上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，文件包含上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷docx、参考答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
（本试卷共6页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）
命题：侯磊 审核：杨逸峰
考试说明：试卷最后的附加题为非必答题，分值10分
一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）
1.设集合，，则______.
2.不等式的解集为______.
3.函数的定义域是______.
4.直线的倾斜角的大小是______（用表示）.
5.若直线与圆相切.则实数______.
6.*设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率______.
7.已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则______.
8.若关于的方程有负实数根，则实数的取值范围是______.
9.设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______.
10.平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______.
11.*某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变方位）建造一幢公寓（、、分别在线段、、上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为______平方米.（结果精确到1平方米）
12.若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是______
①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列；
②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列：
③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列：
④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列；
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）
13.*在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
14.*若：（），：，则是的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
15.下列命题
（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；
（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
其中真命题的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
16.若动点以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点的运动力式是（ ）
A.以角速度在单位圆上顺时针运动B.以角速度在单位圆上逆时针运动
C.以角速度在单位圆上顺时针运动D.以角速度在单位圆上逆时针运动
三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）
17.*（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：.
（1）若，且经过点，求实数，的值；
（2）若且，求实数，的值.
18.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）已知数列的各项均为正实数，，且（）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项.
19.（本题满分14分，第（1）题满分8分，第（2）题满分6分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的凸四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）.已知（米），，.设，四边形的面积为.
（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；
（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.
20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点.
（1）求的周长；
（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上.若，求点的横坐标；
（3）设直线不垂直于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点.求面积的最大值.
21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）在平面直角坐标系中，若点满足，都是整数，则称点为格点.
（1）指出椭圆上的所有格点；
（2）设、是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值组成的集合；
（3）设（且）项的数列满足：点是函数的图像上的格点（）.则是否存在正整数，使得数列为等差数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【附加题】（共10分）
世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子.
（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形，其初始位置为，，，.
①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止：
②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止.
我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周.
为使点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为______个单位长度；
（2）如果制造一个正边形的“轮子”，该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正边形的“轮子”滚动一周，求点经过的路径总长度；
（3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）