河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）函数的导数f'（x）＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a2+a3＝6，a7+a9＝16，则S9＝（ ）
A．43B．44C．45D．46
3．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，下列关系正确的是（ ）
A．0＜f'（4）＜f'（5）＜f（5）﹣f（4）
B．0＜f'（4）＜f（5）﹣f（4）＜f'（5）
C．0＜f'（5）＜f（5）﹣f（4）＜f'（4）
D．0＜f（5）﹣f（4）＜f'（5）＜f'（4）
4．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（ x2，y2），…，（ xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（ i＝1，2，…，n）都在直线y＝﹣x+1上，则这组数据的样本相关系数为（ ）
A．﹣1B．1C．D．
5．（5分）已知数列{an}为等比数列，，则a4＝（ ）
A．2B．C．2D．±2
6．（5分）若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8﹣2S4＝6，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．22B．24C．26D．28
7．（5分）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．a（1+t）12
B．
C．
D．
8．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为（ ）
A．16B．22C．23D．25
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）若数列{an}是等比数列，且an＞0（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A．数列{}是等比数列
B．数列{an+1﹣an}是等比数列
C．数列{a2n}是等比数列
D．数列{lgan}是等比数列
（多选）10．（5分）小明研究函数f（x）的图象与导函数，经查阅资料，发现f（x）具有下面的性质：若函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），且f'（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为y＝f''（x）．若在区间（a，b）上f''（x）＞0，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（ ）
A．f（x）＝2x+1B．f（x）＝x3C．f（x）＝x2+1D．f（x）＝﹣lgx
（多选）11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为正项等比数列，且a1＝b1，a9＝b9，则下列结论正确的是（ ）
A．a3＜b3B．a5＞b5
C．若a1＞a9，则a10＜b10D．若a1＜a9，则a10＜b10
（多选）12．（5分）设数列{an}（n∈N*）为正项等比数列，q为公比，Tn为前n项的积，且T15＜T16，T16＝T17，T17＞T18，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜q＜1
B．a17＝1
C．T19＞T15
D．T16与T17均为Tn的最大值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知数列{an}的前5项依次为，则{an}的一个通项公式为an＝ ．
14．（5分）已知，则f′（2024）＝ ，
15．（5分）垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x（千克）所需的费用y（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为＝0.62x+0.68，则下列正确说法的序号是 ．
①变量x，y之间呈正相关关系；
②可以预测当x＝10时，y的值为6.88；
③表中m的值为3.9；
④样本中心点为（3.5，2.85）．
16．（5分）已知数列{an}满足an+2+（﹣1）nan＝2n﹣1，且前12项和为134，则a1＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知曲线C：y＝x3+x﹣2．
（1）求与直线y＝4x﹣1平行，且与曲线C相切的直线方程；
（2）设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣20n．
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
19．（12分）已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，且a1＝1，_____．
现有条件：①S5＝25；②a8＝a2a3；③a5＝3a2．请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
20．（12分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
（1）经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
附：
21．（12分）设函数f（x）＝x2，过点C1（1，0）作x轴的垂线l1交函数f（x）图象于点A1，以A1为切点作函数f（x）图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f（x）图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*．
（1）证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
（2）设直线ln与函数g（x）＝x的图象相交于点Bn，记bn＝•（其中O为坐标原点），求数列{bn}的前n项和Sn．
22．（12分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．
（1）求P1、P2；
（2）若Pn≥2024，求n的最小值；
（3）是否存在实数a、b、c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求出a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）函数的导数f'（x）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由导数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
其导数f′（x）＝（lnx）′+（cs）′＝．
故选：A．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2．（5分）Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a2+a3＝6，a7+a9＝16，则S9＝（ ）
A．43B．44C．45D．46
【分析】结合等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：a1+a2+a3＝6，a7+a9＝16，
则3a2＝6，2a8＝16，解得a2＝2，a8＝8，
故S9＝＝45．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，属于基础题．
3．（5分）函数y＝f（x）的图象如图所示，下列关系正确的是（ ）
A．0＜f'（4）＜f'（5）＜f（5）﹣f（4）
B．0＜f'（4）＜f（5）﹣f（4）＜f'（5）
C．0＜f'（5）＜f（5）﹣f（4）＜f'（4）
D．0＜f（5）﹣f（4）＜f'（5）＜f'（4）
【分析】根据题意，分析f′（4）、f′（5）和f（5）﹣f（4）的几何意义，结合图象分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f'（4）的几何意义为y＝f（x）在点B处切线的斜率，
f'（5）的几何意义为y＝f（x）在点A处切线的斜率，
f（5）﹣f（4）＝，其几何意义为割线AB的斜率，
则有f′（5）＜f（5）﹣f（4）＜f′（4）．
故选：C．
【点评】本题考查函数导数的几何意义，涉及函数的图象分析，属于基础题．
4．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（ x2，y2），…，（ xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（ i＝1，2，…，n）都在直线y＝﹣x+1上，则这组数据的样本相关系数为（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【分析】直接利用相关系数和离散点的关系求出结果．
【解答】解：在一组样本数据（x1，y1），（ x2，y2），…，（ xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（ i＝1，2，…，n）都在直线y＝﹣x+1上，故相关性比较强，
则这组数据的样本相关系数为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：相关系数和离散点的关系，主要考查学生的理解能力，属于基础题和易错题．
5．（5分）已知数列{an}为等比数列，，则a4＝（ ）
A．2B．C．2D．±2
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可．
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，，
∴+＝＝＝2，
可得＝4，
∵a4＝a2q2，a6＝a4q2，且a2+a4+a6＝8＞0，
故a4＞0，可得a4＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
6．（5分）若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8﹣2S4＝6，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，公比q＞0，
S4，S8﹣S4，S12成等比数列，
则，
故＝＝，
所以a9+a10+a11+a12＝≥，当且仅当S6＝6时，等号成立，
故a9+a10+a11+a12的最小值为24．
故选：B．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，基本不等式的公式，属于基础题．
7．（5分）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．a（1+t）12
B．
C．
D．
【分析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，由此列方程求出结果．
【解答】解：根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：a1＝a（1+t）﹣x，
第二个月末所欠银行贷款数为：a2＝a1（1+t）﹣x＝a（1+t）2﹣x（1+t）﹣x，
...，
第12个月末所欠银行贷款为：
a12＝a（1+t）12﹣x（1+t）11﹣x（1+t）10﹣...﹣x（1+t）﹣x＝a（1+t）12﹣x[（1+t）11+（1+t）10+...+（1+t）+1]＝a（1+t）12﹣x•＝a（1+t）12+，
由于分12次还清所有的欠款，所以a（1+t）12+＝0，解得x＝．
故选：D．
【点评】本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
8．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为（ ）
A．16B．22C．23D．25
【分析】由已知先求出an，然后结合等差数列的求和公式及通项公式及基本不等式即可求解．
【解答】解：因为二二数之剩一的数为2m+1的形式，三三数之剩一的数为3k+1的形式，其中m∈N，n∈N，
则数列{an}的项即为以上两类数的公共项，即为6n+1的形式，n∈N，
即an＝6n+1，
所以Sn＝＝3n2+4n，
所以＝＝3n+10+10＝22，
当且仅当3n＝，即n＝2时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）若数列{an}是等比数列，且an＞0（n∈N*），则下列结论正确的是（ ）
A．数列{}是等比数列
B．数列{an+1﹣an}是等比数列
C．数列{a2n}是等比数列
D．数列{lgan}是等比数列
【分析】根据等比数列的性质，以及通项公式判断．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为an＞0（n∈N*），所以q＞0，
对于A，＝（）2＝q2，所以数列{}是等比数列，故A正确；
对于B，当q＝1时，等比数列{an}为正项常数列，此时an+1﹣an＝0，所以数列{an+1﹣an}不是等比数列，故B错误；
对于C，＝＝q2，所以数列{a2n}是等比数列，故C正确；
对于D，lgan+1﹣lgan＝＝lgq，所以数列{lgan}是等差数列，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于中档题．
（多选）10．（5分）小明研究函数f（x）的图象与导函数，经查阅资料，发现f（x）具有下面的性质：若函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），且f'（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为y＝f''（x）．若在区间（a，b）上f''（x）＞0，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（ ）
A．f（x）＝2x+1B．f（x）＝x3C．f（x）＝x2+1D．f（x）＝﹣lgx
【分析】由“凹函数”的定义逐项判断即可得解．
【解答】解：对于A，f（x）＝2x+1，其导数f'（x）＝2，则有f″（x）＝0，不符合“凹函数”的定义，故A不符合题意；
对于B，f（x）＝x3，定义域为R，其导数f'（x）＝3x2，则f″（x）＝6x，
在定义域R上f″（x）＞0不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B不符合题意；
对于C，f（x）＝x2+1，定义域为R，其导数f'（x）＝2x，
则有f″（x）＝2＞0在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C符合题意；
对于D，f（x）＝﹣lgx，定义域为（0，+∞），其导数，
则有＞0在（0，+∞）上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D符合题意．
故选：CD．
【点评】本题主要考查导数的运算，函数的新定义，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为正项等比数列，且a1＝b1，a9＝b9，则下列结论正确的是（ ）
A．a3＜b3B．a5＞b5
C．若a1＞a9，则a10＜b10D．若a1＜a9，则a10＜b10
【分析】设公比为q，q＞0，q≠1，a1＝b1＝t，t＞0，推得d＝（q8﹣1），由作差法，结合函数的导数，求得单调性和最值，对各个选项分析，可得结论．
【解答】解：等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为正项等比数列，设公比为q，q＞0，q≠1，
设a1＝b1＝t，t＞0，由a9＝b9，可得t+8d＝tq8，
即有d＝（q8﹣1），
由a3﹣b3＝t+2d﹣tq2＝t﹣tq2+（q8﹣1）＝（3+q8﹣4q2），
设f（q）＝3+q8﹣4q2，可得f′（q）＝8q7﹣8q，
当q＞1时，f′（q）＞0，f（q）递增；当0＜q＜1时，f′（q）＜0，f（q）递减，可得f（q）＞f（1）＝0，
又t＞0，可得a3﹣b3＞0，即a3＞b3，故A错误；
由a5﹣b5＝t+4d﹣tq4＝t﹣tq4+（q8﹣1）＝（1+q8﹣2q4）＝（q4﹣1）2＞0，可得a5＞b5，故B正确；
由a1＞a9，可得t＞tq8，解得0＜q＜1，
a10﹣b10＝t+9d﹣tq9＝t﹣tq9+（q8﹣1）＝（﹣1+9q8﹣8q9），
设g（q）＝﹣1+9q8﹣8q9，可得g′（q）＝72q7﹣72q8＞0，
当0＜q＜1时，g（q）递增，可得g（q）＜g（1）＝0，
又t＞0，可得a10﹣b10＜0，即a10＜b10，故C正确；
由a1＜a9，可得t＜tq8，解得q＞1，
a10﹣b10＝t+9d﹣tq9＝t﹣tq9+（q8﹣1）＝（﹣1+9q8﹣8q9），
设g（q）＝﹣1+9q8﹣8q9，可得g′（q）＝72q7﹣72q8＜0，
当q＞1时，g（q）递减，可得g（q）＜g（1）＝0，
又t＞0，可得a10﹣b10＜0，即a10＜b10，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及导数的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）设数列{an}（n∈N*）为正项等比数列，q为公比，Tn为前n项的积，且T15＜T16，T16＝T17，T17＞T18，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜q＜1
B．a17＝1
C．T19＞T15
D．T16与T17均为Tn的最大值
【分析】由T16＝T17可得a17＝1即可判断B；由T17＞T18 到a18＜1，结合等比数列公比q的定义即可判断A；已知0＜q＜1，则可将T19，T15均表示成q与T17的式子，比较系数的大小即可判断C；根据an与1的大小即可判断Tn的单调性，从而求解D．
【解答】解：因为{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，
所以q＞0，Tn＞0，
由T16＝T17 可得a17＝1，故B正确；
由T15＜T16＝a16×T15，可得a16＞1，
由T17＞T18＝a18×T17，可得a18＜1，
因为{an}为正项等比数列，所以，则0＜q＜1，故A正确；
因为T19＝T17•a18•a19＝T17 ， •q＝qT17，
因为0＜q＜1，T17＞0，
所以q3＜q⇒T19＜T15，故C错误；
因为a17＝1，0＜q＜1，
所以当n≤16时，an＞1，Tn单调递增，
当n≥17时，an≤1，Tn 单调递减，
故T16＝T17为Tn的最大值，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知数列{an}的前5项依次为，则{an}的一个通项公式为an＝ ．
【分析】根据题意，分析数列前5项的规律，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}的前5项依次为，即，，，，；
则{an}的一个通项公式为an＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
14．（5分）已知，则f′（2024）＝ ﹣2023 ，
【分析】注意f′（2024）是个常数，对f（x）进行求导，再代入x＝2024即可得解．
【解答】解：因为，
所以，
所以，则f′（2024）＝﹣2023．
故答案为：﹣2023．
【点评】本题考查了导数的运算，是基础题．
15．（5分）垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x（千克）所需的费用y（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为＝0.62x+0.68，则下列正确说法的序号是 ①②④ ．
①变量x，y之间呈正相关关系；
②可以预测当x＝10时，y的值为6.88；
③表中m的值为3.9；
④样本中心点为（3.5，2.85）．
【分析】由0.62＞0，可得判定①正确；令x＝10时，求得ŷ＝6.88，可判定②正确；根据回归直线方程的含义与性质，可判定③错误，④正确．
【解答】解：对于①中，由y关于x的线性回归方程为ŷ＝0.62x+0.68，可得0.62＞0，
所以变量x，y之间呈正相关关系，所以①正确；
对于②中，由y关于x的线性回归方程为＝0.62x+0.68，
当x＝10时，可得ŷ＝0.62×10+0.68＝6.88，所以②正确；
对于③中，由表格中的数据，可得，，
可得，解得m＝3.7，所以③错误；
对于④中，由，，即样本中心点为（3.5，2.85），所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
16．（5分）已知数列{an}满足an+2+（﹣1）nan＝2n﹣1，且前12项和为134，则a1＝ 1 ．
【分析】由数列的递推式，讨论n为奇数和偶数时，结合等差数列的通项公式，解方程可得所求值．
【解答】解：因为an+2+（﹣1）nan＝2n﹣1，
当n为奇数时，an+2﹣an＝2n﹣1，
即a3﹣a1＝1，a5﹣a3＝5，
a7﹣a5＝9，a9﹣a7＝13，a11﹣a9＝17，
可得a1+a3+a5+a7+a9+a11＝6a1+（1+6+15+28+45）＝6a1+95；
当n为偶数时，an+2+an＝2n﹣1，
即a2+a4＝3，a6+a8＝11，a10+a12＝19，
可得a2+a4+a6+a8+a10+a12＝33，
则前12项和为6a1+95+33＝134，解得a1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知曲线C：y＝x3+x﹣2．
（1）求与直线y＝4x﹣1平行，且与曲线C相切的直线方程；
（2）设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义结合两直线平行的条件，可得切点坐标，进而得到直线方程；
（2）由tanα≥1，即可得出答案．
【解答】解：（1）由y＝x3+x﹣2，可得y′＝3x2+1，
令3x2+1＝4，
解得x＝±1，
当x＝1时，切点坐标为（1，0），
则切线方程为y＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣4＝0；
当x＝﹣1时，切点坐标为（﹣1，﹣4），
则切线方程为y+4＝4（x+1），即4x﹣y＝0；
综上，所求直线方程为4x﹣y﹣4＝0或4x﹣y＝0；
（2）由（1）结合导数的几何意义可得，tanα＝3x2+1≥1，
又α∈[0，π），
则．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣20n．
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
【分析】（1）结合和与项的递推关系先求出an，然后结合等差数列的定义即可证明；
（2）结合数列项的正负特点对n的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】（1）证明：因为Sn＝n2﹣20n，
所以n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣20n﹣（n﹣1）2+20（n﹣1）＝2n﹣21，
当n＝1时，a1＝S1＝﹣19适合上式，
故an＝2n﹣21，
所以n≥2时，an﹣an﹣1＝2，
故数列{an}是以﹣19为首项，以2为公差的等差数列；
（2）解：当n≤10时，an＜0，
则Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|
＝﹣（a1+a2+…+an）＝﹣Sn＝20n﹣n2，
当n≥11时，Tn＝|a1|+|a2|+…+|an|
＝﹣（a1+a2+…+a10）+a11+…+an
＝﹣S10+Sn﹣S10
＝Sn﹣2S10＝n2﹣20n﹣2×（﹣100）＝n2﹣20n+200，
故Tn＝．
【点评】本题主要考查了数列的递推关系的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
19．（12分）已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，且a1＝1，_____．
现有条件：①S5＝25；②a8＝a2a3；③a5＝3a2．请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【分析】（1）结合所选条件，利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
（2）先求出bn，然后利用裂项求和即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，
选条件①：由S5＝25可得，，
又a1＝1，解得d＝2，
所以an＝2n﹣1；
选条件②：由a8＝a2a3可得，a1+7d＝（a1+d）（a1+2d），
又a1＝1，解得d＝2（d＝0舍去），
所以an＝2n﹣1；
选条件③：由a5＝3a2可得，a1+4d＝3（a1+d），
又a1＝1，解得d＝2，
所以an＝2n﹣1；
（2），
所以Tn＝b1+b2+⋯+bn＝
＝．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
20．（12分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
（1）经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：的方差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
附：
【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；
（2）根据题意计算出χ2，进而由α＝0.001的独立性检验得出答案．
【解答】解：（1），
，又xi（i＝1，2，3，…，5）的方差为，
∴，
，
故，
当x＝100时，y＝140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140；
（2）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到：
，
∵12.22＞10.828，
∴依据α＝0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【点评】本题考查线性回归方程与独立性检验，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）设函数f（x）＝x2，过点C1（1，0）作x轴的垂线l1交函数f（x）图象于点A1，以A1为切点作函数f（x）图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f（x）图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*．
（1）证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
（2）设直线ln与函数g（x）＝x的图象相交于点Bn，记bn＝•（其中O为坐标原点），求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（I）求导函数，可得以点An﹣1（an﹣1，）为切点的切线方程，从而可得数列{an}以1为首项，为公比的等比数列，
即可求出通项公式an；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】（I）证明：∵函数f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，
∴以点An﹣1（an﹣1，）为切点的切线方程为y﹣＝2an﹣1（x﹣an﹣1）．
当y＝0时，得x＝an﹣1，即an＝an﹣1．
又∵a1＝1，∴数列{an}以1为首项，为公比的等比数列，
∴通项公式为an＝（）n﹣1
（Ⅱ）解：根据题意，得Bn（（）n﹣1，n﹣1），∴bn＝•＝（）n﹣1+（）n﹣1（n﹣1）＝n（）n﹣1，
∴Sn＝1×（）0+2×（）1+…+n×（）n﹣1，
∴Sn＝1×（）1+2×（）2+…+n×（）n，
相减，得Sn＝1×（）0+1×（）1+…+（）n﹣1﹣n×（）n＝
∴．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．（12分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．
（1）求P1、P2；
（2）若Pn≥2024，求n的最小值；
（3）是否存在实数a、b、c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求出a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题中“和扩充”的定义进行求解即可；
（2）根据等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）根据等比数列的定义和性质进行求解即可．
【解答】解：（1）原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1＝3+2＝5；
经第2次拓展后的项数P2＝5+4＝9；
（2）数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次拓展后的项数为Pn，
则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，
所以Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1，
所以Pn+1﹣1＝2Pn﹣2＝2（Pn﹣1），
由（1）得P1﹣1＝4，所以{Pn﹣1}是首项为4，公比为2的等比数列，
则Pn﹣1＝4•2n﹣1＝2n+1，即Pn＝2n+1+1，
由Pn≥2024，可得2n+1≥2023，解得n≥10，
所以n的最小值为10；
（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，
所以Sn＝a+a1+a2+a3+⋯+am+c，
因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+⋯+am+（am+c）+c，
即Sn+1＝2a+3a1+3a2+⋯+3am+2c，
所以Sn+1＝3Sn﹣（a+c），即有Sn+1﹣＝3（Sn﹣），
得Sn﹣＝（S1﹣）•3n﹣1，
由S1＝2a+3b+2c，则S1﹣＝3b+，Sn＝（b+）•3n+，
若使{Sn}为等比数列，则，或，
所以存在，a、b、c满足的条件为a+c＝0，且b≠0，或2b+a+c＝0，且b≠0．
【点评】本题主要考查数列的新定义问题，利用等比数列的定义和性质是解题的关键，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．x
2
3
4
5
y
2
2.3
3.4
m
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末自主学习
35
130
165
末参与周末自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
2
3
4
5
y
2
2.3
3.4
m
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末自主学习
35
130
165
末参与周末自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828