人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数复习练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数复习练习题，共29页。

知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0．
故选：A.
12．B
【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】∵函数的图象经过点，
∴，
∴，解之得:.
∴，.
对于A.因为，所以函数在上为增函数.故A正确；
对于B.因为函数的定义域为，并不关于原点对称，所以函数不是偶函数.故B错误；
对于C.因为函数在上为增函数，所以当时,.故C正确；
对于D. 当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：B .
13．A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
14．C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
15．B
【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值．
【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数
或
当时，满足条件；当时，，舍去
因此：m＝1
故选：B
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
（1）
解：由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）
解：由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;
（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．
（1）
∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）
即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
18．(1)，定义域为；
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；
（2）求出利用单调性定义证明即可
（1）
因为函数为幂函数，所以，解得或，
若时，在上单调递增，不满足题意，
所以，，定义域为；
（2）
由（1）知函数，
设，则．
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递减
19．B
【分析】将代入函数解析式，即可求出，即可得解函数解析式，再代入求值即可.
【详解】解：由题意知，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：B
20．D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
21．B
【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.
【详解】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．
故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．
故选：B．
22．(1)
(2)或
【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；
（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.
（1）
因为为幂函数
所以
因为为偶函数
所以 故的解析式.
（2）
由（1）知，
当即时，，即
当即时，即
综上所述：或
23．(1),；
(2).
【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；
（2）由（1），得，利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
(1)
因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)
由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.
24．B
【分析】根据幂函数的特征和性质可得，代入，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.
【详解】依题意有，解得或．又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或．
故选：B．
25．A
【分析】由分段函数是减函数及幂函数的单调性，可得，解不等式组即可得答案.
【详解】解：因为函数是减函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
26．C
【分析】利用幂函数y＝x－1的图象可排除A，B；幂函数y＝x可排除D；当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，可判断C
【详解】幂函数y＝x－1的图象不过点（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，于是A，B都不正确．
幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．
当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确
故选：C．
27．D
【分析】根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.
【详解】∵幂函数在上单调递增，
∴，解得，
故选：D．
28．C
【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；
故选：C
29．A
【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可.
【详解】设，由
，
当且时，即时，等式显然成立，
当时，则有，因为，
所以，
当时，则有，即，
因为函数是实数集上的增函数，
由，而与矛盾，
所以不成立，
当时，则有，即，
因为函数是实数集上的增函数，
由，而与矛盾，
所以不成立，
综上所述：，
故选：A
【点睛】关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键.
30．D
【分析】根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
31．A
【分析】结合函数和的图象，逐项判定，即可求解.
【详解】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，
所以，若，可得，所以①正确；
当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，
所以，若，可得，所以②错误；
由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；
当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，
所以，若时，可得，所以④正确.
故选；A．
32．ACD
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
33．BD
【分析】由题意得，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解.
【详解】将点代入，可得，
则，
因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；
根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称, 单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.
故选：BD.
34．ABD
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；
【详解】解：因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
35．CD
【分析】通过已知三个条件，分别奇偶性、值域和单调性即可排除选项.
【详解】由已知可得，此函数为奇函数，而A选项为偶函数，不满足题意，排除选项；
选项B，的值域为，且该函数在R上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C、D同时满足三个条件.
故选：CD.
36．BD
【分析】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，其中选项ABC可直接判断单调性和奇偶性，选项D通过画图判断单调性和奇偶性.
【详解】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，
对于A.，函数不为奇函数，故不为“理想函数”；
对于B.为定义域上的单调递减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；
对于C.为定义域上的单调递增函数，故不为“理想函数”；
对于D.的图像如下：
由图像可得该函数为定义域上的单调减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；
故选：BD.
37．ABD
【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.
【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；
对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；
对于C项，由可知，C错误；
对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.
故选：ABD.
38．
【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.
【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，
又函数在上单调递减，则，
所以实数m的值为-3.
故答案为：-3
39．4
【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值，进而即得.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为，
∴. ，.
故答案为：4.
40．（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
41．
【分析】根据单调性定义可知在上单调递增，结合幂函数定义可求得，进而得到解析式；根据单调性可构造不等式组求得结果.
【详解】对任意，且，满足，
在上单调递增，又为幂函数，，解得：，，则；
在上单调递增，，解得：；
的取值范围为.
故答案为：.
42．α越大函数增长越快
【分析】根据幂函数的图象与性质确定结论．
【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．
从上面任取一个即可得出答案．
故答案为：α越大函数增长越快．
43．(1)
(2)或
【分析】（1）根据幂函数和偶函数的定义可求结果；
（2）先求解的解析式，结合二次函数知识可得实数的取值范围.
(1)
依题意有：，
解得或；
又函数为偶函数，则，
所以.
(2)
；
由题知：或，
所以或.
44．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设，然后代点求解即可；
（2）利用定义证明函数在区间上单调递增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范围．
(1)
设，
则，得，
所以．
(2)
（i）由（1）得．
任取，，且，
则
．
因为，所以，，所以，即．
所以函数在上单调递增．
（ii）由（i）知在单调递增，
所以在上，．
因为在上恒成立，所以，
解得．
45．(1)，定义域为.
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；
（2）求出利用单调性定义证明即可.
（1）
因为幂函数，在区间上单调递减，
所以，解得或，
所以，定义域为.
（2）
由（1）知函数，
设，则
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递减.
46．(1)；
(2)当时， 为偶函数，当时，为非奇非偶函数；
(3).
【分析】（1）由条件可得，解出的值，然后验证即可；
（2），分、两种情况讨论即可；
（3）当时，，然后化简可得，然后可得答案.
（1）
因为为偶函数，所以
解得或
当时，为偶函数，满足题意
当时，是非奇非偶函数，不满足题意
所以
（2）
因为，所以
所以当时，，为偶函数，
当时，，为非奇非偶函数，
（3）
因为函数在上是严格增函数，
所以当时，，即
所以，
因为，所以，所以
因为，所以，所以