2024-2025学年吉林省实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，平方最大的数是
A．3B．C．D．
2．（3分）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
3．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则的度数是
A．B．C．D．
6．（3分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后的点到点的水平距离为
A．米B．米C．米D．米
7．（3分）如图，在中，点是的中点，，则的度数是
A．B．C．D．
8．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图．下列结论中错误的是
A．当时，
B．随的增大而增大
C．每增加，的增加量相同
D．越大，插线板电源线产生的热量越多
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分
9．（3分）因式分解： ．
10．（3分）抛物线的顶点坐标是 ．
11．（3分）在中，弦，圆心到的距离，则圆的半径长为 ．
12．（3分）若抛物线是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．
14．（3分）函数、、为常数，与的图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
17．（6分）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点、在轴的正半轴上，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）将抛物线沿轴向右平移，使平移后的抛物线经过点，平移后抛物线的表达式为 ．
18．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△的形状是 ；
（2）在图①中确定一点，连结、，使△与△全等；
（3）在图②中△的边上确定一点，连结，使△△；
（4）在图③中△的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使△△，且相似比为．
19．（7分）国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的学生人数为 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有900名学生，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生共多少名？
20．（7分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
21．（8分）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快40米分、档比档快40米分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程（米与小明跑步时间（分的函数关系如图所示．
（1）档速度为 米分钟，档速度为 米分钟，档速度为 米分钟；
（2）求小丽第三段跑步与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，直接写出的值．
22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先（通过对折）找到边的中点，再将△沿着直线翻折得到△，连接，小亮猜想．
【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：点为边的中点，
，
翻折，
，
，
．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）如图①，在【探索发现的基础上，若，△的面积为6，则矩形的面积为 ；
（2）图②，在【探索发现】的基础上，点作交线段于点．若，，则矩形的周长为 ．
23．（10分）如图，在△中，，，，点为边上的点，当点不与点、重合时，过点在上方作，，以、为邻边作．
（1）边的长为 ；点到边的距离为 ；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）设线段与边交于点，线段与边交于点．当时，求的值；
（4）连接，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当点到轴的距离是点到轴距离的2倍时，求点的坐标；
（3）抛物线上任意两点，，，求的取值范围；
（4）点与点之间的部分（不包括、两点）记为图象．点，点，连接，线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列实数中，平方最大的数是
A．3B．C．D．
解：，，，，
，
最大的数是：9，
平方最大的数是3．
故选：．
2．（3分）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
解：，
故选：．
3．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是
A．B．C．D．
解：、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
、示意图是轴对称图形，符合题意；
、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
解：由表知甲、乙的平均数较大，
从甲、乙中选择一人参加比赛，
甲的方差较小，
选择甲参加比赛，
故选：．
5．（3分）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则的度数是
A．B．C．D．
解：是半圆的直径，
，
，
，
由题意得，为的平分线，
．
故选：．
6．（3分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后的点到点的水平距离为
A．米B．米C．米D．米
解：在△中，米，，，
，
（米．
故选：．
7．（3分）如图，在中，点是的中点，，则的度数是
A．B．C．D．
解：点是的中点，
，
．
故选：．
8．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图．下列结论中错误的是
A．当时，
B．随的增大而增大
C．每增加，的增加量相同
D．越大，插线板电源线产生的热量越多
解：由图1可知，当时，，故选项说法正确，不符合题意；
由图2可知，随的增大而增大，故选项说法正确，不符合题意；
由图2可知，每增加，的增加量不相同，故选项说法错误，符合题意；
由图1可知随的增大而增大，由图2可知随的增大而增大，所以越大，插线板电源线产生的热量越多，故选项说法正确，不符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分
9．（3分）因式分解： ．
解：．
故答案为：．
10．（3分）抛物线的顶点坐标是 ．
解：，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
11．（3分）在中，弦，圆心到的距离，则圆的半径长为 ．
解：弦，圆心到的距离，
，，
由勾股定理得：，
故答案为：．
12．（3分）若抛物线是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
解：由题意，抛物线是常数）与轴没有交点，
△．
．
故答案为：．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 4 ．
解：由题意，抛物线过，，
．
．
抛物线为．
抛物线的对称轴是直线．
抛物线与轴的一交点为，
另一交点为，即．
．
故答案为：4．
14．（3分）函数、、为常数，与的图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
解：①由图象可知：抛物线与轴无交点，即△，
△，故此选项正确；
②由图象可知：抛物线过点即当时，，故此选项错误；
③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和，
当时，，
当时，，
，
故③正确；
④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，
即当时，，
，故此选项正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
解：
．
16．（6分）某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到班的结果有1种，
“学生甲分到班”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有3种，
甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
17．（6分）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点、在轴的正半轴上，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）将抛物线沿轴向右平移，使平移后的抛物线经过点，平移后抛物线的表达式为 ．
解：（1），点在抛物线上，
，
又正方形中，，
；
（2）设平移后抛物线解析式为：，把，代入得：
则，
解得：，
平移后抛物线解析式为：，
故答案为：．
18．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△的形状是 直角三角形 ；
（2）在图①中确定一点，连结、，使△与△全等；
（3）在图②中△的边上确定一点，连结，使△△；
（4）在图③中△的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使△△，且相似比为．
解：（1），，，
，
，
△是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）如图①中，点，点，点即为所求；
（3）如图②中，点即为所求；
（4）如图③，点，点即为所求．
19．（7分）国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的学生人数为 50 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有900名学生，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的学生共多少名？
解：（1）不关注、关注、比较关注的共有（人，占调查人数的，
此次调查中接受调查的人数为（人，
故答案为：50；
（2）（人，
补全统计图如图所示：
（3）（人，
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．
20．（7分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）知，是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
．
21．（8分）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快40米分、档比档快40米分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程（米与小明跑步时间（分的函数关系如图所示．
（1）档速度为 80 米分钟，档速度为 米分钟，档速度为 米分钟；
（2）求小丽第三段跑步与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，直接写出的值．
解：（1）由题意可知，档速度为（米分），
档速度为（米分），档速度为（米分），
故答案为：80，120，160；
（2）由题意知，，
小丽第三段跑步所用时间为（分钟），
，
小丽第三段跑步与的函数关系式；
（3）根据题意得：，
解得．
22．（9分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先（通过对折）找到边的中点，再将△沿着直线翻折得到△，连接，小亮猜想．
【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：点为边的中点，
，
翻折，
，
，
．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）如图①，在【探索发现的基础上，若，△的面积为6，则矩形的面积为 40 ；
（2）图②，在【探索发现】的基础上，点作交线段于点．若，，则矩形的周长为 ．
【解答】【问题解决】证明：翻折，
，
，
，
．
【结论应用】（1）解：连接交于点，
设，则，
为的中点，，
，
，
，，
，
又，
△△，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，
，
，
，
．
故答案为：40；
（2）连接交于点，
，
，
，
，
，
又，
，
设，
由（1）知，，
△△，
，
，
舍去），
，
，
，
矩形的周长为．
故答案为：．
23．（10分）如图，在△中，，，，点为边上的点，当点不与点、重合时，过点在上方作，，以、为邻边作．
（1）边的长为 25 ；点到边的距离为 ；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）设线段与边交于点，线段与边交于点．当时，求的值；
（4）连接，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的值．
解：（1），，，
；
如图，过点作于，
，
，
；
故答案为：25；12．
（2）当点落在边上时，如图，过点作于，
由题意得：，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（3）如图，过点作于，
，，
，，
△△，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，即，
解得：，
，
故的长为11；
（4）沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
必定经过的中点或的中点或点，
①当经过的中点时，如图，过点作于，延长交于，延长交于，
是的中点，
，
，
，
，
△△，
此时沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
，，
，即，
，
，，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
△△，
，即，
解得：；
②当经过的中点时，如图，过点作于，交于，
由①知：，，，，，
是的中点，
，
，，
△△，
，即，
，，
，，
，
△△，
，即，
解得：；
③当经过点时，如图，
，
，
，
解得：，
综上所述，的值为或或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当点到轴的距离是点到轴距离的2倍时，求点的坐标；
（3）抛物线上任意两点，，，求的取值范围；
（4）点与点之间的部分（不包括、两点）记为图象．点，点，连接，线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
解：（1）把代入得：
，
解得：，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）在中，令得，
，
点到轴的距离是点到轴距离的2倍，
，
或，
解得或，
的坐标为，或，；
（3），
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
，，，
到直线的水平距离小于到直线的水平距离，
，即，
当时，，无解；
当时，，
解得，
，
当时，，不等式总成立，
综上所述，；
（4）在中，令得，
解得或，
，
在中，令得，
解得或，
抛物线与直线的交点为，和，，
当线段与图象只有一个公共点，时，
，
解得；
当线段与图象只有一个公共点，时，
，
解得；
总上所述，范围是或．
甲
乙
丙
丁
9.9
9.5
8.2
8.5
0.09
0.65
0.16
2.85
时间
里程分段
速度档
跑步里程
小明
不分段
档
4000米
小丽
第一段
档
1800米
第一次休息
第二段
档
1200米
第二次休息
第三段
档
1600米
甲
乙
丙
丁
9.9
9.5
8.2
8.5
0.09
0.65
0.16
2.85
时间
里程分段
速度档
跑步里程
小明
不分段
档
4000米
小丽
第一段
档
1800米
第一次休息
第二段
档
1200米
第二次休息
第三段
档
1600米