河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的导数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数求导得，.
故选：A．
2. 是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】C
【解析】由，，
可得且，即且，
所以.
故选：C.
3. 函数图象如图所示，下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率，
的几何意义为在点A处切线的斜率，
，其几何意义为割线AB的斜率，
则有．
故选：C
4. 在一组样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. -1B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为这组样本数据的所有样本点都在直线上，
所以这组样本数据完全负相关，其相关系数是-1．
故选：A．
5. 已知数列为等比数列， ，则 （ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】C
【解析】因为为等比数列，则公比，
所以，又，
所以
，解得，
又，而恒成立，
所以，则，故.
故选：C.
6. 若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A. 22B. 24C. 26D. 28
【答案】B
【解析】由题意，设等比数列的公比为，
因为成等比数列，
可得，
又因为，即
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元，
根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款数为：；
．．．，
第12个月末所欠银行贷款为：
；
由于分12次还清所有的欠款，所以，
解得.
故选：D．
8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A. 16B. 22C. 23D. 25
【答案】B
【解析】因为二二数之剩一的数为的形式，三三数之剩一的数为的形式，其中，
则数列的项即为以上两类数的公共项，即为的形式，，
即，
因，故数列是等差数列，
于是，，
则
当且仅当，即时取等号．
即时，取得最小值22.
故选：B．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等比数列
B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列
D. 数列是等比数列
【答案】AC
【解析】设等比数列的公比为，
因为，所以，
对于A，，所以数列是等比数列，故A正确；
对于B，当时，等比数列为正项常数列，此时，所以数列不等比数列，故B错误；
对于C，，所以数列是等比数列，故C正确；
对于D，，所以数列是等差数列，故D错误．
故选：AC．
10. 小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A，，其导数，
则有，不符合“凹函数”的定义，故A错误；
对于B，，定义域为R，其导数，
则，在定义域R上不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误；
对于C，，定义域为R，其导数，
则有在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C正确；
对于D，，定义域为，其导数，则有在上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D正确．
故选：CD．
11. 已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】设正项等比数列的公比为，
由得：，，又，；
对于A，，
设，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，即，A错误；
对于B，，
，B正确；
对于C，由得：，，
即，
又，，
，
设，则，
在上单调递增，，
，即，C正确；
对于D，由得：，，
即，又，，
；
设，则，
在上单调递减，
，
，即，D正确.
故选：BCD.
12. 设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】为正项等比数列，，，；
对于A，，，
，，，又，
，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，，
又，，，即，C错误；
对于D，，，
当且时，；当且时，；又，
当或时，取得最大值，即与均为的最大值，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为____________________．
【答案】
【解析】根据题意，数列的前5项依次为，即，
则的一个通项公式为，
故答案为：
14. 已知，则______，
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，则.
故答案为：.
15. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列正确说法的序号是_____．
①变量之间呈正相关关系；
②可以预测当时，值为6.88；
③表中的值为3.9；
④样本中心点为．
【答案】①②④
【解析】对于①中，由关于的线性回归方程为，
可得，
所以变量之间呈正相关关系，所以①正确；
对于②中，由关于的线性回归方程为，
当时，可得，所以②正确；
对于③中，由表格中的数据，可得，，
可得，解得，所以③错误；
对于④中，由，，即样本中心点为，所以④正确.
故答案为：①②④.
16. 已知数列满足，且前12项和为134，则_____．
【答案】1
【解析】因为，
当n为奇数时，，
即，
，
可得；
当n为偶数，
即，
可得，
则前12项和为，解得．
故答案为：1
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知曲线．
（1）求与直线平行，且与曲线相切的直线方程；
（2）设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围．
解：（1），，
令，解得：；
当时，，切线方程为：，即；
当时，，切线方程为：，即；
综上所述：所求直线方程为或.
（2）由（1）知：，，
又，.
18. 已知数列的前项和．
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前项和．
解：（1）因为，
所以时，，
当时，适合上式，
故，
所以时，，
故数列是以为首项，以2为公差的等差数列；
（2），
当时，，则
当时，
，
故.
19. 已知公差不为0的等差数列，前n项和为，且，_____．
现有条件：；；．请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
解：（1）设等差数列的公差为d，
选条件，可得，，
又，解得，所以；
选条件可得，，
又，解得（舍去），所以；
选条件可得，，
又，
解得，所以.
（2），
所以
＝．
20. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
（1）经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：，，的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
附：，，
解：（1），
，又的方差为，
所以，
，故，
当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140；
（2）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到：
，
∵，
∴依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
21. 设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，．
（1）证明数列为等比数列并求出通项公式；
（2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和．
解：（1）函数，，
以点为切点的切线方程为：，
当时，，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列,.
（2）由题意得：，
，
…①，
则…②，
①②得：，
.
22. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
（1）求；
（2）若，求n的最小值；
（3）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由．
解：（1）原数列有3项，经第1次“和扩充”后的项数；
经第2次“和扩充”后的项数；
（2）数列的每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加一项，
设数列经第n次“和扩充”后的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，
则，则，
由（1）得，则数列是首项为4，公比为2的等比数列，
则，即，
由可得，因，解得，
所以n的最小值为10；
（3）设第次“和扩充”后数列的各项为，
所以，
因为数列每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
即，
所以，
即有（*），
因，
则，
由（*）知，要使数列为等比数列，需使(Ⅰ)，
或(Ⅱ) ，
由(Ⅰ)解得，，且；由(Ⅱ)解得，，且.
故存在满足条件为，且，或，且.
2
3
4
5
2
2.3
3.4
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末自主学习
35
130
165
末参与周末自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828