高考仿真重难点训练04 三角函数-2025年高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理•高分突破》（新高考专用）

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一、选择题
1．下列角中与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到，结合终边相同角的表示，即可求解.
【解析】由角度制与弧度制的互化公式，可得，
与角终边相同的角的集合为，
令，可得，
所以与角终边相同的角是.
故选：D.
2．下列函数中，以2π为周期，为对称轴，且在上单调递增的函数是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合题意分别判断选项中三角函数的周期性、对称轴和单调性
【解析】,，故不满足周期为，故排除
：，，令,
即，当时，为对称轴，
当时为单调减函数，故排除
:，，但是正切函数不具有对称轴，故排除
综上，故选
【点睛】本题考查了三角函数图像的周期性、对称性以及单调性，熟练运用三角函数知识来求出结果，属于基础题
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.
【解析】
.
故选：A.
4．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的图象，棱台三角函数的性质求得，进而得到，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【解析】由函数的图象，可得，解得，所以，
所以，又由，即，
可得，即，
因为，所以，所以，
所以，令，
解得，
所以函数的单调增区间是.
故选：C.
5．将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm
【答案】C
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.
【解析】由，得.
由函数的图象可知函数的周期为，
所以，即.
故选：C.
6．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式得，进而根据求方程得或，即可列举出正的零点，列不等式即可求解.
【解析】由可得，
令,
所以或，
故函数的正零点从小到大排列为：，
要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足且，解得，
故选：C
7．若，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解.
【解析】由对数函数单调性，可得，所以；
因为，所以，
又因为，所以，即，所以.
故选：B.
8．已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数，利用导数求函数的值域即可.
【解析】作出函数的图象如图，
当时，，由得，由可得，
由图可知，，点、关于直线对称，则，
点、关于直线对称，则，
所以，
令，其中，
，当时，，在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，当时，，
当时，；当时，，则，
所以的取值范围为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.
二、多选题
9．下列化简正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系逐一证明即可.
【解析】，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：AB
10．已知函数，则（ ）
A．若的图象向右平移个单位长度后与的图象重合，则的最小值为1
B．若的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5
C．若函数的最小正周期为，则
D．当时，若的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则方程有无穷多个解
【答案】BC
【分析】对于A，B，根据图象平移规则得到的取值，再由，即可得到的最值；对于C，根据函数的最小正周期求解即可；对于D，先求出的解析式，再对方程进行换元化简，讨论即可得到方程解的个数.
【解析】对于A项，因为，
所以，，即，，又，所以的最小值为8，故A项错误；
对于B项，因为，
所以，，即，，又，所以的最小值为，故B项正确.
对于C项，因为函数的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期为，所以，解得，故C项正确.
对于D项，当时，，所以，方程.
令，则，，当时，，即，所以（舍）或（舍）；
当时，，即，无解.
综上，无解，故D项错误.
故选：BC.
11．已知，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的值域为
C．在区间上有33个零点
D．若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据题意可得，从而可对A判断；由题意可得，则为的一个周期，不妨讨论内的值域情况，从而可对B判断；令，可得或，即（），从而可对C判断；根据分情况讨论得到，，从而可对D判断.
【解析】对A：由，
所以，则的图象关于对称，故A正确；
对B：由，
因为，所以的一个周期为，
不妨讨论一个周期的值域情况，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则；
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
综上所述，故B正确；
对C：，令得或，可得（），
所以，，所以在上有31个零点，故C错误；
对D：是以为周期的周期函数，当时，
则在上有2个实根，，且与关于对称，所以；
当时，则在上没有实根，
则在上有2个实根，，且与关于对称，且，
且，，
当时，则在上没有实根，
当时，有2个实根，但只需有4个零点，
所以，又因为，
所以的取值范围是，故D错误，
故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
12．已知点，将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点的横坐标为
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【解析】设点的坐标为，则，
设为终边上的一点，则，
则， 解得，
故答案为：.
13．已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则 ； ．
【答案】
【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得.
【解析】设，
由得：，，
又，，解得：，
此时的最小正周期，
，在区间上单调递减，
和分别为单调递减区间的起点和终点，
当时，，
，，又，；
综上所述：，.
故答案为：；.
14．已知函数，对于任意的，，，且函数在区间上单调递增，则的值为 ．
【答案】3
【分析】根据函数在区间上单调递增得到的大致取值范围，再根据，得到函数图象的对称性，利用正弦函数的图象与性质分情况求解的值并验证，即可得解.
【解析】设函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调递增，
所以，得，因此．
由知的图象关于直线对称，
由知的图象关于点对称．
①由，得，即，
解得，又，故，
当时，所以，则，即，又，所以，
故，，满足函数在区间上单调递增；
②由，得，即，
解得，又，故，
当时，所以，则，
即，又，求得，故，
因为，不满足函数在区间上单调递增．
故．
故答案为：3.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据，得到函数图象关于直线对称，关于点对称．利用正弦函数的图象与性质分和两种情况讨论，求解的值并验证.
四、解答题
15．已知，，
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据两角差的正切公式可求得的值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到，再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可.
【解析】（1），
，
，解得.
（2）.
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为.
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围．
【解析】（1），
则函数的最小正周期；
令，解得 ，
可得函数的单调递增区间为·
令 ，解得 ，
可得因数的单调递减区间为 ；
（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，
当，，由增大到1，
当，，由1减小到，
若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
17．已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【解析】（1）因为，
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
（2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：，
再将其向右平移，可得：，
即函数，
因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是，
再由函数有且仅有4个零点，则满足，
解得，所以实数的取值范围.
18．筒车亦称“水转筒车”，是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6 m，筒车直径为8 m，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24 s，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为4 m.
(1)盛水筒A经过t s后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数h＝f（t）的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t.
（参考公式：sin θ－sin φ＝2cs ·sin ，cs θ－cs φ＝2sin sin ）
【答案】(1)h＝4sin（t＋）＋2，t∈[0，24]
(2)8sinm，t＝11.5或t＝23.5.
【解析】
解：（1） 以筒车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系．
设h＝M sin （ωt＋φ）＋N，t∈[0，24].
由题意知，2M＝8，M＋N＝6，
∴ M＝4，N＝2，即h＝4sin （ωt＋φ）＋2.
当t＝0时，h＝4sin φ＋2＝4，解得sin φ＝，结合图象初始位置可知φ＝.
∵ T＝＝24，∴ ω＝.
综上，h＝4sin （t＋）＋2，t∈[0，24].
（2） 经过t s后A距离水面的高度h＝4sin （t＋）＋2.
由题意知∠AOB＝＝，所以经过t s后B距离水面的高度h′＝4sin （t－）＋2，则盛水筒B与盛水筒A的高度差为H＝|h－h′|＝4|sin （t＋）－sin （t－）|，
利用sin θ－sin φ＝2cs sin ，H＝4|sin （t＋）－sin （t－）|＝8sin |cs （t＋）|，当t＋＝kπ，k∈Z，
即t＝－＋12k，k∈Z时，H取最大值8sin （m）.
∵ t∈[0，24]，∴ 当t＝11.5或t＝23.5时，H取最大值．
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为8sin m，此时t＝11.5或t＝23.5.
【考查意图】
三角函数模型下相关实际应用问题．
19．如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：1n1+csπn+1+cs2πn+1+cs3πn+⋯+1+csnπn