第02讲 两条直线的位置关系（八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：两直线位置关系的判定
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】由题意可知若，则，
又因为即，故，即.
故选：B.
2．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若则且所以或
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（ ）
A．−2或B．2或C．D．−2
【答案】D
【解析】记为坐标原点，因为，所以，
所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上.
连接，取的中点，连接，则，
不妨设，则，
所以.
故选：D.
4．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，
即且，，所以.
故选：D.
题型二：两直线的交点与距离问题
5．已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】就是到原点距离，
到原点距离的最小值为
则的最小值为2，
故选：B.
6．已知点、、，且，则 .
【答案】
【解析】已知点、、，且，
则，解得.
故答案为：.
7．若直线与直线平行，则直线与的距离为 .
【答案】/
【解析】由于与平行，则，即，解得或，
当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意；
当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意；
综上所述：，两直线方程分别为，
所以直线与的距离为.
故答案为：.
8．若点到直线l：的距离为，则实数 ．
【答案】3或．
【解析】点到直线l：的距离为，
则，
解得或．
故答案为：3或．
题型三：有关距离的最值问题
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】,
可以看作点到点的距离之和，
作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，
最小值为间的距离.
故选：D.
10．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
如图，过点作点关于线段的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设，则，所以，
又，所以点到轴的距离为，
所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.
过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.
过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.
因为，所以的最小值为.
故选：B．
11．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
所以的最小值是4，
故选：B.
12．（多选题）已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A．存在点，使得B．存在点，使得
C．的最小值为D．最大值为3
【答案】BCD
【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，
，与不垂直，同理时与不垂直，
当且时，，
若，则，
去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；
对于B：设，若，则，
即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；
对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
13．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
14．已知x，y为实数，代数式的最小值是 ．
【答案】5
【解析】即，几何意义为点与点的距离；
即，几何意义为点与点的距离；
即，几何意义为点与点的距离，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，
连接，则，
∴
，
当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立，
故答案为：5.
题型四：点关于点对称
15．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为 .
【答案】
【解析】设，则AC边的中点为，BC边的中点为，
因为点M在y轴上，所以，解得.
因为点N在x轴上，所以，解得，即.
故答案为:.
16．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为 ， ．
【答案】 ，
【解析】设，，
因为AB中点，
所以，即，，
所以，，
所以，
故答案为：，；.
17．过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设中点为，
因为，所以在直线上，
由在直线上，
联立可得，解得，即中点为，
所以直线的斜率，所以的方程为，即．
故答案为：．
题型五：点关于线对称
18．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，
故选：C.
19．点关于直线对称点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点关于直线的对称点Q，
则，解得：．
所以.
故选：A．
20．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，
则，
即点A坐标为.
故选：C
21．已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 .
【答案】
【解析】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得，
当时代入得；
当时代入得，即得关于的对称点；
入射光线所在直线方程为：；
化简得：.
故答案为：.
题型六：线关于点对称
22．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝ .
【答案】2
【解析】因为直线与直线关于点对称，
所以，解得，
又，解得，或（重合，舍），
所以．
23．直线关于点对称的直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为，
因为在直线l上，所以，即直线的方程为．
故答案为：
24．直线关于点的对称直线方程是 ．
【答案】
【解析】设对称直线为，
则有，即
解这个方程得（舍）或.
所以对称直线的方程中.
故答案为：.
25．与直线关于点对称的直线的方程为 .
【答案】
【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中
又点到直线与到直线的距离相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直线方程为：.
故答案为：.
题型七：线关于线对称
26．直线关于直线的对称直线方程为 ．
【答案】
【解析】设直线关于直线对称的直线为，
由得：，则点在直线上；
在直线上取一点，设其关于直线对称的点为，
则，解得：，即；
直线的方程为：，即.
故答案为：.
27．已知直线，它关于直线对称的直线方程为 .
【答案】
【解析】设对称的直线方程的点为，对称点为，
直线斜率为1，
则有，消去得，
故答案为：
28．直线关于直线对称的直线方程是 ．
【答案】
【解析】联立，解得，
即两直线的交点为．
在直线上取一点，
设点P关于直线的对称点为，
则，解得，即．
所以直线MQ的方程为，
即.
故答案为: ．
题型八：直线系方程
29．过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
【答案】D
【解析】设过两直线交点的直线系方程为，
代入原点坐标，得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：D.
30．经过点和两直线；交点的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为，
点在直线上，
，
解得，
所求直线方程为，即．
故答案为：.
31．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
1．（2024·高三·陕西西安·期末）已知，，直线：，：，且，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，，，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C.
2．（2024·四川绵阳·二模）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别于A，B两点，且直线AB的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨设且，C为AB的中点，直线AB与轴相交于点D，
，，，
.
故选：C
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（ ）
A．12B．C．15D．
【答案】B
【解析】由题意知直线：与直线，，
则，即，
故，
当且仅当，结合，即时等号成立。
故的最小值为，
故选：B
4．在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【解析】集合可以看作是表示直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以直线过定点.
集合可看作是直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以，直线过定点.
显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值.
故选：D.
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B.
6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】，，
则，即，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
故点到直线距离的最大值为．
故选：．
7．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹为圆B．点到原点最短距离为2
C．点的轨迹是一个正方形D．点的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】D
【解析】设点的坐标为，因为，动点满足，
所以，得，
因为，所以，
即点的轨迹方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
所以点对应的轨迹如图所示，且，,
所以点的轨迹为菱形，所以AC错误，
原点到直线的距离为，所以B错误，
点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确.
故选：D
8．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【解析】设点关于直线对称的点为，
则有，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：C
9．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．当时，
C．当时，D．，使得
【答案】AB
【解析】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，
可知表示直线上所有的点，
所以，故A正确；
对于选项B：当时，则，，
联立方程，解得，所以，B正确；
对于选项C：当时，则有：
若，则；
若，可知直线与直线平行，且，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．
故选：AB．
10．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
【答案】ABD
【解析】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，
由解得，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；
点关于直线的对称点为，
所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；
对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，
由解得；点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】BC
【解析】设，
易知点的轨迹是抛物线的上半部分，
抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点，
对于AB，
，
所以的最小值为，故A错误，B正确；
对于CD，
，
所以的最小值是，故C正确，D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2024·辽宁·一模）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：

①直线比直线的分类效果好；
②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；
④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BCD
【解析】由图象知：
，，，，，，，
当直线为分类直线时，，
当直线为分类直线时，其过，
由图可知，到直线距离最小，
到直线的距离为，
到直线的距离为，
所以，所以直线分类效果好，故①错误；
由图知的位置由，，确定，
所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．
可知点，，直到线的距离相等，
所以直线过点，的中点，而的中点为,的中点为，
故直线的斜率为，故②正确；
又直线的方程为，
此时点在的右侧，故③正确；
去掉点后，，到直线的距离相等，
此时直线为线段，的垂直平分线，故④正确；
故答案为：BCD
13．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
【答案】
【解析】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即，
故答案为：
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式
，则实数的取值集合为 .
【答案】
【解析】平面直角坐标系中,，，,，，，，
∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为
故答案为: .
15．（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 .
【答案】/
【解析】曲线上任一点对应的切线方程为，
将其整理为关于的方程为.
由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解，
所以，整理，得，
即曲线的方程为，
故上的点到直线的最小距离为.
故答案为：
16．（2024·四川南充·三模）如图，，且与的距离为1，与的距离为2.若在上，分别在，上，，，.则四边形的面积为 .

【答案】/
【解析】如图，设，，则
因为与的距离为1，与的距离为2，所以，
因为，所以，得到，
由图易知，，所以，得到，
所以，，
过分别作的垂线，交于，在中，，，
所以，
因为，所以，
在中，，所以，得到，
所以四边形的面积为，
故答案为：.
1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
作高（如图），
设，则，
于是，
，，
与相似，
，即，
，
，
，
.
故选：D
3．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由题意可知点，取点、，
则、、三点共线，、、三点共线，
且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即点，
因为点在直线上，所以，，解得.
故选：C.
4．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））直线关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则
关于x轴对称的点在直线上，
即有，满足直线方程，
即， 化简得，.
故选：C.
5．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（浙江））直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．
故选D．
6．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176517892" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176517892 \h 2
\l "_Tc176517893" 题型一：两直线位置关系的判定 PAGEREF _Tc176517893 \h 2
\l "_Tc176517894" 题型二：两直线的交点与距离问题 PAGEREF _Tc176517894 \h 3
\l "_Tc176517895" 题型三：有关距离的最值问题 PAGEREF _Tc176517895 \h 4
\l "_Tc176517896" 题型四：点关于点对称 PAGEREF _Tc176517896 \h 9
\l "_Tc176517897" 题型五：点关于线对称 PAGEREF _Tc176517897 \h 10
\l "_Tc176517898" 题型六：线关于点对称 PAGEREF _Tc176517898 \h 12
\l "_Tc176517899" 题型七：线关于线对称 PAGEREF _Tc176517899 \h 13
\l "_Tc176517900" 题型八：直线系方程 PAGEREF _Tc176517900 \h 14
\l "_Tc176517901" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176517901 \h 15
\l "_Tc176517902" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc176517902 \h 27