2023-2024学年重庆市荣昌区荣昌中学高二上学期12月月考数学试题含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为
A. 30°B. 45°C. 135°D. 150°
2. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是（ ）
A.
B. (x-2)2+(y-1)2=1
C. (x-1)2+(y-3)2=1
D.
3. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，是坐标原点．若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
7. 设抛物线上一点到轴距离为，点为圆任一点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
8. 双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知向量组是空间一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若，则是钝角
10. 已知直线：，圆：，则（ ）
A. 直线恒过定点B. 直线与圆相交
C. 圆被轴截得的弦长为D. 当圆被直线截得的弦最短时，
11. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 为中点
12. 已知正方体的棱长为，点满足,其中，为棱的中点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若平面，则点的轨迹的长度为
B. 当时，的面积为定值
C. 当时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，存在点使得平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点P 到坐标原点O的距离_____________．
14. 已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为______.
15. 已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则_____．
16. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的平分线所在的直线的方程为．
（1）求AB的中垂线方程；
（2）求AC的直线方程．
18. 已知点，，，是圆上的动点．
（1）求面积的最小值；
（2）求线段的中点的轨迹方程．
19. 已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
（1）求的方程；
（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
20. 如图，已知与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.

（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21. 已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
22. 已知，分别是椭圆的左顶点与左焦点，，是上关于原点对称的两点，，．
（1）求方程；