初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）3 探索与表达规律同步训练题

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2.提高观察图形、探索规律的能力，培养创新意识.
知识点01 规律探究常见的数字规律
知识点02 规律探究方法总结
1.规律探究的核心是找出每个数与对应的位次（即n）之间的关系；
2.若数列为分数数列，则分子分母分开找规律；
3.若数列是正负交替排列，则在答案前加上；若数列是负正交替排列，则在答案前加上；
4.若是选择题，则可以用代值法，再利用排除法选出正确答案即可.
知识点03 高斯求和定理
.
题型01 数字类规律探索之排列问题
【典例1】（2023·浙江衢州·校考一模）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减，然后列式计算即可得解．
【详解】∵，
，
，
，
，
…，
∴第个数据是：，
故选：．
【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减是解题的关键．
【变式1】（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）一组数据，，，，…请按这种规律写出第十个数是 ．
【答案】
【分析】由所给的单项式可得第个单项式为，当时即可求解．
【详解】∵，，，，…，
∴第个式子的指数是，系数是，
则第个单项式为，
当时，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键．
【变式2】（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为．

（1）第行第列的数字是 ．
（2）数字在图中的第 行，第 列．
【答案】
【分析】（1）根据第行的第1至第列是非零数字，可得第行第列的数字是；
（2）观察数据发现第行第1个数字为，进而根据，即可求解．
【详解】解：（1）观察数据发现根据第（为奇数）行第1至第列有非零数字，可得第行第列的数字是；
故答案为：0．
（2）第1行第1个数字为
第3行第1个数字为
第5行第1个数字为
……
∴第行的第1个数字为
∵
∴第行第1个数字为
，
∴数字在图中的第行，第列
故答案为：，．
【点睛】本题考查了数字类规律，有理数的乘方运算，找到规律是解题的关键．
题型02 数字类规律探索之末尾数字问题
【典例2】（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（ ）
A．1B．3C．9D．7
【答案】D
【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．
【详解】解：，，，，，，，…，
归纳可得：个位数每四次循环，
∵，
∴与的个位数相同，是7；
故选D
【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．
【变式1】（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【分析】根据题意找出规律，当时代入规律求解，再找出2的次方末尾数字规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
当时，
，
∴，
∵，，，，，
∴尾数是4个一循环，
∵，
∴尾数为：，
故选C；
【点睛】本题考查规律，解题的关键是根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律．
【变式2】（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数的个位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】依次求出的个位数字，而底数是两位数的时候，它们的5次方的结果的个位数与前面一位数的时候相同，最后把这些个位数字相加即可解答．
【详解】解：∵的个位数是1，的个位数是2，的个位数是3，的个位数是4，的个位数是5，的个位数是6，的个位数是7，个位数是8，个位数是9，的个位数是0，
由此可发现：的个位数与n的个位数相同．
所以a的个位数应是：的结果的个位数，且该结果的个位数是5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数字规律，发现的个位数与n的个位数相同是解答本题的关键．
【变式3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，丙求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，，……，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴505组相加后个位数字为0，
∵，
∴的个位数字为4，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
题型03 数字类规律探索之新运算问题
【典例3】（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【答案】A
【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1，，由此规律可进行求解．
【详解】解：由题意时，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，；
从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2020次运算结果1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解．
【变式1】（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
，
∴每四次运算结果循环出现，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，…，以此类推，则的值为 ，的值为
【答案】
【分析】先求出前4个值，从而得出这一列整数两个循环，第奇数个数据为0，第偶数个数据为，据此可得答案．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
…，
∴整数，，，，……，
∴这一列整数两个循环，第奇数个数据为0，第偶数个数据为
∴，；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是计算出前几个数值，从而得出这一列整数两个循环，第奇数个数据为0，第偶数个数据为的规律．
题型04 数字类规律探索之等式问题
【典例4】（2022秋·江西九江·七年级统考期中）观察下面的变形规律：
；；；
解答下面的问题：
(1)若为正整数，请你猜想 ______ ；
(2)计算．
(3)计算；．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答；
（2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答；
（3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答．
【详解】（1）解：∵；；；
猜想．
故答案为：．
（2）解：


．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键．
【变式1】（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）观察算式：按规律填空： ．
【答案】2500
【分析】观察所给算式，找出规律，利用规律求解．
【详解】解：观察算式可得，
因此
，
故答案为：2500．
【点睛】本题考查用代数式表示数字的规律，解题的关键是分析已知算式，找出规律，利用规律解题．
【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级校考期末）观察算式：①；②；③；④；，
根据你发现的规律解决下列问题：
(1)写出第个算式：______；
(2)写出第个算式：______；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解．
【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：第个算式为：，
故答案为：；
（3）解：．




．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用．
题型05 图形类规律探索之数字问题
【典例5】（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（ ）
A．128B．216C．226D．240
【答案】C
【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．
【详解】解：由图可得：，
，
，
，
即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
【变式1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的值为196，则（ ）

A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，所以，带入数值求出即可．
【详解】解：通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，
所以，
当时，
，
是正整数，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．
【变式2】（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第（为正整数）个三角形中，用表示的式子为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，，，第二个数的数字规律为：2，，，，，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，，，
三角形上边第二个数的数字规律为：2，，，，，
三角形下边的数的数字规律为： ，，，，
第个三角形中的数的规律为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第个三角形中的数的规律为：，是解题的关键．
题型06 图形类规律探索之数量问题
【典例6】（2023·江苏·七年级假期作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：
(1)第5个图案有 张黑色小正方形纸片；
(2)第n个图案有 张黑色小正方形纸片；
(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？
【答案】(1)16
(2)
(3)20
【分析】（1）观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；
（2）根据（1）中的规律，用字母表示即可；
（3）根据（2）的规律，得出，解之得出n的值即可作出判断．
【详解】（1）∵第1个图形中黑色纸片的数量，
第2个图形中黑色纸片的数量，
第3个图形中黑色纸片的数量，
……，
∴第5个图片中黑色纸片的数量为，
故答案为：16；
（2）由（1）知，第n个图案中黑色纸片的数量为，
故答案为：；
（3）设第n个图案中共有81张纸片，
由，
解得：，
即第20个图案中共有81张纸片．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有张黑色纸片．
【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，用棋子摆方阵，那么，图⑥要摆 枚棋子，图n要摆 枚棋子．
【答案】 25
【分析】根据已知图形，观察归纳出一般规律：图n需要的棋子数量为，据此即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，图①需要的棋子数量为
图②需要的棋子数量为
图③需要的棋子数量为
图④需要的棋子数量为，
……
观察归纳可知，图n需要的棋子数量为，
图⑥需要的棋子数量为，
图n需要的棋子数量为，
故答案为：25；．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，根据题目正确归纳一般规律是解题关键．
【变式2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：
(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；
(2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示）
(3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)4，13
(2)，
(3)可能，
【分析】（1）观察可知，除第一个以外，每增加一个黑色五边形，相应的白色五边形增加三个，即可解答．
（2）根据观察分析出白色五边形的块数与图形序号之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题．
（3）根据通项公式解答出的值即可判断．
【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4；
第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为，
第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为；
∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为．
（2）由（1）可得：第个图形中黑色五边形的个数为，白色五边形的个数为．
（3）可能，理由如下：由题意得，解得，故图案中的白色五边形可能为2023个．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
一、单选题
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列各单项式：，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知单项式发现规律：各系数依次为，字母a的次数为序数，由此得到答案．
【详解】解：∵第n个单项式为 ，
∴第10项为．
故选：A．
【点睛】此题考查了数字类的规律题，根据已知单项式发现变化规律并解决问题是解题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一列数，，…，其中，，，…，，则（ ）
A．B．1C．2020D．
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
即这列数依次以，，2循环出现，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化特点，明确题意、发现数字的变化特点是解题的关键．
3．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，用棋子摆出下列一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第10个图形里棋子的个数为（ ）

A．72B．66C．56D．78
【答案】C
【分析】根据图形中棋子的个数写出规律，利用规律解题即可．
【详解】解：第个图形中棋子个数为；
第个图形中棋子个数为；
第个图形中棋子个数为；
第个图形中棋子个数为；
；
第个图形中棋子个数为；
当时，棋子个数为
故选C．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，分析题意找出规律是解题的关键．
4．（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“”、“”按一定规律拼成图案，其中第个图案中有个，第个图案中有6个，第个图案中有个，……，按此规律排列下去，第个图案中字母的个数为( )

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“”的个数，从而可以发现“”个数的变化规律，进而得到第个图案中“”的个数，从而可求解．
【详解】解：由图可知，
第个图案中“”的个数为：(个)，
第个图案中“”的个数为：(个)，
第个图案中“”的个数为：(个)，
…，
则第个图案中“”的个数为：，
∴第个图案中字母的个数为：．
故选：D．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
5．（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）我国宋代数学文杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的一角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，
计算的展开式中，含项的系数是（ ）
…………1
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 6 4 1
A．B．15C．D．20
【答案】C
【分析】根据图中规律，可得的展开式中含项的系数，再根据的展开式中，系数的绝对值与的展开式中的系数相同，符号从左往后为奇数项为正，偶数项为负．
【详解】解：由题意可知，下排每个数等于上方两个数字的绝对值之和，
的展开式系数从左往右分别是，
的展开式系数从左往右分别是，
根据图中，可知含有项的项为从左往右第四项，且符号为负，
故的展开式中，含项的系数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中规律，并应用发现的规律是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·四川南充·七年级校考期中）正整数按图中的规律排列．由图知，数字6在第二行，第三列，请写出数字2021在第 行，第 列．

【答案】 45 5
【分析】找出规律：第一列的数为自然数的平方，而，则第行的第5列数为2021，从而完成解答．
【详解】观察图中知：每行的第一个数为该行行数的平方，而，则第行的第5列数为2021；
故答案为：45，5．
【点睛】本题是规律探索问题，考查了学生的观察归纳能力．关键是找出每行第一个数的规律．
7．（2023春·山东泰安·六年级校考期中）观察下列各式，探索规律：
；；；；；
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ．
【答案】
【分析】分析前面几个等式对应数据之间的内在联系，再归纳总结即可得到规律．
【详解】解：∵，整理得：；
，整理得：；
，整理得：；
，整理得：； …，
∴其规律为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析出等式中各数之间的关系．
8．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
【答案】7
【分析】根据，，，，，，得出末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，由得出的末尾数字与的末位数字相同是7，从而得到答案．
【详解】解：，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，
3的1，2，3，4，5，6，7，，次幂的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，
，
的末尾数字与的末位数字相同是7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了尾数特征及数字规律类探索，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，是解题的关键．
9．（2023春·河北石家庄·七年级行唐一中校考开学考试）观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为 个，第n个图形中棋子的个数为 个．

【答案】 19
【分析】根据棋子发现规律：多一组图形，则多3个棋子，列式计算可得第6个图形棋子的数量，归纳可得第n个图形中，有棋子个．
【详解】解：第1个图形有4个棋子，
第2个图形有个棋子，
第3个图形有个棋子，
第4个图形有个棋子，
第5个图形有个棋子，
第6个图形有个棋子，
归纳可得：第n个图形中棋子的个数为个棋子，
故答案为：19，．
【点睛】本题主要考查了数与形结合的规律，发现棋子个数与图形个数之间的关系是解本题的关键．
10．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）已知整数满足下列条件：，，，，…，（为正整数）依此类推，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求出、、、、的值，观察发现规律：当为奇数时，；当为偶数时，，据此即可求出的值．
【详解】解：；
；
；
；
；
……
观察发现，当为奇数时，；当为偶数时，，
是奇数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，绝对值的意义，根据已知观察归纳出一般规律是解题的关键．
三、解答题
11．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）观察下列三行数：
，4，，16，，64，……
0，6，，18，，66，……
，1，，4，，16……
(1)第①行数第七个数是，那么第二行数第七个数是_____，第三行第七个数是_____．
(2)列式计算：取每行的第9个数，求这三个数的和．
【答案】(1)，
(2)这三个数的和是
【分析】（1）根据各行数的特点，可以发现第二行和第一行对应数字的关系，第三行和第一行对应数字的关系，即可得到第二行第七个数和第三行第七个数；
（2）根据（1）发现的关系，可以写出每行的第九个数，然后相加即可解答本题．
【详解】（1）解：由题目中的数据可知，第二行中的每个数是第一行对应数字加2，第三行中的每个数是第一行对应数字的，
∵第①行第七个数是，
∴第二行第七个数是，第三行第七个数是，
故答案为：，；
（2）∵第①行第一个数是，第一个数是，第一个数是，…，
∴第一行第9个数是
第二行第9个数是
第一行第9个数是
这三个数的和是：
答：这三个数的和是．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出规律解答．
12．（2023春·云南昭通·七年级统考期中）小明计算：的过程如下：
解：令
则
得
∴
请参照小明的方法，计算：．
【答案】
【分析】仿照例子，令，等式两边同时乘以得，，两者作差除以即可得出结论．
【详解】解：令，
等式两边同时乘以得，
，
得，
，
，
∴．
【点睛】此题考查了数字的规律和有理数的乘方，结合题目中的例子进行计算是解本题的关键．
13．（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）观察下列图形，完成下列问题．

(1)数一数，完成下列表格．
(2)若有条直线相交，则最多有交点__________个．（用含的代数式表示）
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据图形信息即可求解；
（2）根据（1）中直线条数与交点的数量的关系即可求解．
【详解】（1）解：根据图示，
故答案为：，，，．
（2）解：根据题意设有条直线，则交点的数量为，
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律与整式的混合运算，理解图示含义，掌握整式的混合运算是解题的关键．
14．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列各式：，，，回答下面的问题：
(1) （写出算式即可）；
(2)计算的值；
(3)计算的值．
【答案】(1)
(2)44100
(3)41075
【分析】（1）由前面的具体运算归纳可得：等式左边是几个数的立方和，右边是左边的数据的个数的平方以数据的个数加上1的和的平方的积的，从而可得答案；
（2）直接运用（1）中规律进行运算即可；
（3）把原式化为，再运用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
归纳可得：；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算的规律探究及其灵活应用，掌握探究的方法是解本题的关键．
15．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）探索规律：观察下面※由组成的图案和算式，解答问题：

(1)请猜想_________；
(2)请猜想_________；
(3)请用上述规律计算：的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)9100
【分析】（1）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果；
（2）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解：由图得：，有1项；
，有2项；
，有3项；
，有4项；
，有5项；
∴共有项，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：当时，，当时，
．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类及有理数的乘方运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
16．（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：

(1)如图①，把正方形看作， ．
(2)如图②，把正方形看作， ．
(3)如图③，把正方形看作， ．
(4)计算： ．
(5)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（3）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（4）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（5）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：如图①，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（2）解：如图②，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（3）解：如图③，把正方形看把正方形看作，，
故答案为：，．
（4）解：，
故答案为：．
（5）解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算的综合，理解图示规律，掌握有理数的混合方法是解题的关键．
17．（2023春·安徽·九年级专题练习）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)45，22
(2)图n中，○的个数，▲的个数．
【分析】（1）根据图形总结规律，直接得出结果；
（2）根据（1）即可得到规律．
【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数，
图2，○的个数，▲的个数，
图3，○的个数，▲的个数，
图4，○的个数，▲的个数，
故答案为：45，22；
（2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数．
【点睛】本题主要考查探求规律的问题，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键．
18．（2023·河北秦皇岛·统考一模）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）．
(1)填写下表：
(2)写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________
(3)能否用盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)12，15；
(2)；
(3)不能，见详解．
【分析】（1）结合图形，发现：每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，依此可得出答案．
（2）结合（1）中的规律即可求出每条边上摆n盆小菊花时需要小菊花的总盆数y；
（3）根据题意把代入中，求出n的值后，即可作出判断．
【详解】（1）解：由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，，，
故答案为：12，15；
（2）解：每条边摆两个，则，
每条边摆3个，则，
每条边摆4个，则，
…
每条边摆n个，则，
故答案为：．
（3）解：把代入，则，，，
∵不是整数，
∴不能用盆鲜花作出符合要求的摆放．
【点睛】本题主要考查的是图形规律等内容，注意培养由一般总结特殊规律的能力，认真对比前后图形，研究图形变化特性，准确总结规律是解题的关键．
规律总结
数列形式
1，3，5，7，9，···，
2，4，6，8，10，···，
4，7，10，13，16，···，
2，5，8，11，14，···，
2，4，8，16，32，···，
3，5，9，17，33，···，
2，5，10，17，26，···，
0，3，8，15，24，···，
，，，，，，···，
，，，，，，···，
1，3，6，10，15，21，···，
斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数之和
直线的条数
交点的个数
直线的条数
交点的个数
图1
图2
图3
图4
○的个数
3
9
21
______
▲的个数
1
4
10
______
每条边上摆放的盆数（n）
2
3
4
5
6
…
需要的鲜花总盆数（y）
3
6
9
_____
_____
…