2023-2024学年广东省惠州市第一中学高一上学期第二次阶段考试（期中）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市第一中学高一上学期第二次阶段考试（期中）数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形能表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，一个对应两个值，不满足函数的定义；
对于B选项，对于定义内每一个，都有唯一的与之对应，满足函数的定义；
对于C选项，存在一个，有无数个与之对应，不满足函数的定义；
对于D选项，当时，有两个与之对应，不满足函数的定义.
故选：B.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先解不等式，再用集合法判断.
【详解】由解得：
记
∵,∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：
(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
(2)若p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；
(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．
3．已知集合，（），若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出集合和集合，再由进行求解.
【详解】由已知，集合即函数的定义域，
由不等式，即，解得，
∴，
集合即函数的值域，因为指数函数的值域为，所以函数的值域为，
∴，
∵，
∴的取值范围是.
故选：D.
4．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A．妈妈B．爸爸C．一样D．不确定
【答案】B
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.
【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B
5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数型复合函数的单调性与定义域，结合二次函数的单调性求解即可.
【详解】函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，且为减函数，
故在区间上恒成立，且对称轴，
故且，则的取值范围是
故选：B
6．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合对数的性质，利用对数函数的单调性判断.
【详解】解：因为，，
所以，
故选：C
7．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】转化为函数在直线上方的图象中有且仅有两个横坐标为整数的点，画出两函数图象，数形结合得到不等式组，求出答案.
【详解】由题意得的解中，有且仅有两个整数，
即函数在直线上方的图象中有且仅有两个横坐标为整数的点，
其中直线恒过点，
如下图所示：
显然当满足时，满足要求，
解得.
故选：A
8．已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得
，求得最大值即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以对于恒成立，
即，整理可得：，
因为，所以，
所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以不等式即不等式，
可得在上恒成立，
所以，
令，则
令，，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，
所以，即得，
所以整数m的最大值为，
故选：B
【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，可转化为或，求的最值即可.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．和g（x）=x表示同一个函数
C．函数的图像关于坐标原点对称
D．函数f（x）满足，则
【答案】AC
【分析】根据函数的相关定义和运算规则逐项分析.
【详解】对于A：由解得或x<－2，
所以函数的定义域为 ，故A正确；
对于B：的定义域为 ，的定义为，定义域不相同，
所以和不是同一个函数，故B错误；
对于C： 由，所以为奇函数，
所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确；
对于D：因为函数f（x）满足，所以，
由解得，故D错误；
故选：AC.
10．已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数是偶函数
D．关于x的不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a的值，判断A，B；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C；分段解不等式可得不等式的解集，判断D.
【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足，
则当时，则，故，则，
同理当时，则，故，则，
综合可知，A正确；B错误.
将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，
则的图象关于y轴对称，故为偶函数，C正确；
当时，，令，解得，故；
当时，，令，解得，故，
综合可得，即不等式的解集为，D正确，
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.
11．若，，则下列不等关系正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】指对互化后求得，对A、C选项可利用不等式及变形判断结论是否正确；
对B选项可用“1”的代换判断结论是否正确；
对D选项：由换底公式得，分别计算与的范围可判断结论是否正确.
【详解】由，，得，，所以，对于A，由不等式得，，
又，，所以A不正确；
对于B，因为，，，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确；
对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C正确；
对于D，因为，，所以，由于，且，因为，所以等号不成立，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：BCD.
12．已知在定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．，
D．方程在的各根之和为-6
【答案】ACD
【分析】由题意可得是以4为周期的周期函数，再由，可判断选项A; 当时,求出可判断选项B；根据题意可得出从而可判断性选项C；作出的示意图，由图象的对称性数形结合可判断选项D.
【详解】由在定义在上的奇函数，则
由，所以，即
则，即是以4为周期的周期函数.
由题意，所以
又，则，所以
所以，故选项A正确.
选项B. 当时，故选项B不正确.
选项C.
所以
当时，均为增函数，则为增函数.
所以在上为增函数，
又为奇函数，且
所以在单调递增，所以，由
所以，所以必存在，使得，故选项C正确.
选项D. 因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，
然后由对称性作出在上的图象，如图所示.
根据对称性可知方程在的各根之和为 ，故选项D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】分两种情况，当时，，当时，即可求解.
【详解】当时，，可得，不成立
当时，，可得或（舍）
所以，
故答案为：.
14．已知定义域为R的函数满足以下两个条件：①对任意实数x、y，恒有；②在R上单调递增.请写出一个同时满足上述两个条件的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据指数运算以及指数函数的单调性写出的一个解析式.
【详解】由，则可知指数函数满足该条件要求，
是上的单调递增函数则指数函数的底数要，
故均满足题意，故答案可以是．
故答案为：（答案不唯一）
15．已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 .
【答案】1
【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为4的周期函数，并求得，，，的值，将所有的式子利用周期进行转化即可求解.
【详解】因为图像关于点对称，所以.
又因为函数是R上的偶函数，
所以，所以，
则.
故函数的周期为4.
所以，又，
所以
.
故答案为：1
16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，
①当时，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，
综合得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集定义即可得解；（2）由命题为真命题可得，列不等式组求解即可.
【详解】（1）由题意
当时，
所以
（2）由题意得，
所以，则
解得．
所以实数的取值范围是.
18．令，.
(1)分别求P和Q；
(2)若，且，求m.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可；
（2）根据指数与对数的互化可得，结合对数的运算性质和换底公式即可得出答案.
【详解】（1）解：
，
，
所以；
（2）由，得，且，
则，
故，
所以.
19．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
(1)求函数的解析式，并画出函数图象；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数无限接近直线但又不与该直线相交得到，得到解析式，画出图象即可.
（2）根据函数的奇偶函数及单调性列出不等式求解即可.
【详解】（1）过原点，故，
故，，
因为，函数无限接近直线但又不与该直线相交，
故且，
所以，，
，函数图象如图所示：
（2）由（1）知，，关于原点对称，，
所以为偶函数，所以，
又时，，可知函数为增函数，
所以由可得，
由单调性得，平方后得，解得，
故不等式的解集为.
20．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：
(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③
(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
（2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到的取值范围，从而得到结果.
【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
函数增长的速度越来越快，
选择③（且）
代入表格中的三个点可得：，解得：
，.
（2）由（1）可知：，
故不等式对恒成立，
对恒成立，
令，则， ，，
在单调递增，则，
.
21．已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)当时，判断函数的单调性，并证明你的结论；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数的定义域为，利用函数单调性证明即可
(2)
【分析】（1）函数的定义域为，利用函数单调性证明即可；
（2）将转化为，构造函数，转化为，即，即，求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时函数在上单调递减，证明如下，
设，则
，
，
，，
所以函数在上单调递减；
（2）可化为，
可化为，
令，可知在R单调递增，所以有，
即，令，可知在上单调递增，
即在上单调递增，，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.
22．已知指数函数,其中,且．
(1)求实数a的值;
(2)已知函数与函数关于点中心对称,且方程有两个不等的实根．
①若,求的取值范围;
②若,求实数的值．
【答案】(1);
(2)① ;②.
【分析】(1)根据指数函数概念,只需,解出a的值,注意a的范围即可;
(2)根据(1)所得出的解析式,由于与函数关于点中心对称,可得,由此可得解析式,根据方程有两个不等的实根,列出等式化简换元,即可得到,为的两个不等实根,由①的条件,可得的两个实根在之间,根据根的分布,列出不等式求出的取值范围即可; 由②的条件,不妨设,根据,,则可得,根据韦达定理,得到关于的等式,化简求值即可.
【详解】（1）解:由题知由于函数,,且为指数函数,
则,
解得或（舍）,
故实数a的值为;
（2）由(1)知,,
由于函数与函数关于点中心对称,
,
,
由于方程有两个不等的实根,
即有两个不等的实根,
化简得可得:,
不妨令,则有,
为的两个不等实根,
,为的两个不等实根
①令,
由于,
,
即区间内有两不等实根,
,
解得:,
的取值范围为;
②不妨设:,,
,
,
由,,
则
,
,解得,
实数m的值为;
故① ;②.
【点睛】关于对称的几个结论:
若函数与函数关于对称,则,
若函数与函数关于对称,则,
若函数关于对称,则,
若函数关于对称,则.
建立平台第年
1
2
3
4
会员个数（千人）
14
20
29
43