2024-2025学年上海市崇明区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市崇明区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的一组是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
2．（4分）已知在中，，，，那么下列各式中正确的是
A．B．C．D．
3．（4分）如图，已知直线，直线和分别与、、相交于点、、和、、．如果，，那么下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）在△中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是
A．B．
C．D．
5．（4分）下列四个三角形中，与图中的相似的是
A．B．
C．D．
6．（4分）下列说法中，正确的是
A．
B．如果是单位向量，那么
C．如果，那么
D．如果是非零向量，且，那么
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，那么 ．
8．（4分）计算： ．
9．（4分）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ．
10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么 ．
11．（4分）已知，，则 ．
12．（4分）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么 度．
13．（4分）在△中，若中线和中线相交于，，那么的长为 ．
14．（4分）已知向量、和满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量 ．
15．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为 ．
16．（4分）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 ．
17．（4分）已知直角坐标平面上的机器人接受指令“，” 后的行动结果为：在原地逆时针旋转后，再向面对方向沿直线行走．若机器人的位置在原点，面对方向为轴的负半轴，则它完成一次指令，后，所在位置的坐标为 ．
18．（4分）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点落在处；点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点恰好落在线段上，记作点，联结．如果，那么 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：
20．（10分）如图，在△中，，，，
（1）求的长；
（2）求的值．
21．（10分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
22．（10分）在平行四边形中，点是的中点，、相交于点．
（1）设，，试用向量、表示向量；
（2）求作：向量分别在向量、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．
23．（12分）已知：如图，在△中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
（1）求证：△△；
（2）求证：．
24．（12分）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，．
①求的长；
②点是延长线上一点，若与相似，请直接写出的长．
25．（14分）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的一组是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
解：．因为，所以，，，不成比例线段，所以选项不符合题意；
．因为，所以，，，成比例线段，所以选项符合题意；
．因为，所以，，，不成比例线段，所以选项不符合题意；
．因为，所以，，，不成比例线段，所以选项不符合题意．
故选：．
2．（4分）已知在中，，，，那么下列各式中正确的是
A．B．C．D．
解：，，，
，
，，，．
故选：．
3．（4分）如图，已知直线，直线和分别与、、相交于点、、和、、．如果，，那么下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
解：直线，，，
，
，
，
故选：．
4．（4分）在△中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是
A．B．
C．D．
解：画出图形如下：
、由，不能得出△△，故不能判定；
、由，不能得出△△，故不能判定；
、由，不能得出△△，故不能判定；
、，
，
，
△△，
，
故选：．
5．（4分）下列四个三角形中，与图中的相似的是
A．B．
C．D．
解：由题意得：，，即，且，
图中直角边为，，之比也为，
则与图中的相似的是，
故选：．
6．（4分）下列说法中，正确的是
A．
B．如果是单位向量，那么
C．如果，那么
D．如果是非零向量，且，那么
解：，
故选项不正确，不符合题意；
如果是单位向量，那么，
故选项不正确，不符合题意；
如果，并不能得出，可能两个向量的方向不相同，
故选项不正确，不符合题意；
如果是非零向量，且，那么，
故选项正确，符合题意．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知，那么 ．
解：由，
可得：，
所以，
故答案为：
8．（4分）计算： ．
解：
．
故答案为：．
9．（4分）如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 6 ．
解：设两地在地图上的图距是，
根据题意得：，
故答案为：6．
10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么 ．
解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则．
；
故答案为：
11．（4分）已知，，则 ．
解：根据题意可得，，
，
即．
故答案为：．
12．（4分）已知，其中顶点、、分别对应顶点、、，如果，，那么 80 度．
解：，
，
故答案为80；
13．（4分）在△中，若中线和中线相交于，，那么的长为 6 ．
解：在△中，中线和中线相交于，
点是△的重心，
，
解得．
故答案为：6．
14．（4分）已知向量、和满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量 ．
解：，
，
，
．
故答案为：．
15．（4分）如果两个相似三角形对应角平分线的比为，其中小三角形的面积为4，那么大三角形的面积为 8 ．
解：设另一个三角形面积为，
两个相似三角形对应角平分线的比为，
这两个相似三角形的相似比是，
小三角形的面积为4，
，
解得，
故答案为：8．
16．（4分）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是 ．
【解答】解；过点作边上的高，交于，交于，
由可得，
，
将，，代入上式可得．
故答案为：．
17．（4分）已知直角坐标平面上的机器人接受指令“，” 后的行动结果为：在原地逆时针旋转后，再向面对方向沿直线行走．若机器人的位置在原点，面对方向为轴的负半轴，则它完成一次指令，后，所在位置的坐标为 ， ．
解：如图所示，点为完成指令后位置，
作轴于点，
，，
，，
，．
故答案为：，．
18．（4分）如图，在矩形纸片中，，，点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点落在处；点是边上的点，联结，将△沿翻折，使点恰好落在线段上，记作点，联结．如果，那么 ．
解：四边形是矩形，，，
，，
由翻折得，，，，，
点恰好落在线段上，
，，
，
，
，
，
，，
，
整理得，
解得或（不符合题意，舍去），
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：
解：原式（5分）
（1分）
20．（10分）如图，在△中，，，，
（1）求的长；
（2）求的值．
解：（1），，，
，
；
（2），，
，
．
21．（10分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
解：（1），
，
，，，
，
．
（2）过点作，交于点，交于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
．
22．（10分）在平行四边形中，点是的中点，、相交于点．
（1）设，，试用向量、表示向量；
（2）求作：向量分别在向量、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．
解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
；
（2）如图，，即为所求；
23．（12分）已知：如图，在△中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
（1）求证：△△；
（2）求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
△△；
（2）△△，
，，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
．
24．（12分）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，．
①求的长；
②点是延长线上一点，若与相似，请直接写出的长．
解：（1）平分，
，
，，垂足为，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）①，，垂足为，
，
，
，
，
设，
，，，
，
，解得
；
②如图1，作于，
，，
，
，
，
，
当时，有，
；
如图2，当时，有，
即，即．
25．（14分）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
解：（1），，
，
，，
，（1分）
，（1分）
在中，；（2分）
（2）过点作于点，设，
，
，
，
，
，，（1分）
，
又可证，
，（1分）
，
；（2分）
（3），，
，
若为等腰三角形，只有或两种可能．（1分）
当时，点在边上，过点作于点（如图①
可得：，即点在中点，
此时与重合，
；（2分）
当时，点在的延长线上，
过点作于点，（如图②
可证：
，
是直角三角形，
，
，
，
．
，
，
，
，，（2分）
综上所述，为6或7．