广东省惠州市2024-2025学年高三第二次调研考试（期中）数学试题

这是一份广东省惠州市2024-2025学年高三第二次调研考试（期中）数学试题，共20页。试卷主要包含了10， 已知向量满足等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，时间120分钟.
2024.10
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，结合交集概念即可求解.
【详解】因为合，，
所以.
故选：B.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】求出，再求可得答案.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C.
3. 已知等差数列前9项的和为27，，则
A. 100B. 99C. 98D. 97
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由已知，所以故选C.
【考点】等差数列及其运算
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
4. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正方体的结构特征找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】连接，在正方体中，平面，
棱的中点为，则平面，
而平面，故，
则即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为2，则，
则，
故，
故选：C
5. 已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】由，得，即，
由已知得，所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
6. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案.
【详解】若函数在上单调递增，则，解得，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值.
【详解】
设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示．
易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得，
因为与圆弧相切于点，所以，
在中，，
又，所以，
由对称性知，，则，
所以，
故选：D.
8. 在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（ ）
A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生
C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生
【答案】C
【解析】
【分析】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；
根据题意可知：，
根据同向不等式可加的性质有：，
即，所以理科女生多于文科男生，
故C正确，其他选项没有足够证据论证.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：.则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A. 极差是4
B. 众数小于平均数
C. 方差是2
D. 数据的第80百分位数为4.5
【答案】AD
【解析】
【分析】根据极差、众数、平均数、方差、百分位数的定义求解判断选项即可.
【详解】数据从小到大排列为：.
A项，该组数据的极差为，故A正确；
B项，众数为3，平均数为，
所以众数与平均数相等，故B错误；
C项，方差为，
故C错误；
D项，由，是整数，
则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，
即，故D正确.
故选：AD.
10. 函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 函数是奇函数
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图象可以得到，求出的解析式，可判断A，B，由奇偶函数的判断方法可以判断C，由平移变化和诱导公式可以判断D.
【详解】由图象可知：，则；
又，故，又，所以，所以A项正确；
，由五点作图法可知：，解得：，所以B项正确；
因此可得，则，
设，
则，
所以函数是偶函数，故C项错误；
由，所以D项正确；
故选：ABD.
11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ）
A. 点和−1,1均在上
B. 点的纵坐标的最大值为
C. OP的最大值与最小值之和为3
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.
【详解】令，得出，则
对于A：时，得或，
时，得，所以和均在L上，A选项正确；
对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以，
，
所以时，最大，最大值为，B选项正确；
对于C：，
因为曲线关于y轴对称，当时，设，
所以
，
因为可取任意角，
所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误；
对于D：等价为点在椭圆内，
即满足，即，
整理得，即恒成立，故D选项正确.
故选：ABD.
点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的二项展开式中，各项的系数和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接令即可求出二项展开式各项的系数和.
【详解】令，则二项式展开式各项的系数和为.
故答案为：
13. 椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________
【答案】
【解析】
【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.
14. 若关于的方程有实根，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可.
【详解】设方程的实根为，则，
所以，即.
设点，则点在直线上.
设点O0,0到直线的距离为，则，
设，则，
所以，
当，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
则，又，由几何意义可知，
所以.
检验：当时，，
由，解得，此时；
由，解得，此时.
所以最小值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.
（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.
【小问1详解】
因为：，所以切点坐标为：，
又，，即为所求切线的斜率.
所以切线方程为：，化简得：
【小问2详解】
，（）
由f′x>0；由f′x