2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知“”，则下列不等式中，不成立的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列从左到右的变形中，是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  若、是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是(    )A.  B.  C. 或 D. 或6.  在，，，，是边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连结，则的周长是(    )A.
B.
C.
D. 7.  直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角的度数为(    )A.
B.
C.
D. 9.  若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
点与点的距离为；可以由绕点逆时针旋转得到；；点到的距离为；，
其中正确的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  因式分解：        ．12.  点与点关于原点对称，则 ______ ．13.  若不等式组无解，则的取值范围是______．14.  如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是______ ．
 15.  如用，已知为三边垂直平分线的交点，且，则的度数为        度
 16.  如图在中，，，，为上的一动点，在上，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
 18.  本小题分
把下列各式因式分解：
；
 19.  本小题分
如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
 20.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点顶点在网格线的交点上的顶点、的坐标分别为、．

请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标；
将绕着原点顺时针旋转得，画出；
在轴上是否存在点，使的值最小，若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．21.  本小题分
如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且求证：≌．
22.  本小题分
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解如通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：；
再如通过观察，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，
然后再利用提取公因式法进行分解：；
对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这种分解因式的方法叫分组分解法利用分组分解法分解因式：
；
．23.  本小题分
如图，在中，，平分，于点，点在上，且．
求证：；
请你判断、与之间的数量关系，并说明理由．
 24.  本小题分
为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共花费元，购买棵甲种树苗比棵乙种树苗多花费元．
求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
若购买甲、乙两种树苗共棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．25.  本小题分
【探索发现】如图，四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，小明将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接从而证明出了．
请你写出小明的证明过程；
【类比延伸】
如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接数，请根据小明的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明．
 26.  本小题分
如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．
求的长；
若点在轴上，且的面积为，求点的坐标；
已知轴上有一点，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、从左向右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
C、从左向右的变形不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
D、从左向右的变形不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
此题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义，注意因式分解后一定是几个因式相乘的形式．
 3.【答案】 【解析】解：、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、本选项图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
C、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、本选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形、中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
在数轴上表示为：．
故选：．
首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意，，
解得，
若是腰长，则三角形的三边长为：、、，，
不能组成三角形；
若是底边长，则三角形的三边长为：、、，
能组成三角形，
周长为．
故选：．
根据非负数的意义列出关于、的方程并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，，，
，
是边的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
根据勾股定理求出的长，根据线段的垂直平分线的性质求出，根据三角形的周长公式计算得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和勾股定理的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由图象知：时，直线在直线的上方，
所以的不等式的解为，
故选：．
根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握利用图象获取信息的能力．
 8.【答案】 【解析】解：绕点按逆时针方向旋转，得到，
≌，，
，，
，
，
，
故选：．
旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
 9.【答案】 【解析】解：解不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
，
，
解得：，
故选：．
先求出不等式的解集，再求出不等式的解集，得出关于的不等式，最后求出即可．
本题主要对解一元一次不等式，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：连结，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以正确；
为等边三角形，
，，
把逆时针旋转后，与重合，与重合，
可以由绕点逆时针旋转得到，所以正确；
，
，
在中，
，
，
为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，所以错误；
，
，
点到的距离为，所以正确；


，所以正确．
故选：．
连结，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，则，可对进行判断；由为等边三角形得到，，
则把逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对进行判断；由于
，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
根据平方差公式，进行因式分解．
本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
 12.【答案】 【解析】解：由点与点关于原点对称，得
，，
则，
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 13.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
又且不等式组无解，
，
解得，
故答案为：．
解第一个不等式得出，结合且不等式组无解，利用“大大小小无解了”得出关于的不等式，解之可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由是由绕点顺时针旋转后得到的图形可知：
，
，
；
故答案为：．
根据旋转的性质可进行求解．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，连接，

为三边垂直平分线的交点，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，，
点是点关于的对称点，
过点作于，
连接，则的长度即为的最小值，
中，，，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质可知点是点关于的对称点，过点作于，连接，根据“垂线段最短”可得线段的长度即为的最小值，根据含度直角三角形的性质即可求出．
本题考查的是最短线路问题及等腰三角形的性质，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，能够证得线段的长度即为的最小值是解答此题的关键．
 17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下，
． 【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 18.【答案】解：

；


． 【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
 19.【答案】解：，，
，
又垂直且平分，
，
，
．
即的度数是． 【解析】【试题解析】已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求．
本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 20.【答案】解：由、 的坐标分别为、，可得平面直角坐标系如图所示，点的坐标为；
如图：即为所求作；

存在点，使得的值最小，
作点关于轴的对称点，连接，则交轴于点，

，点为点关于轴的对称点，
，
，，
设直线 的解析式为：，将，代入解析式中，
可得，，
解得，，
直线 的解析式为：，
令，得，
故存在，使得的值最小． 【解析】根据、 的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，从而画出平面直角坐标系，并得到点的坐标
根据旋转的定义作图即可
根据图形对称性质，作点关于轴的对称点，连接 ，则 交轴于点，此时的值最小．此时由，，求得直线 的解析式，进而求出直线 与轴的交点，即得点坐标．
本题考查了平面直角坐标系，图形的旋转及对称性质，熟练掌握图形的旋转及对称变换是解题的关键．
 21.【答案】证明：，，
，
是的中点，
，
在与中，
，
≌． 【解析】根据已知条件直接利用证明即可求解．
本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 22.【答案】解：

．


． 【解析】先分组，再利用公式法进行因式分解．
先分组，再利用公式法，最后提公因式．
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
 23.【答案】证明：平分，，

在和中，

≌

解：；
理由：，
，
在和中，

≌



由知
 【解析】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
根据角平分线的性质得到，根据直角三角形全等的判定定理得到≌，最后根据全等三角形的性质定理得到答案；
利用证≌，根据全等三角形的性质定理得到，然后根据的结论得到答案．
 24.【答案】解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设购买两种树苗共花费元，购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍，
，
解得，
根据题意：，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
此时，
答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵，花费最少． 【解析】设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，可得：，即可解得甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设购买两种树苗共花费元，购买甲种树苗棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍，得，而，由一次函数性质可得购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，花费最少．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
 25.【答案】解：证明如下：
由旋转，可知：，，，
点、、共线，
，
．
在和中，
，
≌．
，
，
；

证明如下：

在上取连接，
，，
≌，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
． 【解析】先证明，进而可得到≌，进而求解；
证明，进而得到≌，即可求解．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
 26.【答案】解：当时，；令，得；所以直线与两轴交点分别为，．
垂直平分；
．
设，在中，根据勾股定理得：，即：
  解得：；
．
设点，则；
为的中点；
；
A、在轴上，，；
再依题意：；
解得：或．
点坐标为：，．
在轴上，设分别以、、为等腰三角形的顶点，分三种情况：
为顶点，，由得；
，解得：或．
为顶点，，
又，，
≌．
，即．
为顶点，，在中，根据勾股定理得：
，即：
．
解得：．
综上：满足条件的点坐标为：，，，． 【解析】由直线可求得、坐标；由垂直平分线的性质可得：；通过勾股定理列方程可求点坐标．点在轴上，先设后求，并注意到点在轴上，分三种情况可求．
本题考查一次函数与几何问题的综合应用，以及平面几何的勾股定理，垂直平分线，三角形中线等知识，需要一定的综合能力．