2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中 5，3.14，− 9，π2，38，其中无理数的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.进入春季，有些人会出现花粉过敏症状.已知某种花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为( )
A. 6.5×10−6B. 0.65×10−5C. 6.5×10−5D. 65×10−6
3.下列计算结果正确的是( )
A. 3 2− 2=3B. a6÷a3=a2C. (3a)2=6a2D. a2⋅a3=a5
4.从上面看下面的物体，形状不相同的是( )
A. B. C. D.
5.如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°，测得BC=10米，则树的高AB(单位：米)为( )
A. 10sin62∘
B. 10tan62∘
C. 10tan62°
D. 10sin62°
6.如图，在等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，E是三角形内一点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，连接BF，AE.若∠OBF=20°，则∠EAB的度数为( )
A. 45°B. 15°C. 20°D. 25°
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点.若BD=5，点D到AB的距离为3，则△BCD的周长为( )
A. 6B. 12C. 15D. 20
8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A(2,2)和点B(4,m)，则△AOB的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.单项式−7πx3y6的系数是______．
10.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是______．
11.如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC=10m，BC=14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______m2(结果保留根号)．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AC的中点，点E为线段BD的中点.若AB=3，AE=2，则边AC的长为______．
13.若一次函数函数y=(m−2)x的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．
14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为(−1,n)，且与x轴的一个交点的横坐标在−3和−2之间，则下列结论正确的是______．
①abc<0；
②a+b+c<0；
③3a+c>0；
④关于x的方程ax2+bx+c−n+1=0有实根．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
先化简，再求值：(3−aa−2)÷a−3a2−4，其中a=−1．
16.(本小题8分)
七年级某班为了开展活动，购买了一些体育用品，有15个毽球和6根跳绳，共用去69元，其中每根跳绳的价格比每个毽球价格的3倍还多0.5元，求毽球和跳绳的单价．
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.过点D分别作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E，且DE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠EDF=60°，AB=3，则四边形ABCD的面积为______．
18.(本小题8分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上.在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中画△ABC的中线CD．
(2)在图②BC边上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的面积．
(3)在图③中△ABC的内部找一点F，使S△FBC=13S△ABC．
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)与x轴交于A，B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)将此抛物线上P、C两点之间的部分(包括P、C两点)记为图象G.图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P、Q分别是边CA、BC上的两个动点，且PC=2BQ，以PQ，PC为邻边作平行四边形PQMC，作点B关于直线PQ的对称点B′，设BQ=m(0≤m≤4)．
(1)当△PCQ的面积为8时，求m的值．
(2)当∠BQB′=2∠ABC时，求线段BB′的长．
(3)当点B′落在四边形PQMC的边上时，直接写出CQBB′的值．
21.(本小题8分)
【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图①，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB=4，AC=6，求线段AD长的取值范围．我们采用的方法是延长线段AD到点E，使得AD=DE，连结CE，可证△ABD≌△ECD，可得CE=AB=4，根据三角形三边关系可求AD的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”.则AD的范围是：______．
【拓展应用】
(1)如图②，在△ABC中，BC=2BD，AD=3，AC=2 10，∠BAD=90°，求AB的长．
(2)如图③，在△ABC中，D为BC边的中点，分别以AB、AC为直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE=∠ACF=30°，连结EF，若AD=2 3，则EF=______.(直接写出)
答案解析
1.A
【解析】解：∵ 5是无理数，
3.14是有理数，
− 9=−3是有理数，
π2是无理数，
38=2是有理数，
∴其中无理数是 5和π2这2个，
故选：A．
2.A
【解析】解：0.0000065=6.5×10−6，
故选：A．
3.D
【解析】解：A、3 2− 2=2 2，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
C、(3a)2=9a2，故此选项不符合题意；
D、a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
故选：D．
4.B
【解析】解：A、C、D选项的俯视图都是第一行三个正方形，第二行中间一个正方形，B选项俯视图是第一行三个正方形，第二行是最左边一个正方形，
所以形状不相同的是B选项．
故选：B．
5.C
【解析】解：由题意得：
∠ABC=90°，∠ACB=62°，
在Rt△ABC中，BC=10米，
∴AB=BC⋅tan62°=10tan62°(米)，
故选：C．
6.D
【解析】解：∵线段OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∵∠AOE+∠EOB=90°，∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
OA=OB∠AOE=∠BOFOE=OF，
∴△AOE≌△BOF(SAS)，
∴∠OAE=∠OBF=20°，
∴∠EAB=∠OAB−∠OAE=45°−20°=25°．
故选：D．
7.B
【解析】解：由作图可知BD是∠ABC的平分线，
∵点D到AB的距离为3，∠ACB=90°，
∴DC=3，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：
∴BC= BD2−CD2= 52−32=4，
∴△BCD的周长=5+3+4=12，
故选：B．
8.B
【解析】解：∵反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A(2,2)和点B(4,m)，
∴k=2×2=4，m=44=1，
∴B(4,1)
设直线OB的解析式y=kx，
∵点B(4,1)在直线上，
∴k=14．
∴直线OB的解析式y=14x，
过点A作AM⊥x轴，交OB于点N.则点N的坐标为(2,12)，AN=2−12=32，
S△AOB=S△ANO+S△BAN=12×32×2+12×32×2=3．
故选：B．
9.−7π6
【解析】解：单项式−7πx3y6的系数是−7π6，
故答案为：−7π6．
10.0或1
【解析】解：有两种情况：
①当m=0时，函数为y=2x+1，
∵图象为一条直线，与x轴有一个交点，
∴m=0；
②当m≠0时，y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
令y=0，则mx2+2x+1=0，
∴Δ=4−4m=0，
解得：m=1，
故答案为：0或1．
11.35 3
【解析】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=60°，
在Rt△ACD中，AC=10m，
∴AD=AC⋅sin60°=10× 32=5 3(m)，
∵BC=14m，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×14×5 3=35 3(m2)，
∴需要改造的广场面积是35 3m2，
故答案为：35 3．
12.2 7
【解析】解：∠BAC=90°，点E为线段BD的中点，AE=2，
∴BD=2AE=4，
又AB=3，
∴AD= BD2−AB2= 7，
∵点D为边AC的中点，
∴AC=2AD=2 7，
故答案为：2 7．
13.m<2
【解析】解：∵一次函数函数y=(m−2)x的图象y随x的增大而减小，
∴m−2<0，
解得：m<2，
故答案为：m<2．
14.②④
【解析】解：由所给函数图象可知，
a<0，b<0，c>0，
∴abc>0.故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，且与x轴的一个交点的横坐标在−3和−2之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间．
又∵抛物线开口向下，
∴当x=1时，函数值小于零，
即a+b+c<0.故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
即b=2a，
又∵a+b+c<0，
∴3a+c<0.故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为(−1,n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=n−1有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c−n+1=0有实根．故④正确．
∴结论正确的是②④．
故答案为：②④．
15.解：(3−aa−2)÷a−3a2−4
=3a−6−aa−2÷a−3(a−2)(a+2)
=2(a−3)a−2⋅(a−2)(a+2)a−3
=2a+4，
当a=−1时，
原式=2×(−1)+4=2．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
16.解：设毽球的单价是x元，则跳绳的单价是(3x+0.5)元，
根据题意得15x+6(3x+0.5)=69，
解得x=2，
∴3x+0.5=6.5，
答：毽球和跳绳的单价分别为2元和6.5元．
【解析】设毽球的单价是x元，则跳绳的单价是(3x+0.5)元，购买毽球需要15x元，购买跳绳需要6(3x+0.5)元，于是列方程得15x+6(3x+0.5)=69，解方程求出x的值，再求出代数式3x+0.5的值即可．
17.92 3
【解析】(1)证明：∵DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，
∴∠CED=∠AFD=90°，
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
在△CDE和△ADF中，
∠C=∠A∠CED=∠AFDDE=DF，
∴△CDE≌△ADF(AAS)，
∴CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3，∠A+∠B=180°，
∵DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，∠EDF=60°，
∴∠B=360°−60°−90°−90°=120°，
∴∠A=60°，∠ADF=30°，
∴AF=12AD=32，
∴DF= 3AF=32 3，
∴S四边形ABCD=AB⋅DF=3×32 3=92 3．
故答案为：92 3．
18.解：(1)如图①，取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD，
点D及△ACD就是所求的图形．
理由：连接AF，则AF/​/BG，AF=BG，
∴∠AFD=∠BGD，
在△ADF和△BDG中，
∠AFD=∠BGD∠ADF=∠BDGAF=BG，
∴△ADF≌△BDG(AAS)，
∴AD=BD=12AB；
(2)线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE，线段AE即为所求；
理由：如图②，过A作AH⊥BC于H，
∵MN垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵S△ABE=12BE⋅AH，S△ACH=12CE⋅AH，
∴S△ABE=S△ACE，
∴AE平分△ABC的面积．
(3)如图③，取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF，点F及△BCF就是所求的图形．
理由：如图①，∵△ADF≌△BDG，
∴FD=GD，
∴点D为格点，
取格点I，连接DI，则DI//CK，
∴△DFI∽△CFK，
∵DI=1，CK=2，IK=AK，
∴FIFK=DICK=12，
∴FK=23IK=23×12AK=13AK，
∴S△BCF=12BC⋅FK=12BC×12AK=13×12BC⋅AK=13S△ABC．
【解析】(1)根据三角形中线的定义画出图形即可；
(2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE即可；
(3)取格点D，作BC的垂直平分线交BC于K，连接AK，CD交于F，则S△FBC=13S△ABC，
19.解：(1)将点B(−3,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c，得c=−39−3b+c=0，
解得：b=2c=−3，
∴此抛物线对应的函数表达式为y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)，
分两种情况：①当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为−3+6=3，
∴m2+2m−3=3，
解得：m=−1+ 7或m=−1− 7(舍去)；
②当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐标为−4+6=2，
∴m2+2m−3=2，
解得：m=−1+ 6(舍去)或m=−1− 6．
∴m的值为m=−1+ 7或m=−1− 6．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)分两种情况：①①当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为−3+6=3；②当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐标为−4+6=2.根据题意，得出关于m的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，得出符合题意的m值即可．
20.解：(1)由题意得BQ=m，BC=6，AC=8，PC=2BQ，
∴CQ=6−m，PC=2m，
∵△PCQ的面积为8，
∴12PC⋅CQ=8，即12×2m(6−m)=8，
解得：m1=2，m2=4，
∵0≤m≤4，
∴m的值为2或4．
(2)如图，设PQ与BB′交于点D，

在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∵点B与点B′关于直线PQ对称，
∴PQ⊥BB′，BB′=2BD，∠BQB′=2∠BQD，
∵∠BQB′=2∠ABC，
∴∠BQD=∠ABC，
∴AB//PQ，
∴CPAC=CQBC，即2m8=6−m6，
∴m=125，
∵∠BDQ=∠ACB=90°，
∴△BQD∽△ABC，
∴BDAC=BQAB，即BD8=12510，
∴BD=4825，
∴BB′=9625．
(3)当点B′落在四边形PQMC的边QM上时，如图，

则∠BQD=∠B′QD，BQ=B′Q，PQ⊥BB′，
∵四边形PQMC是平行四边形，
∴QM//PC，
∴∠CQM=∠ACB=90°，
∴∠BQB′=180°−∠CQM=90°，
∴∠BQD=∠B′QD=45°，
∴∠CQP=∠BQD=45°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴PC=CQ，即2m=6−m，
解得：m=2，
∴CQ=6−2=4，BQ=2，
∵△BQB′是等腰直角三角形，
∴BB′= 2BQ=2 2，
∴CQBB′=42 2= 2；
当点B′落在四边形PQMC的边CM上时，如图，

则PQ垂直平分BB′，
∴BQ=B′Q，
∵四边形PQMC是平行四边形，∴PQ/​/CM，
∴BB′⊥CM，
∴BQBC=BDBB′=12，
∴BQ=12BC=3，
∴PC=2BQ=6，
∴PQ= PC2+CQ2= 62+32=3 5，
∵∠BQD=∠PQC，
∴sin∠BQD=sin∠PQC，
∴BDBQ=PCPQ，即BD3=63 5，
∴BD=6 55，
∴BB′=2BD=12 55，
∴CQBB′=312 55 54；
综上所述，CQBB′ 的值为 2或 54．
【解析】(1)根据三角形面积建立方程求解即可；
(2)设PQ与BB′交于点D，根据对称性质得出：PQ⊥BB′，BB′=2BD，∠BQB′=2∠BQD，推出∠BQD=∠ABC，再由平行线的判定得出AB/​/PQ，运用平行线分线段成比例建立方程求解求得m的值，再证得△BQD∽△ABC，利用相似三角形性质求得BD，即可求得BB′；
(3)分两种情况：当点B′落在四边形PQMC的边QM上时，当点B′落在四边形PQMC的边CM上时，分别利用等腰直角三角形性质、解直角三角形即可求得答案．
21.1【解析】解：【问题探究】
在△ACE中，
∵AC−CE∴2<2AD<10，
∴1故答案为：1【拓展应用】
(1)如图，延长AD到点E，使AD=DE，连结CE，
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴∠E=∠BAD=90°，DE=AD=3，CE=AB，
在Rt△AEC中，AE=6，AC=2 10，
∴CE= AC2−AE2
= 40−36
=2，
∴AB=CE=2；
(2)如图，延长AD到点G，使AD=GD，连结CG，
由(1)知道△ADB≌△GCD(SAS)，
∴∠G=∠BAD，AB=CG，
∵∠BAD+∠CAG+∠EAF=360°−∠EAB−∠FAC=180°，
∴∠G+∠CAG+∠EAF=180°，
又∵∠G+∠CAG+∠ACG=180°，
∴∠EAF=∠ACG，
∵EAAB=EAGC=tan∠ABE=tan30°= 33，
FAAC=tan∠ACF=tan30°= 33，
∴EAGC=FAAC，
∴△EAF∽△GCA，
∴EFGA= 33，
∴EF= 33AG，
∵AG=2AD=4 3，
∴EF= 33×4 3=4．
故答案为：4．