初中数学北师大版（2024）九年级上册第五章 投影与视图1 投影第1课时学案及答案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第五章 投影与视图1 投影第1课时学案及答案，共9页。学案主要包含了旧知再现，新知初探，图表导思，教材P126例1拓展，完善解答，归纳提升，一题多变等内容，欢迎下载使用。

第1课时
【旧知再现】
1．三角形相似判定方法：有两个角__相等__的三角形相似．
2．相似三角形的对应边__成比例__．
【新知初探】
阅读教材P125—P126完成下面问题：
1．投影现象：物体在__光线__的照射下，会在地面或其他平面上留下它的__影子__，这就是投影现象．__影子__所在的平面称为__投影面__．
2．中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从__一个点____发出的，这样的光线所形成的__投影____称为中心投影．
3．点光的确定：过物体的__顶端____与影子的__顶端____作一条直线即光线，这样两条光线的__交点____，就是点光．
【图表导思】
1．光可以看出是什么线的交点？
【解析】光线．
2．物体一样高影子一样长吗？物体的影长不同，它们的高度也不同吗？
【解析】不一定，不一定．
3．计算影子的长度，利用的数学知识是什么？
【解析】相似三角形对应边成比例．
中心投影
【教材P126例1拓展】——中心投影的应用
如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处，经过测量得：窗户距地面高OD＝1.5 m，窗户高度DC＝0.8 m，OE＝1 m，OF＝3 m，求路灯AB的高．
【完善解答】
连接DC，设路灯AB高为x m，BO的长度为y m，∵AB∥OC，∴∠B＝∠DOE，∠DEO＝∠AEB，∠AFB＝∠CFO，∴△ABE∽__△DOE__，
△ABF∽__△COF__，……………………………………相似三角形的判定
∴ eq \f(AB,DO) ＝__ eq \f(BE,OE) __， eq \f(AB,CO) ＝__ eq \f(BF,OF) __，
……………………………………………………相似三角形对应边成比例
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,1.5)＝ \f(1＋y,1) ，,\f(x,2.3)＝ \f(3＋y,3) ，)) ………………………………………………列方程组
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ \f(69,22) ，,y＝ \f(12,11) ，)) ………………………………………………解方程组
答：路灯AB的高度为__ eq \f(69,22) __ m．………………………………作答
【归纳提升】
利用三角形相似解决中心投影问题的思路
变式一：巩固 (2021·深圳质检)如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4 m，蹲下来，则身影AC＝1.05 m，已知小欣的身高AD＝1.6 m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH.
【解析】∵AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC(M是AD的中点)，
∴AB∶HB＝AD∶PH，AC∶AM＝HC∶PH，
即2.4∶(2.4＋AH)＝1.6∶PH，1.05∶0.8＝(1.05＋HA)∶PH，
解得：PH＝7.2 m.
即灯离地面的高度为7.2 m．
变式二：提升 (2021·惠州质检)如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米，路灯B高9米).
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子；
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
(3)计算路灯A的高度．
【解析】(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子(图略).
(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴ eq \f(EP,BD) ＝ eq \f(CP,CD) ，
∴ eq \f(1.8,9) ＝ eq \f(2,2＋6.5＋QD) ，
解得：QD＝1.5米．
(3)∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，
∴ eq \f(FQ,AC) ＝ eq \f(QD,CD) ，∴ eq \f(1.8,AC) ＝ eq \f(1.5,1.5＋6.5＋2) ，
解得：AC＝12米．
答：路灯A的高度为12米．
中心投影中影子的变化规律
【教材P126“议一议”补充】——中心投影的性质
如图，某小区内有一条笔直的小路．路的旁边有一盏路灯，晚上小红由A处走到B处．表示她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间关系的大致图象是(B)
【归纳提升】
中心投影的“三个特点”
1．等高物体垂直地面放置
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1）离点光源越近，影子越 短 ,（2）离点光源越远，影子越 长 ))
2．等长物体平行地面放置
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1）离点光源越近，影子越 长 ,（2）离点光源越远，影子越 短 ，但不会小于物体本身,的长度))
3．点光、物体边缘的点及其在物体影子上的对应点在同一条__直线__上．
变式一：巩固 小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：小阳在前，小明在后，两人之间的距离始终与小阳的影长相等．在这种情况下，他们两人之间的距离(D)
A．始终不变 B．越来越远
C．时近时远 D．越来越近
变式二：提升 (2021·太原质检)如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是(C)
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
【一题多变】(貌似神异)
1. (2021·鄂州质检)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
(2)如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡的高．
【解析】(1)如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
(2)由已知可得， eq \f(AB,OD) ＝ eq \f(CA,CD) ，
∴ eq \f(1.6,OD) ＝ eq \f(1.4,1.4＋2.1) ，∴OD＝4.∴灯泡的高为4 m．
2．(2021·襄阳质检)如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．
(1)在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．
(2)若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．
【解析】(1)点O为灯的位置，QF为丙物体的影子．
(2)作OM⊥QH，设OM＝x，BM＝y，
由△GAB∽△GOM，∴ eq \f(AB,OM) ＝ eq \f(GB,GM) ，即： eq \f(4,x) ＝ eq \f(3,3＋y) ，①
由△CDH∽△OMH，∴ eq \f(CD,OM) ＝ eq \f(DH,HM) ，
即： eq \f(2,x) ＝ eq \f(4,4＋5＋y) ，②
由①②得，x＝4.8，y＝0.6.
答：灯的高度为4.8米．
3.高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿(即AE)，这时，他量了一下竹竿的影长(AC)正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度(即AB＝4米)，他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度(即BD＝2米).此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：
(1)在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P.
(2)求出路灯O的高度，并说明理由．
【解析】(1)
(2)由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，
所以，DP＝OP＝灯高，
△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，
∴△CEA∽△COP， eq \f(CA,EA) ＝ eq \f(CP,OP) ，
设AP＝x，OP＝h，则 eq \f(1,2) ＝ eq \f(1＋x,h) ①
DP＝OP表达为2＋4＋x＝h②，
联立①②两式得：x＝4，h＝10，∴路灯有10米高．
思想体现——分类讨论思想
【应用】在物体位置不确定的情况下，常常需要对物体的位置进行分类讨论，进而结合已知条件求出影长值．
【典例】 (2021·长治质检)如图，夜晚，小亮从点A出发，经过路灯C的正下方点D，沿直线走到点B停止，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化．已知小亮的身高为1.6 m，路灯C与地面的距离CD为4.8 m，AD＝BD＝60 m，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【解析】见全解全析
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