北师大版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第3章第01讲代数式(学生版+解析)

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知识点01 代数式
1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
【即学即练1】
1．（23-24七年级上·湖南永州·期中）在下列式子中，（1），（2），（3），（4）0，（5），（6），（7），（8），其中代数式的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
知识点02 代数式的书写格式
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。
【即学即练2】
1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列代数式书写正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号）
知识点03 数学思想之整体代入法
1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．
2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【即学即练3】
1．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）若代数式的值为2，则的值为
题型01 列代数式
【典例1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）列式表示a与b的和的平方与a与b的平方和的差 ．
【变式1】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如果1千克苹果的价格为m元，那么3千克苹果的价格为 元；
【变式2】（2024·吉林·模拟预测）元宵节是中国传统节日，某单位将100袋元宵分给m位员工．若每人分3袋，仍有剩余，则剩余 袋元宵（用含m的代数式表示）．
【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用含x的代数式填空：
①若某商店销售了50件单价为x元的商品，则销售额为 元．
②若某商店销售售价为x元/件的衬衫所得的销售额为2100元，则商店销售该衬衫的数量为 件．
③某商店准备将一款玩具降价销售．调查发现售价每降低1元，平均每周可多卖出20件．降价前每周可卖出200件，若降价x元，则现在每周可卖出 件．
④某短款传统服饰的进价为80元/件，售价为100元/件，销售x件该服饰可获得的利润为 元．
题型02 代数式的概念
【典例2】（23-24六年级上·山东淄博·期末）以下列各式中：①，②，③，④，⑤a，⑥0．是代数式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2024六年级上·上海·专题练习）下列各式不是代数式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【变式3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
题型03 代数式书写格式
【典例3】（23-24九年级下·重庆九龙坡·开学考试）下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，书写正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（ ）
A．B．C．D．
题型04 代数式表示的实际意义
【典例4】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）请你对“”赋予一个实际含义： ．
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）请你为代数式赋予一个实际意义 ．
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）已知等边三角形的边长为，正方形的边长为，则的实际意义为 ．
【变式3】（23-24七年级上·山东枣庄·期中）代数式可以解释为： （举一例说明它的实际背景或几何背景）．
题型05 已知字母的值，求代数式的值
【典例5】（2024·海南海口·一模）当时，代数式的值是（ ）
A．B．7C．1D．
【变式1】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）当，时，代数式的值是（ ）
A．6B．C．9D．
【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）当时，求多项式的值．
【变式3】（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某窗户如图，其上方由2个半径相同的四分之一圆组成．
(1)求窗户透光部分的面积S；
(2)若，，求透光部分的面积S．（结果保留）．
题型06 已知式子的值，求代数式的值
【典例6】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（ ）
A．2022B．C．2021D．
【变式1】（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则的值是( )
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）运用整体思想在代数式求值中经常会有用到．
例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，则______；
(2)已知，，则______；
(3)当，时，代数式的值为8，
则当，时，求代数式的值．
题型07 程序流程图与代数式求值
【典例7】（2024·广东深圳·模拟预测）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是 ．
4．（2024年湖南省邵阳市中考模拟预测数学试题）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
5．（23-24八年级下·山东德州·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是；若输入x的值是7，则输出y的值是（ ）
A．B．C．0D．1
二、填空题
6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知下列各式：①，②8，③，④，⑤，⑥，
⑦，⑧，⑨，⑩，其中代数式有 （填写序号）．
7．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式的实际意义 ．
8．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若，则代数式的值是 ．
9．（22-23七年级上·广西柳州·期末）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，则这个两位数是 ．
10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）用代数式表示
(1)的平方的3倍与5的差
(2)比的倒数与的倒数的和大1的数
(3)、两数的平方和减去它们乘积的2倍
(4)、两数的平方差除以、两数的和的平方所得的商．
12．（23-24七年级上·吉林·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于3．
(1)填空：____；________；________；
(2)求的值．
13．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）某学校办公楼前有一块长为，宽为的长方形空地，在中心位置留出一个半径为的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长方形的休息区，阴影部分为绿地．
(1)用含字母和的式子表示阴影部分的面积；
(2)当时，阴影部分面积是多少（取3）？
14．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．
(1)则在A超市购买需要_________元，在B超市购买需要________元
(2)当每副球拍配10个乒乓球时，分别计算一下去A超市和B超市购买的费用各是多少元?
(3)当时，最省钱的购买方案是__________．
15．（22-23七年级上·海南海口·期中）新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息
(1)每本书的高度为 ，课桌的高度为 ．
(2)当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离 用含x的代数式表示）．
(3)桌面上有55本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有16名同学各从中取走一本，求余下的数学课本高出地面的距离．
16．（22-23七年级上·四川成都·期中）整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若，则_____．
(2)若，求的值．
课程标准
学习目标
①代数式的定义
②掌握代数式的求值
1．了解字母表示数及代数式的概念；并掌握代数式的书写要求；
2．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；
3．掌握代数式的求值，理解程序流程图的求值方法，初步感悟数学思想中的整体代入法的计算方法。
第01讲 代数式
知识点01 代数式
1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
【即学即练1】
1．（23-24七年级上·湖南永州·期中）在下列式子中，（1），（2），（3），（4）0，（5），（6），（7），（8），其中代数式的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】此题考查的是代数式的判断．根据代数式的定义：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式，逐一判断即可．
【详解】解：是代数式；
中含有等号，不是代数式；
中含有不等号，不是代数式；
0是代数式；
中含有等号，不是代数式；
是代数式；
是代数式；
是代数式．
综上：共有5个代数式．
．
知识点02 代数式的书写格式
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如a2-b2平方米。
【即学即练2】
1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列代数式书写正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了代数式书写规范，掌握正确的书写规范是解题关键．直接根据代数式的书写规范进行判断即可．
【详解】
解：A．应写成，故不符合题意；
B．应写成，故不符合题意；
C．的正确写法是，故不符合题意；
D． 书写正确，符合题意．
故选：D．
2．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号）
【答案】③
【分析】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键，利用代数式的书写要求判断即可．
【详解】解：①应该写成，故原写法格式不正确；
②应该写成，故原写法格式不正确；
③，书写正确；
④应该写成，故原写法格式不正确，
综上所述，格式书写正确的有③，
故答案为：③．
知识点03 数学思想之整体代入法
1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．
2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【即学即练3】
1．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）若代数式的值为2，则的值为
【答案】1
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，把变形为含有的形式，然后代入计算即可．
【详解】解：根据题意可得出，
，
故答案为：1．
题型01 列代数式
【典例1】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）列式表示a与b的和的平方与a与b的平方和的差 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示式
【分析】本题考查了列代数式，找出a，b之间的关系，列出关系式是解题的关键．
要明确给出文字语言中的运算关系，和的平方，先和后平方， 平方和，先平方后和．
【详解】解∶ ∵用代数式表示表示a与b的和的平方是，a与b的平方和是：．
∴表示a与b的和的平方与a与b的平方和的差为：．
故答案为：．
【变式1】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如果1千克苹果的价格为m元，那么3千克苹果的价格为 元；
【答案】
【知识点】用代数式表示式
【分析】本题考查了代数式表示式，根据总价单价数量表示即可．
【详解】解：千克苹果的价格为m元，
千克苹果的价格为元，
故答案为：．
【变式2】（2024·吉林·模拟预测）元宵节是中国传统节日，某单位将100袋元宵分给m位员工．若每人分3袋，仍有剩余，则剩余 袋元宵（用含m的代数式表示）．
【答案】/
【知识点】用代数式表示式
【分析】本题考查了列代数式，根据题意可以用代数式表示剩余的元宵袋数即可．
【详解】解：由题意可得，剩余的元宵代数为．
故答案为：．
【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用含x的代数式填空：
①若某商店销售了50件单价为x元的商品，则销售额为 元．
②若某商店销售售价为x元/件的衬衫所得的销售额为2100元，则商店销售该衬衫的数量为 件．
③某商店准备将一款玩具降价销售．调查发现售价每降低1元，平均每周可多卖出20件．降价前每周可卖出200件，若降价x元，则现在每周可卖出 件．
④某短款传统服饰的进价为80元/件，售价为100元/件，销售x件该服饰可获得的利润为 元．
【答案】
【知识点】用代数式表示式
【分析】本题考查了列代数式．
①根据销售额等于销售单价销售数量列式即可；
②根据销售额销售单价等于销售数量列式即可；
③根据现在每周可卖出的数量等于降价前可卖出的数量降低的价钱数列式即可；
④根据利润等于（售价进价）销售数量列式即可．
【详解】解：根据题意得：
①销售额为元；
②销售数量为件；
③现在每周可卖出的数量为：件；
④利润为：元．
故答案为：；；；．
题型02 代数式的概念
【典例2】（23-24六年级上·山东淄博·期末）以下列各式中：①，②，③，④，⑤a，⑥0．是代数式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查了代数式的识别，注意：代数式中不含等号，也不含不等号，单独的一个数或字母也是代数式．
根据代数式的概念，代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，单个的数和单个的字母也是代数式，逐一判断即可．
【详解】解：①是数字，是代数式；②，是等式，不是代数式；③，不是代数式；④是代数式；⑤a是代数式；⑥是数字，是代数式；
故是代数式的是①④⑤⑥，
故选：D．
【变式1】（2024六年级上·上海·专题练习）下列各式不是代数式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】代数式的概念
【分析】此题主要考查了代数式的定义，代数式是指把数或表示数的字母用、、、连接起来的式子，而对于带有、、等数量关系的式子则不是代数式，由此可得答案，正确理解代数式的定义是解题的关键．
【详解】、是单独数字，是代数式，不符合题意；
、是代数式，不符合题意；
、是不等式，不是代数式，符合题意；
、是数字，是代数式，不符合题意；
故选：．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可．
【详解】解：①0是代数式；
②是代数式；
③不是代数式；
④是代数式；
⑤是代数式；
⑥是代数式；
⑦不是代数式；
⑧不是代数式．
代数式有5个，
故选：B．
【变式3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【知识点】代数式的概念
【分析】此题考查的是代数式的判断．根据代数式的定义逐一判断即可：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
【详解】解：①0是代数式；
②是代数式；
③不是代数式；
④是代数式；
⑤是代数式；
⑥是代数式；
⑦不是代数式；
⑧不是代数式．
∴代数式有5个，
故选：B．
题型03 代数式书写格式
【典例3】（23-24九年级下·重庆九龙坡·开学考试）下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查了代数式．代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括号；由此判断即可．
【详解】解：A、符合代数式书写格式，故此选项符合题意；
B、的系数应该为假分数，故此选项不符合题意；
C、数字7应该在字母的前面，乘号省略，故此选项不符合题意；
D、应该写成分式的形式，故此选项不符合题意；
．
【变式1】（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题考查代数式，熟练掌握代数式的书写原则是解题的关键．根据代数式的书写原则：数字在字母前，乘号省略；带分数要用假分数；除号要用分数；再结合所给的选项进行判断即可．
【详解】解：的正确写法是，故A不符合题意；
的正确写法是，故B不符合题意；
的写法是正确的，故C符合题意；
的正确写法，故D不符合题意；
．
【变式2】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，书写正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】代数式书写方法
【分析】代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求逐项判断．
【详解】解：选项A正确的书写是、
选项B的正确书写是
选项C的正确书写是，
选项D的书写正确．
故选：D．
【变式3】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】代数式书写方法
【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；
B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；
C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；
D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意；
故选：D．
题型04 代数式表示的实际意义
【典例4】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）请你对“”赋予一个实际含义： ．
【答案】一个作业本元，小明买了个作业本，共付了多少钱？（答案不唯一）
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题主要考查用代数式表示数量关系，理解题目的数量关系是解题的关键．用代数式表示数量关系，根据代数式的形式可求解．
【详解】解：根据代数式表示数量关系， 可以为：一个作业本0.8元，小明买了a个作业本，共付了多少钱？
故答案为：一个作业本元，小明买了个作业本，共付了多少钱？（答案不唯一）．
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）请你为代数式赋予一个实际意义 ．
【答案】一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一）
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查了代数式，根据代数式的运算顺序赋予其实际意义即可．
【详解】解：代数式的意义可以是：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付了多少钱？
故答案为：一支钢笔x元，一支铅笔y元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付的钱数.（答案不唯一）
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）已知等边三角形的边长为，正方形的边长为，则的实际意义为 ．
【答案】等边三角形的周长与正方形的周长之和
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查代数式所表示的实际意义，三角形周长公式，正方形周长公式，读懂代数式中各部分之间的关系及所表示的实际意义是解答此题的关键．根据等边三角形的边长为，正方形的边长为，可得表示的是等边三角形的周长，表示的是正方形的周长，据此可得出答案．
【详解】解：∵等边三角形的边长为，正方形的边长为，
∴的实际意义为等边三角形的周长，的实际意义为正方形的周长，
∴的实际意义为等边三角形的周长与正方形的周长之和，
故答案为：等边三角形的周长与正方形的周长之和．
【变式3】（23-24七年级上·山东枣庄·期中）代数式可以解释为： （举一例说明它的实际背景或几何背景）．
【答案】答案不唯一，见解析
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程速度时间的关系表示即可．
【详解】答案不唯一．例如：如果用（米/秒）表示小花跑步的速度，用（米/秒）表示小花走路的速度，那么表示她跑步5秒和走路10秒所经过的路程.
题型05 已知字母的值，求代数式的值
【典例5】（2024·海南海口·一模）当时，代数式的值是（ ）
A．B．7C．1D．
【答案】D
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查代数式的值．把代入代数式进行求解即可．
【详解】解：把代入代数式得：；
故选：D．
【变式1】（22-23七年级上·甘肃酒泉·期末）当，时，代数式的值是（ ）
A．6B．C．9D．
【答案】D
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把，代入所求式子中求解即可．
【详解】解：当，时，，
故选：D．
【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）当时，求多项式的值．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查代数式求值，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键．
直接将代入计算即可．
【详解】解：当时，
．
【变式3】（22-23七年级上·贵州贵阳·期中）某窗户如图，其上方由2个半径相同的四分之一圆组成．
(1)求窗户透光部分的面积S；
(2)若，，求透光部分的面积S．（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查列代数式，代数式求值：
（1）用矩形的面积减去阴影部分的面积即可；
（2）将，，代入（1）中结果，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）把，，代入：，得：
．
题型06 已知式子的值，求代数式的值
【典例6】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（ ）
A．2022B．C．2021D．
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了有理数的运算，掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．先把代入中，根据代数式的值为2024求出的值，再把代入中，利用整体代入的思想得结论．
【详解】解：时，代数式的值为2024，
即．
当时，代数式
．
故选：B．
【变式1】（23-24七年级上·四川达州·期末）若，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题是一道求代数式的值的题目，采用整体代入法是解题的关键．
首先将原式变形为，接下来将代入中计算，问题可迎刃而解．
【详解】解：，
将代入上式得：原式．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查求代数式的值，将变形为，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
．
【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）运用整体思想在代数式求值中经常会有用到．
例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，则______；
(2)已知，，则______；
(3)当，时，代数式的值为8，
则当，时，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值：
（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
故答案为：
（2）解：∵，，
∴；
故答案为：17
（3）解：∵当，时，代数式的值为8，
∴，
∴，
∴当，时， ．
题型07 程序流程图与代数式求值
【典例7】（2024·广东深圳·模拟预测）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是 ．
【答案】
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题主要考查了根据程序图求值，先判断输入的2与的大小关系，然后确定输入的2代入哪个等式求y，从而求出答案即可．
【详解】解：∵输入的，
∴当时，，
∴输出y的值是.
故答案为：．
【变式1】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）小星在学习“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
【答案】
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识点，弄清题中的运算程序是解题的关键．
把代入运算程序中计算，如大于或等于则把其结果再代入运算程序中计算，如小于则直接输出结果．
【详解】解：当时，
，
当时，
，
则，
故答案为：．
【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为36，我们发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，则第2023次输出的结果为 ．
【答案】3
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，仔细计算，观察出从第4次开始，偶数次输出的结果是6，奇数次输出的结果是3是解题的关键．根据运算程序依次进行计算，从而不难发现，从第4次开始，偶数次输出的结果是6，奇数次输出的结果是3，然后解答即可．
【详解】解：第1次输出的结果为18，
第2次输出的结果为，
第3次输出的结果为，
第4次输出的结果为，
第5次输出的结果为，
第6次输出的结果为，
第7次输出的结果为，
…，
如此循环，从第4次开始第偶次输出的是6，第奇次输出的是3．
第2023次输出的结果为3．
故答案为：3．
【变式3】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）按下面的程序计算：
如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ．
【答案】或10或3
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入．
由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止．
【详解】解：当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，x不是正整数，不合题意．
即当或10或3时，输出的结果都是150．
故答案为：或10或3．
一、单选题
1．（22-23七年级上·内蒙古通辽·开学考试）下面各式中，符合书写要求的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题主要考查了代数式的书写．根据代数式的书写要求，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、应该是，故本选项不符合题意；
B、应该是，故本选项不符合题意；
C、应该是，故本选项不符合题意；
D、，书写正确，故本选项符合题意；
故选：D
2．（23-24七年级上·云南红河·阶段练习）若的相反数是3，则的值是（ ）
A．0B．C．D．6
【答案】A
【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数的定义，根据的相反数是3，得出，然后再代入求值即可．
【详解】解：∵的相反数是3，
∴，
∴，
．
3．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知 ，那么代数式的是（ ）
A．B．0C．3D．9
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键．
根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得．
【详解】解：∵，
∴，
即，，
∴．
故选：D．
4．（2024年湖南省邵阳市中考模拟预测数学试题）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】B
【知识点】用代数式表示式
【分析】设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，根据总价单价数量，可得答案．本题考查了列代数式，理解题意是关键．
【详解】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，
购买乙种读本的费用为，
故选：B．
5．（23-24八年级下·山东德州·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是；若输入x的值是7，则输出y的值是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了不等式与代数式的运算，熟悉掌握流程图是解题的关键．
根据流程图的含义，把把，代入求出的值，再把和的值代入运算即可．
【详解】解：由题意可得：把，代入可得：，
解得：，
∴当时，，
把代入可得：，
．
二、填空题
6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知下列各式：①，②8，③，④，⑤，⑥，
⑦，⑧，⑨，⑩，其中代数式有 （填写序号）．
【答案】①②③⑤⑦⑧
【知识点】代数式的概念
【分析】根据代数式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：①，是代数式，符合题意；
②8，是代数式，符合题意；
③，是代数式，符合题意；
④，不是代数式，不符合题意；
⑤，是代数式，符合题意；
⑥，不是代数式，不符合题意；
⑦，是代数式，符合题意；
⑧，是代数式，符合题意；
⑨，不是代数式，不符合题意；
⑩，不是代数式，不符合题意；
综上：是代数式的有①②③⑤⑦⑧．
故答案为：①②③⑤⑦⑧．
【点睛】本题主要考查了代数式的定义，解题的关键是掌握代数式定义：代数式是由数和表示数的字母经加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式．注意事项：（1）单独的一个数或者一个字母也是代数式；（2）代数式不能带有“=、≈、≠、≥、≤、<、>”等表示大小关系的符号．
7．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式的实际意义 ．
【答案】苹果元一斤，用50元买斤苹果，剩余多少钱．
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查了代数式的实际意义，理解题意是解题的关键．本题根据苹果元一斤，可得用50元买斤苹果，剩余多少钱．
【详解】解：代数式的实际意义表示苹果元一斤，用50元买斤苹果，剩余多少钱．
故答案为：苹果元一斤，用50元买斤苹果，剩余多少钱．
8．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若，则代数式的值是 ．
【答案】1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握整体代入的思想是解题的关键．
根据已知得到，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
9．（22-23七年级上·广西柳州·期末）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，则这个两位数是 ．
【答案】/
【知识点】用代数式表示式
【分析】本题考查了列代数式，根据两位数十位数字+个位数字列式即可．
【详解】解：这个两位数是．
故答案为：．
10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ．
【答案】
【知识点】相反数的定义、倒数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了新定义运算，根据相反数和倒数的定义，先求出，，再根据新定义列式进行计算即可．
【详解】解：∵与互为倒数，
∴，
∵与5互为相反数，
∴，
．
故答案为：．
三、解答题
11．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）用代数式表示
(1)的平方的3倍与5的差
(2)比的倒数与的倒数的和大1的数
(3)、两数的平方和减去它们乘积的2倍
(4)、两数的平方差除以、两数的和的平方所得的商．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】用代数式表示式
【分析】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键．
（1）先表示a的平方，在表示3倍，最后减5即可；
（2）分别表示出a、b的倒数，再求和，最后加1；
（3）先表示出a、b的平方和，再表示a、b乘积2倍，最后相减；
（4）表示出a、b的平方差，再表示出两数和的平方，最后相除．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
12．（23-24七年级上·吉林·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于3．
(1)填空：____；________；________；
(2)求的值．
【答案】(1)0；1；
(2)4或
【知识点】相反数的定义、绝对值的意义、倒数、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了有理数的相反数、倒数和绝对值以及代数式求值：
（1）根据相反数的定义、倒数的定义和绝对值的定义解答；
（2）把（1）的结果代入求解即可，注意分类．
【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于3．
∴；；；
故答案为：0；1；
（2）解：当时，
∴两块长方形的休息区的面积是，
∴阴影部分的面积；
（2）解：当时，
阴影部分面积．
14．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．
(1)则在A超市购买需要_________元，在B超市购买需要________元
(2)当每副球拍配10个乒乓球时，分别计算一下去A超市和B超市购买的费用各是多少元?
(3)当时，最省钱的购买方案是__________．
【答案】(1)，
(2)当每副球拍配10个乒乓球时，去A超市和B超市购买的费用都是270元
(3)在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球．
【知识点】用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了最优化问题，方案的提出是本题解题的关键．
（1）分析题意，根据“去超市花的总费用购买球拍的费用购买乒乓球的费用”，列出去，超市所需的总费用；
（2）令两个关系式相等，通过解方程即可求出的值；
（3）可分别计算出只在超市购买，只在超市购买和在，超市同时购买的三种不同情况下，所需的费用，然后比较出最省钱的方案．
【详解】（1）在A超市购买需要元，即元，
在超市购买需要元，，即元，
故答案为：，；
（2）当时，在A超市购买需要（元），
在超市购买需要（元），
所以当每副球拍配10个乒乓球时，去A超市和B超市购买的费用都是270元；
（3）当时，即购买10副球拍应配120个乒乓球．
若只去超市购买的费用为：（元
若只去超市购买的费用为：（元；
若在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球的费用：（元，
所以当时，最省钱的购买方案是在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球．
15．（22-23七年级上·海南海口·期中）新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息
(1)每本书的高度为 ，课桌的高度为 ．
(2)当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离 用含x的代数式表示）．
(3)桌面上有55本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有16名同学各从中取走一本，求余下的数学课本高出地面的距离．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，列代数式，代数式求值：
（1）让高摞书距离地面的距离减去低摞书距离地面的距离后除以3即为每本数的高度；让低摞书的高度减去3本书的高度即为课桌的高度；
（2）高出地面的距离课桌的高度本书的高度，把相关数值代入即可；
（3）把代入（2）得到的代数式求值即可．
【详解】（1）解：书的厚度为：；
课桌的高度为：．
故答案为：；；
（2）解：本书的高度为，课桌的高度为，
高出地面的距离为．
故答案为：；
（3）解：当时，．
故余下的数学课本高出地面的距离是．
16．（22-23七年级上·四川成都·期中）整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值中，整体代换思想非常常用，例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若，则_____．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
（1）将代数式适当变形后得，利用整体代入的方法解答即可；
（2）利用等式的性质求得，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴原式
故答案为：
（2）解：∵
∴
∴原式
课程标准
学习目标
①代数式的定义
②掌握代数式的求值
1．了解字母表示数及代数式的概念；并掌握代数式的书写要求；
2．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；
3．掌握代数式的求值，理解程序流程图的求值方法，初步感悟数学思想中的整体代入法的计算方法。