9.4　抛物线（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

这是一份9.4　抛物线（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案），共19页。试卷主要包含了4　抛物线，已知A为抛物线C，设F为抛物线C，过抛物线C，已知抛物线C，已知点A在抛物线C，斜率为3的直线过抛物线C，设抛物线C等内容，欢迎下载使用。
五年高考
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=( )
A.1 B.2 C.22 D.4
3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2 B.22 C.3 D.32
4.(2017课标Ⅱ文,12,5分,中)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A.5 B.22 C.23 D.33
5.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
2.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
3.(2018课标Ⅰ理,8,5分,中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
7.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
8.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
10.(2022全国甲,文21,理20,12分,难)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
11.(2023全国甲理,20,12分,难)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届海南海口中学检测,5)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x=4与C交于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,7)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150°,则|PF|=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(2023四川成都二模,4)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2024届重庆巴蜀中学适应性月考(二),7)已知点F为抛物线y2=23x的焦点,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若AF=3FB,则△AOB的面积为( )
A.3 B.23 C.3 D.32
5.(2023湖北武汉四调,6)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.(多选)(2024届广东普宁二中第一次月考,10)设F(0,2p)为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,A为C上一点,且|AF|=9,则( )
A.p=8
B.F(0,4)
C.直线AF的斜率为520
D.△AOF的面积为85
7.(多选)(2024届云南昆明第一中学月考,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若FA=3FB,则( )
A.|BH|=53 B.|AF|=4
C.|AF|=3|BH| D.|AF|=4|BH|
8.(2023山东潍坊一模)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出一个满足条件的C的标准方程: .
9.(2023湖南益阳三模,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)的直线l与C交于不同的两点M,N.若|NF|=2|PF|,则|MF|= .
10.(2023甘肃陇南一模,14)设F为抛物线y2=8x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,若FA+FB+FC=OF,O为坐标原点,则|FA|+|FB|+|FC|= .
综合拔高练
1.(多选)(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,12)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=2x
2.(2024届广东南粤名校素养评价,4)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=( )
A.2 B.22
C.4 D.6
3.(2023福建厦门双十中学模拟,6)已知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,动点M在C上,圆M的半径为1,过点F的直线与圆M相切于点N,则FM·FN的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2023山东青岛二模,7)已知O为坐标原点,直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F,与D及其准线依次交于A,B,C三点(其中点B在A,C之间),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,则△OAB的面积是( )
A.3 B.433 C.23 D.833
5.(2024届浙江名校协作体返校联考,5)抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(6,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则|BC||AC|=( )
A.34 B.45 C.56 D.67
6.(多选)(2023辽宁鞍山统考,12)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线C交于A、B两点,则下列说法正确的是( )
A.若F(1,0),则l:x=-12
B.若F(1,0),则弦AB最短长度为4
C.存在以AB为直径的圆与l相交
D.若直线AB:y=3x−p2,且A点在x轴的上方,则AF=3FB
7.(2024届广东深圳开学模考,15)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且AF=3FB,若M为AB的中点,则M到y轴的距离为 .
(2024届广东仲元中学月考,15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,C的准线l与x轴相交于点B,A为C上一点,直线AO与直线l相交于点E,若∠BOE=
∠BEF,|AF|=6,则C的标准方程为 .
9.(2023江西九江一模,14)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为 .
10.(2024届广东四校第一次联考,16)过P(m,-2)向抛物线x2=4y引两条切线PQ,PR,切点分别为R,Q,又点A(0,4)在直线QR上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是 .
11.(2023河北唐山二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上一点,BF=2FA,|AB|=9.
(1)求C的方程;
(2)M,N,E(x0,-2)是C上的三点,若kEM+kEN=1,求点E到直线MN距离的最大值.
12.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为C的焦点,过点F的直线l与C交于H,I两点,且在H,I两点处的切线交于点T,当l与y轴垂直时,|HI|=4.
(1)求C的方程;
(2)证明:|FI|·|FH|=|FT|2.
13.(2024届湖北部分名校新起点联考,22)直角坐标系xOy中,已知动点P到定点F0,14的距离比动点P到定直线y=−54的距离小1,记动点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)点S,T是曲线C上位于直线y=14的上方的点,过点S,T作曲线C的切线交于点Q,若FS⊥FT,证明:cs∠SQT为定值.
9.4 抛物线
五年高考
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=( )
A.1 B.2 C.22 D.4
答案 B
3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2 B.22 C.3 D.32
答案 B
4.(2017课标Ⅱ文,12,5分,中)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A.5 B.22 C.23 D.33
答案 C
5.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.
设点P(4x02,4x0),Q(x1,y1),则PQ=(x1-4x02,y1-4x0),
∵F(1,0),∴QF=(1-x1,-y1),∵PQ=9QF,
∴x1−4x02=9(1−x1),y1−4x0=9(−y1),整理得x1=110(9+4x02),y1=410x0,
第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.
∴kOQ=y1x1=4x09+4x02,
当kOQ最大时,x0>0,
∴kOQ=49x0+4x0≤4236=13,
当且仅当4x0=9x0时取“=”,此时x0=32,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为13.
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
答案 B
2.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
3.(2018课标Ⅰ理,8,5分,中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
4.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案 AC
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
7.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
答案 94
8.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
答案 163
9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
答案 x=-32
10.(2022全国甲,文21,理20,12分,难)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
解析 (1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+p2=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
(2)解法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直线MN的方程为x=my+1,
由x=my+1,y2=4x得y2-4my-4=0,
Δ1=16m2+16>0恒成立,且y1y2=-4.
由斜率公式可得kMN=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2,
同理kAB=4y3+y4.
直线MD的方程为x=x1−2y1y+2,代入y2=4x中可得y2-4(x1−2)y1y-8=0.
Δ2>0且y1y3=-8,所以y3=2y2,同理y4=2y1,
所以kAB=4y3+y4=2y1+y2=kMN2,
又因为直线MN,AB的倾斜角分别为α,β,
所以kAB=tan β=kMN2=tanα2,
若要使α-β最大,则β∈0,π2.
设kMN=2kAB=2k,k>0,则tan(α-β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24,当且仅当1k=2k,即k=22时,等号成立,
所以当α-β最大时,设直线AB的方程为x=2y+n,
由x=2y+n,y2=4x得y2−42y-4n=0,
则y3y4=-4n=4y1y2=-16.
所以n=4,所以直线AB的方程为x-2y-4=0.
解法二:由题可知,直线MN的斜率存在.
设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直线MN:y=k(x-1),由y=k(x−1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1x2=1,则y1y2=-4.
直线MD:y=y1x1−2(x-2),代入抛物线方程可得x1x3=4,同理,x2x4=4.
结合抛物线方程可得y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,
所以kAB=y4−y3x4−x3=2(y1−y2)41x2−1x1=y2−y12(x2−x1)=12kMN.
下同解法一.
11.(2023全国甲理,20,12分,难)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.
解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x−2y+1=0,y2=2px消去x得y2-4py+2p=0,
∵直线与抛物线有两个交点A,B,∴Δ=16p2-8p>0,
解得p>12或p0,即m2+t>0,
由根与系数的关系得y3+y4=4m,y3y4=-4t,
∵FM·FN=0,∴(x3-1,y3)·(x4-1,y4)=0,即(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+t-1)(my4+t-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(t-1)(y3+y4)+(t-1)2
=(m2+1)(-4t)+m(t-1)·4m+(t-1)2=0,
即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t2-2t+1=0,即4m2=t2-6t+1.
设F到MN的距离为d,则d=t−1|1+m2,
又|MN|=1+m2|y3−y4|=1+m2·(y3+y4)2−4y3y4=1+m2·16m2+16t=41+m2·m2+t,
∴S△MFN=12|MN|·d=12×41+m2·m2+t·t−1|1+m2=2m2+t·|t−1|=4m2+4t·|t-1|
=t2−2t+1|t-1|=(t-1)2.
∵4m2=t2-6t+1≥0,解得t≤3-22或t≥3+22,
∴当且仅当t=3-22时,S△MFN取得最小值12-82.
即△MFN面积的最小值为12-82.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届海南海口中学检测,5)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若直线x=4与C交于A,B两点,且|AB|=8,则|AF|=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B
2.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,7)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150°,则|PF|=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A
3.(2023四川成都二模,4)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 C
4.(2024届重庆巴蜀中学适应性月考(二),7)已知点F为抛物线y2=23x的焦点,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若AF=3FB,则△AOB的面积为( )
A.3 B.23 C.3 D.32
答案 C
5.(2023湖北武汉四调,6)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
6.(多选)(2024届广东普宁二中第一次月考,10)设F(0,2p)为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,A为C上一点,且|AF|=9,则( )
A.p=8
B.F(0,4)
C.直线AF的斜率为520
D.△AOF的面积为85
答案 ABD
7.(多选)(2024届云南昆明第一中学月考,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若FA=3FB,则( )
A.|BH|=53 B.|AF|=4
C.|AF|=3|BH| D.|AF|=4|BH|
答案 BC
8.(2023山东潍坊一模)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出一个满足条件的C的标准方程: .
答案 x2=16y(答案不唯一)
9.(2023湖南益阳三模,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)的直线l与C交于不同的两点M,N.若|NF|=2|PF|,则|MF|= .
答案 43
10.(2023甘肃陇南一模,14)设F为抛物线y2=8x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,若FA+FB+FC=OF,O为坐标原点,则|FA|+|FB|+|FC|= .
答案 14
综合拔高练
1.(多选)(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,12)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=2x
答案 AC
2.(2024届广东南粤名校素养评价,4)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=( )
A.2 B.22
C.4 D.6
答案 C
3.(2023福建厦门双十中学模拟,6)已知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,动点M在C上,圆M的半径为1,过点F的直线与圆M相切于点N,则FM·FN的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
4.(2023山东青岛二模,7)已知O为坐标原点,直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F,与D及其准线依次交于A,B,C三点(其中点B在A,C之间),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,则△OAB的面积是( )
A.3 B.433 C.23 D.833
答案 B
5.(2024届浙江名校协作体返校联考,5)抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(6,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则|BC||AC|=( )
A.34 B.45 C.56 D.67
答案 A
6.(多选)(2023辽宁鞍山统考,12)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线C交于A、B两点,则下列说法正确的是( )
A.若F(1,0),则l:x=-12
B.若F(1,0),则弦AB最短长度为4
C.存在以AB为直径的圆与l相交
D.若直线AB:y=3x−p2,且A点在x轴的上方,则AF=3FB
答案 BD
7.(2024届广东深圳开学模考,15)过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且AF=3FB,若M为AB的中点,则M到y轴的距离为 .
答案 53
(2024届广东仲元中学月考,15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,C的准线l与x轴相交于点B,A为C上一点,直线AO与直线l相交于点E,若∠BOE=
∠BEF,|AF|=6,则C的标准方程为 .
答案 y2=8x
9.(2023江西九江一模,14)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为 .
答案 22
10.(2024届广东四校第一次联考,16)过P(m,-2)向抛物线x2=4y引两条切线PQ,PR,切点分别为R,Q,又点A(0,4)在直线QR上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是 .
答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)
11.(2023河北唐山二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上一点,BF=2FA,|AB|=9.
(1)求C的方程;
(2)M,N,E(x0,-2)是C上的三点,若kEM+kEN=1,求点E到直线MN距离的最大值.
解析 (1)因为BF=2FA,所以|AF|=13|AB|=3,
由BF=2FA,xB=-p2,xF=p2可得xA=p,
由抛物线的定义可知,|AF|=p+p2=3,解得p=2.
则C的方程为y2=4x.
(2)因为E(x0,-2)在抛物线C上,所以x0=1,
设直线MN的方程为x=ty+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
将x=ty+n代入y2=4x,得y2-4ty-4n=0,
则y1+y2=4t,y1y2=-4n,
kEM=y1+2x1−1=y1+2y124−1=4y1−2,同理kEN=4y2−2,
kEM+kEN=4y1−2+4y2−2=4(y1+y2)−16y1y2−2(y1+y2)+4=16t−16−4n−8t+4=1,
整理得,n=-6t+5,则直线MN的方程为x=ty-6t+5,
所以直线MN过定点T(5,6).
当ET⊥MN时,点E到直线MN的距离最大,
且最大距离为|ET|=(5−1)2+(6+2)2=45,
经检验符合题意.
12.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为C的焦点,过点F的直线l与C交于H,I两点,且在H,I两点处的切线交于点T,当l与y轴垂直时,|HI|=4.
(1)求C的方程;
(2)证明:|FI|·|FH|=|FT|2.
解析 (1)由题意知F0,p2,将y=p2代入x2=2py,解得x=±p,所以当l与y轴垂直时,|HI|=2p=4,所以p=2,
故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)证明:根据题意知直线l的斜率存在,由(1)知F(0,1),
设直线l的方程为y=kx+1,H(x1,y1),I(x2,y2),
联立x2=4y,y=kx+1,消y得x2-4kx-4=0,
所以Δ=(-4k)2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=-4.
对y=14x2求导,得y'=12x,所以kTH·kTI=12x1·12x2=14×(-4)=-1,所以TH⊥TI.
由y−y1=12x1(x−x1),y−y2=12x2(x−x2)得x=2k,y=−1,所以T(2k,-1).
证法一:当k=0时,根据对称性得|FI|=|FH|=2,|FT|=2,所以|FI|·|FH|=|FT|2;
当k≠0时,kFT·kHI=-1k·k=-1,所以FT⊥HI,
所以△FTI∽△FHT,所以|FT||FH|=|FI||FT|,
即|FI|·|FH|=|FT|2.综上,|FI|·|FH|=|FT|2.
证法二:因为|FH|2=x12+(y1-1)2=4y1+(y1-1)2=(y1+1)2,
|FI|2=x22+(y2-1)2=4y2+(y2-1)2=(y2+1)2,
所以|FH|2·|FI|2=(y1+1)2·(y2+1)2
=(y1y2+y1+y2+1)2=x124·x224+x124+x224+12=(x1x2)216+(x1+x2)2−2x1x24+12=(4k2+4)2.
又|FT|2=4k2+4,所以|FI|·|FH|=|FT|2.
13.(2024届湖北部分名校新起点联考,22)直角坐标系xOy中,已知动点P到定点F0,14的距离比动点P到定直线y=−54的距离小1,记动点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)点S,T是曲线C上位于直线y=14的上方的点,过点S,T作曲线C的切线交于点Q,若FS⊥FT,证明:cs∠SQT为定值.
解析 (1)由题意,知动点P到定点F0,14的距离与动点P到定直线y=−14的距离相等,由抛物线的定义知C为抛物线,且焦点在y轴上,设C:x2=2py,p>0,则p2=14,得p=12,则C的方程为x2=y.
(2)证明:设S(x1,x12),T(x2,x22),
则FS=x1,x12−14,FT=x2,x22−14,
∵FS⊥FT,
∴FS·FT=x1x2+x12−14x22−14=0,
即x12x22+116=x12+x224-x1x2(*).
由y=x2,可得y'=2x,过点S(x1,x12)的切线的斜率为k1=2x1,
则切线SQ的方程为y-x12=2x1(x-x1)①,
同理切线TQ的方程为y-x22=2x2(x-x2)②,
联立①②解得Qx1+x22,x1x2,
由点S,T是曲线C上位于直线y=14的上方的点,可知x1x2