上海大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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考试时间：90分钟； 满分100分
一、填空题(1-6每题3分, 7-12每题4分)
1. 空间中两条异面直线所成角大小的取值范围是 .(结果用区间表示)
2. 焦点在轴上，焦距为 215,，且经过点(-4，0)的椭圆的标准方程为 .
3. 已知球的表面积是16π，则该球的体积为 .
4. 已知直线与直线, 则它们之间的距离为 .
5. 已知直线经过点(0，2)，倾斜角为，则该直线的方程为 .
6. 若方程. x²+y²−4x+2y=m表示圆，则实数m的取值范围为 .
7. 下列命题中，真命题的编号为 .
(1) 若直线与平面M斜交，则M 内不存在与垂直的直线；
(2) 若直线⊥平面M，则M内不存在与不垂直的直线；
(3) 若直线与平面M斜交，则M 内不存在与平行的直线；
(4) 若直线∥平面M ，则M 内不存在与不平行的直线.
8. 若圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则它的侧面展开图的圆心角为 .
9. 已知正四棱锥的底面边长为6，斜高为 23,则该正四棱锥的体积为 .
10. 在棱长为2的正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁中,E是棱的中点, 则平面截 该正方体所得截面面积为 ；
11. 如下图所示, 矩形ABCD中, AB=22,AD=2,沿BD将 △BCD折起，使得点C在平面ABD上的投影落在AB上，则直线BC与平面ABD所成的角为 .
12. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成 20 个等边三角形.
二、单选题(每题3分)
13. 圆 C₁:x²+y²=4与圆C₂:x−2²+y−3²=9的位置关系是( )
A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交
14. 已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )
A. 若m∥n, n⊂α, 则m∥α
B. 若m⊥α,α⊥β, 则m∥β
C. 若m⊥α,m∥n,n∥β, 则α⊥β
D. 若m∥α,n∥α,m,n⊂β, 则α∥β
15. 如图，在棱长为2的正方体. ABCD−A₁B₁C₁D₁中，点P在截面上(含边界)，则线段AP的最小值等于 ( )
A. 23 B.233
C.2 D.33
16. 已知动点P在椭圆 C:y24+x23=1上, F(0,-1), D(3,-3),则|PD|-|PF|的最小值为 ( )
A. 5 B. 13 C. 2 D. 1
三、解答题 6+8+10+10+12
17. 已知正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁的棱长为2, E, F分别为AB, BC的中点, 求异面直线 A₁E与 B₁F所成角.
【解析】
(1) 取 AD 中点 G, 连接 A1G,GE,GF,
由 F 是 BC 中点, 则 GF//AB//AB 且
GF=AB=A1B1,
所以四边形 A1B1FG 为平行四边形, 故 A1G//B1F,所以异面直线 A1E 与 B1F 所成角, 即为直线 A1E 与 A1G所成角, 为 ∠EA1G,
由题意知 A1G=A1E=5,GE=2,
故在 △A1GE 中, 由余弦定理得
cs⁡∠EA1G=5+5−22×5×5=45,
所以异面直线 A1E 与 B1F 所成角为 arccs⁡45.
18. 如图, 梯形ABCD满足 ,∠ABC= ????? ????????.????3 \∗ ??????????? ,AB=23, BC=1, ∠BAD=30°, 现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记为Ω.
(1) 求Ω的体积V; (2) 求Ω的表面积S.
【解析】
(1) Ω 为圆柱与圆锥的组合体圆锥和圆柱的底面半径 r=BC=1, 圆锥的高 ℎ1=3, 圆柱的高 ℎ2=3
∴V=π×12×3+13π×12×3=433π
（2） ∵Ω 中圆锥的母线长 l=2
∴Ω 的表面积
S=π×12+π×1×2+2π×1×3=3π+23π
19. 如图, 四棱锥 P−ABCD的底面是 AB=2,BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC;
(2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小.
【解析】
证明: (1) 在矩形 ABCD 中, BC⊥AB又 ∵ 面 PAB⊥ 底面 ABCD 侧面 PAB∩ 底面 ABCD=AB
∴BC⊥ 侧面 PAB 又
∵BC⊂ 侧面 PBC
∴ 侧面 PAB⊥ 侧面 PBC;
(2) 取 AB 中点 E, CD中点F, 连接 PE、FE
又 ∵△PAB 是等边三角形 ∴PE⊥AB
又 ∵ 侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,∴PE⊥ 面 ABCD
∴∠PFE 为 PCD 与底面 ABCD 所成角
PE=32BA=3, FE=BC=
在 Rt△PEF 中, ，20. 如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形。因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器的移动速度为1m/s.若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中. (提示：如图4建系)
(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由：
(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少?
【解析】
（1）所示的平面直角坐标系，
则 Q(10,6),P(−10,−10),
所以 kPQ=45,
则直线 PQ 的方程为 45x−y−2=0, 即 4x−5y−10=0,
故圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d=1041=1041410, 得 t2