四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期9月诊断性评价 数学试题

这是一份四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期9月诊断性评价 数学试题，共9页。试卷主要包含了已知集合，则，命题“”的否定是，设，则“”是“”的，函数的最小正周期是，已知函数则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟：总分：150分）
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若复数满足，其中为虚数为单位，则（ ）
A. B.
C. D.
5.设.若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. D.
6.函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数则下列结论正确的是（ ）
A.是偶函数 B.是增函数
C.是周期函数 D.的值域为
8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要.求全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有错选的得0分.
9.已知变量之间的经验回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A.变量之间呈负相关
B.
C.可以预测，当时，约为2.6
D.由表格数据知，该经验回归直线必过点
10.已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列，则（ ）
A.
B.
C.当时，是的最大值
D.当时，是的最小值
11.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的定义域是__________.
13.的展开式中，的系数是__________.（用数字填写答案）
14.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为__________.
四､解答题：本大题有5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
16.（15分）在四棱锥中，底面.
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
17.（15分）某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图所示的是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”
（1）根据已知条件完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，均值和方差.
附：，其中.
18.（17分）已知椭圆.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
19.（17分）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.
（1）求常数；
（2）求的单调区间；
（3）设，其中是的导数.证明：对任意的.
9月诊断性评价试题数学参考答案
一､单项选择题：
1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.B 7.D. 8.C
二､多项选择题：
9.ACD 10.ACD 11.ABD
11.对于A，，当且仅当时，
等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确：
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
三､填空题：
12. 13.
14.8
14.【解析】双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点不妨设为在第一象限，在第四象限.联立，解得
故，联立，解得，故
面积为：双曲线
其焦距为，当且仅当取等号
的焦距的最小值8
四､解答题：本大题有5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解（1）依题意，得，解得，即，
当时，解不等式，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，
解不等式，得，即，
因为“”是“”成立的充分不必要条件，则有，
于是得或解得或，即有，
所以正实数的取值范围是.
16.（1）证明在四边形中，作于点于点，如图.
因为，所以四边形为等腰梯形，
所以，故，
所以，所以.
因为平面平面，所以，又，
平面，
所以平面.又因为平面，所以.
（2）解由（1）知，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
则.
设平面的法向量为，
则即可取，
则.
所以与平面所成角的正弦值为.
17.解（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：
零假设为：“体育迷”与性别无关.将列联表中的数据代入公式计算，得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“体育迷”与性别无关.（2）由频率分布直方图，知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知，从而的分布列为
.
18.解：（1）由题意椭圆的标准方程为，所以，从而，所以.
（2）直线与圆相切，证明如下：设点，其中，
因为，所以，即，解得，
当时，，代入椭圆的方程得，此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，又，
故.
故此直线与圆相切.
19.解：（1）由可得，而，即，解得；
（2），令可得，
当时，；当时，.
于是在区间内为增函数；在内为减函数.
（3）
因此对任意的等价于
设，所以
因此时，时，
所以，故.
设，则，
，即
，对任意的6
8
10
12
6
3
2
性别
“体育迷”情况
合计
非体育迷
体育迷
男
女
10
55
合计
0.05
0.01
3.841
6.635
性别
“体育迷”情况
合计
非体育迷
体育迷
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
0
1
2
3