9.2　椭圆（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

这是一份9.2　椭圆（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案），共20页。试卷主要包含了2　椭圆，已知F1,F2是椭圆C，设F1,F2为椭圆C，已知椭圆C，已知椭圆C1等内容，欢迎下载使用。
五年高考
考点1 椭圆的定义和标准方程
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=( )
A.1 B.2 C.4 D.5
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
4.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2=35,则|OP|=( )
A.135 B.302 C.145 D.352
5.(2019课标Ⅰ理,10,5分,中)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
6.(2019课标Ⅲ理,15,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
8.(2019天津文,19,14分,难)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知3|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
考点2 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分,易)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.13 B.12 C.22 D.223
2.(2019北京理,4,5分,易)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
3.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=( )
A.233 B.2
C.3 D.6
4.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23 B.23 C.−23 D.−23
5.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( )
A.32 B.22 C.12 D.13
6.(2017课标Ⅰ文,12,5分,中)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
7.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )
A.22,1 B.12,1
C.0,22 D.0,12
8.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆x−12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
9.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为 .
10.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
11.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足|BF||AB|=32.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为3,求椭圆的标准方程.
三年模拟
综合基础练
1.(2023江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞,中国空间站全面建成,我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中,飞船与空间站的对接需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S1,近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S2,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为( )
A.S1S2
B.2S1S2
C.(S1+R)(S2+R)
D.2(S1+R)(S2+R)
2.(2024届广东普宁二中第一次月考,5)已知离心率53的椭圆C的方程为x2m+y2n=1(m>n>0),则m+nm−n=( )
A.2 B.125 C.135 D.3
3.(2023广东深圳二模)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且F1P·F1F2=12a2,则C的离心率为( )
A.13 B.23 C.12 D.25
4.(2024届湖北武汉武钢三中月考,7)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的另一个焦点.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后,满足AB⊥AD,且cs∠ABC=35,则该椭圆的离心率为( )
A.12 B.22 C.32 D.53
5.(2024届湖北武昌实验中学月考,5)已知椭圆C:x216+y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的动点,m=|PF1|,n=|PF2|,则4m+nmn的最小值为( )
A.98 B.54
C.20−379 D.20+379
6.(多选)(2023湖北武汉四调)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,则该椭圆的离心率的可能取值为( )
A.12 B.14 C.255 D.55
7.(多选)(2024届广东深圳开学模考,11)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,若过F1且倾斜角为30°的直线l与椭圆E交于A,B两点,△PAB的周长为8,则( )
A.直线PF2的斜率为-3
B.椭圆E的短轴长为4
C.PF1·PF2=2
D.四边形APBF2的面积为4813
8.(2023江苏省包场高级中学检测,13)已知椭圆x210−m+y2m−2=1的长轴在y轴上.若焦距为22,则m等于 .
9.(2024届河北邢台一中月考,16)设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点,若MF1=3F1N,且cs∠MNF2=45,则cs∠MF2N= .
10.(2024届福建厦门国祺中学第一次月考,22)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x-2与椭圆C交于M,N两点,O是原点,求△OMN的面积.
综合拔高练
1.(2023广东广州阶段测试,3)记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)=13x3+(m-2)x2+x无极值”,则p是q的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024届湖北武汉华中师大附中开学考,6)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N,若MF1=3F1N,则C的离心率为( )
A.33 B.13 C.32 D.223
3.(多选)(2023广东汕头二模,9)已知曲线C:x2+y2cs α=1,α∈[0,π],则下列结论正确的是( )
A.曲线C可能是圆,也可能是直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时,α越大,椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为2
4.(多选)(2024届云南师范大学附中月考,10)已知点F为椭圆C:x24+y23=1的左焦点,点P为C上的任意一点,点A的坐标为(1,3),则下列正确的是( )
A.|PA|+|PF|的最小值为13
B.|PA|+|PF|的最大值为7
C.|PF|-|PA|的最小值为13
D.|PF|-|PA|的最大值为1
5.(2023山东潍坊二模)如图,菱形架ABCD是一种作图工具,由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A,C可在带滑槽的直杆l上滑动;另一根带滑槽的直杆DH的长度为4,且一端记为H,另一端用铰链连接在D处,上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H,B固定在桌面上,且两点之间距离为2,转动杆HD,则点P与点B距离的最大值为 .
6.(2023江苏扬州中学开学考,15)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P(异于长轴的端点),使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1,则该椭圆离心率e的取值范围是 .
7.(2024届广东四校第一次联考,21)过原点O的直线与椭圆E:x29+y2b2=1(b>0)交于A,B两点,R(2,0),△ABR面积的最大值为25.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线AR交椭圆于另一个交点C,P92,m(m≠0),分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,求k2k1+k3的值.
8.(2024届福建漳州第一次质检,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-3,0),且过点A3,12.
(1)求C的方程.
(2)不过原点O的直线l与C交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列.
(i)求l的斜率;
(ii)求△OPQ的面积的取值范围.
9.2 椭圆
五年高考
考点1 椭圆的定义和标准方程
1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
2.(2023全国甲文,7,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=( )
A.1 B.2 C.4 D.5
答案 B
3.(2022全国甲文,11,5分,中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
答案 B
4.(2023全国甲理,12,5分,中)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2=35,则|OP|=( )
A.135 B.302 C.145 D.352
答案 B
5.(2019课标Ⅰ理,10,5分,中)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
答案 B
6.(2019课标Ⅲ理,15,5分,中)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .
答案 (3,15)
7.(2020课标Ⅱ理,19,12分,中)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2−b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2−2ca2,解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.
设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.①
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5−c)24c2+4(5−c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.
8.(2019天津文,19,14分,难)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知3|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,
因为3|OA|=2|OB|,所以3a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.
所以,椭圆的离心率为12.
(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).
第一步:先由直线与椭圆位置关系求出点P坐标.
点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.
代入l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.
因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.
第二步:由OC∥AP求得圆心C的坐标.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,
解得t=2.则C(4,2).
第三步:由圆与直线l的相切关系求出c的大小,进而求得椭圆方程.
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)−21+342=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
考点2 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分,易)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A.13 B.12 C.22 D.223
答案 C
2.(2019北京理,4,5分,易)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
3.(2023新课标Ⅰ,5,5分,易)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=( )
A.233 B.2
C.3 D.6
答案 A
4.(2023新课标Ⅱ,5,5分,中)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23 B.23 C.−23 D.−23
答案 C
5.(2022全国甲理,10,5分,中)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( )
A.32 B.22 C.12 D.13
答案 A
6.(2017课标Ⅰ文,12,5分,中)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
答案 A
7.(2021全国乙理,11,5分,难)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )
A.22,1 B.12,1
C.0,22 D.0,12
答案 C
8.(2021浙江,16,6分,中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆x−12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
答案 255;55
9.(2022新高考Ⅱ,16,5分,难)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为 .
答案 x+2y−22=0
10.(2022新高考Ⅰ,16,5分,难)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
答案 13
11.(2022天津,19,15分,难)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足|BF||AB|=32.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为3,求椭圆的标准方程.
解析 (1)∵|BF|=c2+b2=a,|AB|=a2+b2,
∴|BF||AB|=aa2+b2=32,解得a=3b,
∴c=a2−b2=2b,∴离心率e=ca=63.
(2)由(1)知椭圆方程为x23b2+y2b2=1.
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k0,如图.
则有|OM|=|ON|=m.
联立得x23b2+y2b2=1,y=kx+m,
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0⇒3b2k2+b2-m2=0,
由根与系数的关系得xM=-3mk3k2+1,代入直线l的方程,有yM=m3k2+1.∴|OM|=xM2+yM2=m9k2+13k2+1=m,解得k=-33,
设直线OM的倾斜角为θ,
∴kOM=tan θ=yMxM=−13k=33,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
∴S△OMN=12m2sin∠NOM=34m2=3,解得m=2,
∴3b2×13+b2-4=0,可得b2=2,
∴椭圆的标准方程为x26+y22=1.
三年模拟
综合基础练
1.(2023江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞,中国空间站全面建成,我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中,飞船与空间站的对接需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S1,近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S2,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为( )
A.S1S2
B.2S1S2
C.(S1+R)(S2+R)
D.2(S1+R)(S2+R)
答案 D
2.(2024届广东普宁二中第一次月考,5)已知离心率53的椭圆C的方程为x2m+y2n=1(m>n>0),则m+nm−n=( )
A.2 B.125 C.135 D.3
答案 C
3.(2023广东深圳二模)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且F1P·F1F2=12a2,则C的离心率为( )
A.13 B.23 C.12 D.25
答案 C
4.(2024届湖北武汉武钢三中月考,7)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的另一个焦点.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后,满足AB⊥AD,且cs∠ABC=35,则该椭圆的离心率为( )
A.12 B.22 C.32 D.53
答案 D
5.(2024届湖北武昌实验中学月考,5)已知椭圆C:x216+y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的动点,m=|PF1|,n=|PF2|,则4m+nmn的最小值为( )
A.98 B.54
C.20−379 D.20+379
答案 A
6.(多选)(2023湖北武汉四调)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,则该椭圆的离心率的可能取值为( )
A.12 B.14 C.255 D.55
答案 BCD
7.(多选)(2024届广东深圳开学模考,11)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,若过F1且倾斜角为30°的直线l与椭圆E交于A,B两点,△PAB的周长为8,则( )
A.直线PF2的斜率为-3
B.椭圆E的短轴长为4
C.PF1·PF2=2
D.四边形APBF2的面积为4813
答案 ACD
8.(2023江苏省包场高级中学检测,13)已知椭圆x210−m+y2m−2=1的长轴在y轴上.若焦距为22,则m等于 .
答案 7
9.(2024届河北邢台一中月考,16)设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点,若MF1=3F1N,且cs∠MNF2=45,则cs∠MF2N= .
答案 35
10.(2024届福建厦门国祺中学第一次月考,22)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x-2与椭圆C交于M,N两点,O是原点,求△OMN的面积.
解析 (1)由题意得2a=6,ca=63,解得a=3,c=6,
所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为x29+y23=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立y=x−2,x29+y23=1,消y得4x2-12x+3=0,
Δ=(-12)2-4×4×3>0,
由根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=34,
所以|MN|=1+12·(x1+x2)2−4x1x2=2×32−4×34=23,
又O到直线l:x-y-2=0的距离d=|0−0−2|2=2,
所以△OMN的面积为12|MN|·d=12×23×2=6.
综合拔高练
1.(2023广东广州阶段测试,3)记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)=13x3+(m-2)x2+x无极值”,则p是q的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2024届湖北武汉华中师大附中开学考,6)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N,若MF1=3F1N,则C的离心率为( )
A.33 B.13 C.32 D.223
答案 A
3.(多选)(2023广东汕头二模,9)已知曲线C:x2+y2cs α=1,α∈[0,π],则下列结论正确的是( )
A.曲线C可能是圆,也可能是直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时,α越大,椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为2
答案 ABD
4.(多选)(2024届云南师范大学附中月考,10)已知点F为椭圆C:x24+y23=1的左焦点,点P为C上的任意一点,点A的坐标为(1,3),则下列正确的是( )
A.|PA|+|PF|的最小值为13
B.|PA|+|PF|的最大值为7
C.|PF|-|PA|的最小值为13
D.|PF|-|PA|的最大值为1
答案 ABD
5.(2023山东潍坊二模)如图,菱形架ABCD是一种作图工具,由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A,C可在带滑槽的直杆l上滑动;另一根带滑槽的直杆DH的长度为4,且一端记为H,另一端用铰链连接在D处,上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H,B固定在桌面上,且两点之间距离为2,转动杆HD,则点P与点B距离的最大值为 .
答案 3
6.(2023江苏扬州中学开学考,15)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P(异于长轴的端点),使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1,则该椭圆离心率e的取值范围是 .
答案 (2-1,1)
7.(2024届广东四校第一次联考,21)过原点O的直线与椭圆E:x29+y2b2=1(b>0)交于A,B两点,R(2,0),△ABR面积的最大值为25.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线AR交椭圆于另一个交点C,P92,m(m≠0),分别记PA,PR,PC的斜率为k1,k2,k3,求k2k1+k3的值.
解析 (1)由题知S△ABR=2S△OAR=2×12×|OR|×|yA|=2|yA|≤2|b|,又S△ABR的最大值为25,
所以b=5,故椭圆E的方程为x29+y25=1.
(2)设直线AC的方程为x=2+ty,A(x1,y1),C(x2,y2),
由x=2+ty,x29+y25=1⇒(5t2+9)y2+20ty-25=0,
∴y1+y2=-20t5t2+9,y1·y2=-255t2+9.
由P92,m,R(2,0)得k2=2m5.k1+k3=m−y152−ty1+m−y252−ty2,
∴k2k1+k3=2m5·25−10t(y1+y2)+4t2y1·y22[10m−(2mt+5)(y1+y2)+4ty1·y2]
=m5·25−10t·−20t5t2+9+4t2·−255t2+910m−(2mt+5)·−20t5t2+9+4t·−255t2+9
=m5·25[(5t2+9)+4t2]10m[(5t2+9)+4t2]=m5·52m=12.
8.(2024届福建漳州第一次质检,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-3,0),且过点A3,12.
(1)求C的方程.
(2)不过原点O的直线l与C交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列.
(i)求l的斜率;
(ii)求△OPQ的面积的取值范围.
解析 (1)设椭圆的右焦点为F2,则由题知,椭圆C的右焦点坐标为F2(3,0).因为椭圆过点A3,12,
所以2a=(3+3)2+14+14=4,所以a=2.
又c=3,所以b=a2−c2=1,所以C的方程为x24+y2=1.
(2)(i)由题知,直线l的斜率存在,且不为0.
设l:y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立y=kx+m,x2+4y2=4,消y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,所以x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4(m2−1)1+4k2,
且Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)>0,即4k2-m2+1>0.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列,
所以y1x1·y2x2=k2,即k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2=k2,x1x2≠0,
所以−8k2m21+4k2+m2=0,且m2≠1,
因为m≠0,所以k2=14,所以k=±12.
(ii)由(i)知4k2-m2+1>0,k=±12,所以0