四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期11月诊断性评价数学试题

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7．B【详解】，
即，又，解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即当且仅当时取等号，则周长的最大值是，
8．C【详解】有四个不同的零点，
即和有四个交点，它们的横坐标分别为，
画出函数和的图像，根据图像可知，
和是和的交点横坐标，即方程的两根，
所以，是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，故有，得到，由，可得
，令，
令，则在上单调递减，所以，，
故，即所求式子的取值范围是.
10．BCD【详解】由图象可知：，周期，∴；
由，所以，解得，
由可得，故函数．
对于A：，故A错误；
对于B：当时，，因为在上，正弦函数单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，
即直线是的一条对称轴，故C正确；
对于D：向右平移个单位得，故D正确，
11．ACD【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，当时，令，则，
由，得到，由，得到，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在时取最小值，即，
所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；
对于选项B，设与切于点，与切于点
则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，
令，则，易知在上恒小于0，
当时，令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，，
所以在上有使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，且
当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误，
对于选项C，令，所以，令，则，所以在上单调递减，又，
所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故选项C正确，
对于选项D，，则，当时，时，，所以，即，当且仅当时取等号，
令，则在区间上恒成立，
又，所以，当且仅当时取等号，
又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方，
所以，且等号不能同时取到，故选项D正确.
12． 13．
14． 【详解】由，设，显然该函数在上单调递增，则，
于是由题意知，有两个根，因,则故与有两个交点.
由，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即时，取得极大值为，且当时，，当时，，作出函数的简图.
由图可得，要使有两个根，需使，解得.
故答案为：.
15．（1），
令，解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
（2）由题可得，又，∴，即，又，所以的外接圆直径，所以，的外接圆面积．
16．（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05
（2）经常进行体育活动者的频率为，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，随机变量的所有取值为0，1，2，3，4，由题意得，
所以，，
，，
，，
的分布列为：
的数学期望为，的方差为17．（1）证明：在中，因为，，
所以由余弦定理得，，所以，
所以，即，在直四棱柱中，平面，平面，所以，因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为，，两两相互垂直，所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，，
所以有，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，解得，因为，，
设直线与平面所成角为，且，
所以，从而，
所以．所以直线与平面所成角的正切值为．
18（1）焦点，∵，∴
抛物线E的标准方程为
（2）显然．直线斜率存在，设的方程为
由，化简得：，
设，则，∴ ①
直线的方程为，
由化简得：，
设则 ②
由①②得，∴ ③
（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，∴的方程为．
（ⅱ）若直线有斜率，为，
直线的方程为，即，
将③代入得，∴，
故直线有斜率时过点．
由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点．
（3）
由（2）得，
，∴，且，
设，
∵，且，∴∴，
故的取值范围是．
19．（1）假设存在两个不同的数，满足题意，
易知，由题意可得，
即，，，，，
又，所以.因为，即，
化简可得，又，所以，代入，
可得或，所以为“切合函数”.
（2）由题意知，因为为“切合函数”，
故存在不同的数(不妨设)使得，
即，整理得，
（ⅰ）先证，即，，
令，则由，知，要证，只需证，
即，设，
易知，故在单调递减，所以，
故有，由上面的式知,所以
（ⅱ）由上面的得，
，又，所以且，
故要证， 只需证，
即，设，
则即证，
设，则，
即也就是在单调递增，
，所以在单调递增，
所以，因为，
所以，所以，所以原不等式成立.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
D
C
B
C
AD
BCD
题号
11









答案
ACD









课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
合计
男
40
20
60
女
50
10
60
合计
90
30
120
0
1
2
3
4