系，进而有，再比较各函数值的大小.
【解析】由题设，则，故，
所以，，，且，
所以.
故选：D
8.【答案】A
【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数为偶函数，则，
即，可得，
整理得，故，解得，
.
若正实数、满足，即，可得，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BD
【详解】选项A：由于函数的定义域为整数，所以函数的图象是由一系列的点构成，故选项A错误；
对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B正确；
对于，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，显然等号不成立，故C错误；
对于D，对于D，当，时，有成立，而，但，不成立，
即由不能得到，，所以，是的充分不必要条件，故D正确.
故选：BD.
10.【答案】ACD
【解析】
【详解】选项A，当时，，而当时，，所以函数的单调递减区间不是，所以A错误，
选项B，根据指数函数过定点的知识可知，解得，，所以.
所以B正确；
选项C，当和时，，所以不是上的增函数，所以C错误，
选项D：令，即，，故选项D错误；
故选：ACD
11.【答案】ABD
【分析】根据分段函数解析式直接求得函数值可判断AD选项，再根据分段函数的单调性判断方法分别判断BC选项.
【详解】A选项：，，所以，解得，A选项正确；
B选项：当时，，所以，即函数在上的最小值为，
又当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，
所以若函数存在最小值，则，B选项正确；
C选项：在上单调递减，在上单调递减，不能说函数在上单调递减；
D选项：由已知得，所以，
又函数在上的最小值为，
所以，解得，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
13.【答案】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的解析式可得，再代入计算即得.
【详解】设，则，所以.
故答案为：
14.【答案】
【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.
【解析】因为函数满足对上的任意实数，，恒有成立，
所以函数在上递减，
所以，即，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果；
（2）因为，所以，分和两种情况求解即可.
【详解】（1）根据题意：集合，集合或，或，
（2）因为，所以，若，则，若，则，得时，可得，实数的取值范围为或.
16.【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）将的坐标代入函数的解析式，可得的值，即可得函数的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；（2）设，由作差法分析可得结论.
【解析】（1）根据题意，函数的图象过点
则有，解可得，则
其定义域为，且
则函数为奇函数
（2）根据题意，由（1）的结论，，则上为增函数
证明：设
则
又由，则，则
则函数在上为增函数
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出的值，属于基础题.
17.（1）
（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.
【详解】（1）当时，；
当时，，
.
（2）若，，当时，万元；若，，当且仅当时，即时，万元.
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
18.【答案】（1），作图见解析，
单调递减区间为，，单调递增区间为；
（2）
（3），两个根的和为0
【分析】（1）由条件，结合奇函数性质求出时，函数的解析式，结合二次函数图象特征作函数图象，由图象读出函数的单调区间；
（2）由条件结合（1）的结论可得，列不等式可得结论；
（3）由图象，作函数的图象，结合条件观察图象可得结论.
【详解】（1）设，则，
所以
又为奇函数，所以，
所以当时，，
则
函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，经过点，，；
函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，经过点，，；
作出函数的图像，如图所示：
的单调递减区间为，；
的单调递增区间为；
（2）由（1）函数的单调递增区间为，
又在上单调递增，
所以，
所以，故，
所以的取值范围是；
（3）由于方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，根据（1）所作的函数的图象，作出函数的大致图象如下，
观察函数的图象与直线的交点情况可知，
当时，函数的图象与直线有2个交点，
即方程有2个解.且两根的和为0.
19.【答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据指数函数的定义和奇函数定义及性质求解；
（2）根据是奇函数，得恒成立，根据在上单调递减，得恒成立，再利用判别式求解.
【解析】（1）设，（且），
，，；
是定义在上的奇函数，
，
对恒成立，
，.
（2）恒成立，
恒成立，
又
可知在上单调递减，
恒成立，
恒成立，
，
.