河北省唐山市丰南区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市丰南区2024年中考二模数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，，本选项正确，符合题意；
B、，本选项故错误，不符合题意；
C、，本选项故错误，不符合题意；
D、，本选项故错误，不符合题意；
故选：A．
2. 要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.，是多项式，不符合题意；
B.，是多项式，不符合题意；
C. ，是单项式，符合题意；
D.，是多项式，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点P的正南方向匀速航行，乙船沿点P的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（ ）
A. 北偏东10°B. 北偏东30°C. 北偏东35°D. 北偏东40°
【答案】C
【解析】如图，根据题意得，
∴，
∴乙船在甲船的北偏东，
故选C．
4. 在物联网时代所有芯片中，芯片已成为需求的焦点．已知．下面将用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
5. 如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A. 三个视图都是B. 主视图C. 左视图D. 俯视图
【答案】D
【解析】根据原图画出三视图如图所示：
∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形，
∴ 俯视图为中心对称图形，
故选：D．
6. 如图，数轴上的点A所表示的数为，则-10的立方根为（ ）
A. -8B. 2C. 8D. -2
【答案】D
【解析】读图可得：点A表示的数为﹣，
即x＝﹣；
则x2﹣10＝2﹣10＝﹣8，
则它的立方根为﹣2；
故选：D．
7. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°，
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，
所以劣弧AC的长度为，
故选：B.

8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】B
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
，
实数的最小整数值为，
故选：B．
9. 如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种，
∴小灯泡发光的概率为，
故选：．
10. 已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵平面直角坐标系内，两个点关于x轴对称时，横坐标不变、纵坐标互为相反数，
∴点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点为（a，a﹣2），
∵对称点在第四象限，
∴，
解得：0＜a＜2，
故选：B．
11. 综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是（ ）
A. 甲和丙B. 乙和丙C. 甲和乙D. 都正确
【答案】D
【解析】甲：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
乙：根据内错角相等，两直线平行，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形．
丙：先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形．
A、甲、丙都符合矩形的判定定理，少乙，该选项说法错误，不符合题意；
B、乙、丙都符合矩形的判定定理，少甲，该选项说法错误，不符合题意；
C、甲、乙都符合矩形的判定定理，少丙，该选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙、丙都正确，故该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
12. 如图，两个全等的正六边形的一边重合，点A，B，C为正六边形的顶点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，并延长交的延长线于点F，
根据题意可得A、D、C共线，，，
由∵，
∴，，
设六边形的边长为，则，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选B．
13. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（ ）
小聪：设共有x人，根据题意得：；
小明：设共有x人，根据题意得：
小玲：设共有车y辆，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9
小丽：设共有车y辆，根据题意得：3（y+2）＝2y+9
A. 小聪、小丽B. 小聪、小明
C. 小明、小玲D. 小明、小丽
【答案】C
【解析】设共有x人，车的数量相等，根据题意得：，
设共有车y辆，人的数量相等，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9，
结合选项，小明、小玲的为正确解，符合题意．
故选C．
14. 圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A. 0.324πm2B. 0.288πm2C. 1.08πm2D. 0.72πm2
【答案】D
【解析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．
如图，已知AC⊥OB，BD⊥OB，所以AC//BD，所以△AOC∽△BOC，
所以根据相似三角形的性质可得
即
解得BD=0.9m，
同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，
所以S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72πm2．
故选D．
15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴正半轴有交点，且当时，；当时，，则（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴直线，
∵当时，抛物线在轴下方，
∴当时，抛物线在轴下方，
又∵当时，抛物线在轴上方，
∴当时，，
∴，
∴；
故选：D．
16. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，作的平分线交于点P，由图2知，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
解得或（舍），
，
，
故选C．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17. 已知代数式与的值互为相反数，则的值为____．
【答案】
【解析】∵代数式与互为相反数，
∴，
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
18. 如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则_______，______．
【答案】 7
【解析】由题意可得：，
整理得：，
解得：，
故答案为：；
19. 如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点．
（1）当时，连接，取的中点，则的长为_______．
（2）点之间的距离的最小值为_________．
【答案】
【解析】（1）在正方形中，，，
，
，
，
在中，，
，即，
在中，是斜边上的中线，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
；
（2）由（1）知，且，
点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示：
由三角形三边关系可知，在中，，
当三点共线时，点之间的距离的最小值为，
在中，，，则由勾股定理得到，；
故答案为：；．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题．
在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：．
（1）填空： _______， _________．
（2）求的值．
（3）按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由．
解：（1）依题意，，；
故答案为：1；
（2）依题意，；
；
∴；
（3）第1行第2个数字为
第2行第2个数字为
第3行第2个数字为
以此类推
第n行第2个数字为
这个数字能为19
令，解得，
故n 的值为9
21. 已知，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
A． ；B．
（1）若抽中的卡片是A．
①求整式C；
②当时，求整式C的值．
（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
解：（1）①∵-A+B=-x2+9x+1+5x2-x+3
=4x2+8x+4，
∴整式C为：4x2+8x+4；
②当x=-1时，
4x2+8x+4=4×（-1）2+8（-1）+4
=4-8+4
=0；
（2）若抽中的卡片是A时，由（1）知：
整式C为：4x2+8x+4=4（x+1）2，
∵4＞0，（x+1）2≥0，
∴无论x取何值，此时4x2+8x+4是非负数；
若抽中的卡片是B时，
∵-B+A=-5x2+x-3+x2-9x-1
=-4x2-8x-4，
整式C为：-4x2-8x-4=-4（x+1）2，
∵-4＜0，（x+1）2≥0，
∴无论x取何值，此时-4x2-8x-4是非正数；
∴若无论x取何值，整式C值都是非负数，则抽到的是卡片A．
22. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形统计图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是；
第二步：在该问题中，，，，，；
第三步：（棵）．
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵．
解：（1）类型错误，理由如下：
（名），而条形统计图中，类型的人数是3名，故类型错误；
（2）众数为5棵，中位数为5棵．
（3）①第二步．
②（棵）．
（棵）．
故估计这260名学生共植树1378棵．
故答案为（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵．
23. 如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l与y轴交于点A（0 , 2），与一次函数y＝x﹣3的图象l交于点E（m ,﹣5）．
（1）m=__________；
（2）直线l与x轴交于点B，直线l与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积；
（3）如图2，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l或l有交点，直接写出a的取值范围_____________________________
解：（1）∵点E（m，−5）在一次函数y＝x−3图象上，
∴m−3＝−5，
∴m＝−2；
（2）设直线l1的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
∵直线l1过点A（0，2）和E（−2，−5），
∴ ，解得，
∴直线l1的表达式为y＝x＋2，
当y＝x＋2=0时，x=
∴B点坐标为(，0)，C点坐标为（0，−3），
∴S四边形OBEC＝S△OBE＋S△OCE＝××5＋×2×3＝；
（3）当矩形MNPQ的顶点Q在l1上时，a的值为；
矩形MNPQ向右平移，当点N在l1上时，x＋2＝1，解得x＝，即点N（，1），
∴a的值为＋2＝；
矩形MNPQ继续向右平移，当点Q在l2上时，a的值为3，
矩形MNPQ继续向右平移，当点N在l2上时，x−3＝1，解得x＝4，即点N（4，1），
∴a的值为4＋2＝6，
综上所述，当≤a≤或3≤a≤6时，矩形MNPQ与直线l1或l2有交点．
24. 已知所在圆的直径为，圆心为为上一点，相交于为的切线，与的延长线交于．
（1）求度数．
（2）如图1，若点为的中点．
①当时，的长为_________；
②求证：．
（3）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接，如图所示：
∵为直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）①连接，如图所示：
∵为直径，
，
由（1）知是等边三角形，即，
为直径，点为的中点，
，
长为，
故答案为：；
②证明：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
若点为的中点，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：
连接并延长，交于点，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
25. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m．
（1）求a的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值；
（3）该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度．
解：（1）对于 当时,
∴当 时, 解得 ；
（2）， ，

由抛物线的对称性可知，当时,最大,
最大值为，
答：飞行高度的最大值为．
（3）当最小时，由题意知，，
当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为，
令即
解得，
，
∴的最小值为
26. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，延长到点M，使得，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设运动时间为t秒．连接，过点E作 (点F在右侧)，且．
（1）当t=________时，点F恰好落在矩形的边上．
（2）在点P运动过程中，点F到直线的距离是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
（3）连接，作点E关于的对称点，当点恰好落在矩形的边上时，求t的值．
（4）连接，请直接写出在点P运动过程中的最大值．
解：（1）点F落在边上时，如图.
∵是矩形，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
当点F落在边上时，如图
同理可得，
∴，
∴，
∴，
综上可知，当或时，点F恰好落在矩形的边上；
（2）是定值.
如图，过点F作，垂足为G.
∵，
∴.
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故点F到直线的距离为1
（3）分两种情况讨论.
①当点落在边上时，如图(5)，，
∴，
根据折叠的性质可知，，
在中，根据勾股定理，得，
即
∴，
②当点落在边上时，如图(6)，.
分别过点F，P 作，，垂足分别为R，S， 则.
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴
又,
∴，
∴，
∴，
又，
∴.
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上可知，当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或
（4）设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 则，
∵， ，
∴，
∴．