山东省实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份山东省实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了11，“”是“直线与直线相互垂直”的等内容，欢迎下载使用。
（选择性必修一检测）
2023.11
说明：本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
第I卷（共60分）
一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）
1.已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
2.“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件
3.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，若与到直线的距离都为2，则满足条件的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知椭圆两焦点为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.双曲线的左焦点关于直线的对称点在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
9.已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
10.若圆与圆的交点为，则（ ）
A.公共弦所在直线方程为
B.线段中垂线方程为
C.公共弦的长为
D.在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆
11.已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，定点，则下列结论正确的有（ ）
A.的周长为6 B.的最大面积为
C.存在点使得 D.的最大值为5
12.如图，棱长为3的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是1和2.下列说法正确的有（ ）
A.点到平面的距离是3
B.点到平面的距离是4
C.正方体底面与平面夹角的余弦值是
D.在平面内射影与所成角的余弦值为
第II卷（非选择题，共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为__________.
14.若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________.
15.把正方形沿对角线折成的二面角，分别是的中点，是原正方形的中心，则的余弦值为__________.
16.如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18.（12分）已知圆的圆心在轴上，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
19.（12分）圆，直线.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若，过直线上一点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值及此时点的坐标，
20.（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程.
21.（12分）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，为线段上一个动点.
（1）若为线段的中点，求到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
22.（12分）已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.若，求证：直线经过定点.
山东省实验中学2023~2024学年第一学期期中
高二数学试题评分标准2023.11
一､单选题
1.A 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.C 8.D
二､多选题
9.AD 10.AD 11.ABD 12.ACD
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14.或 15. 16.
四､解答题
17.解：（1），
，
.
可设，
，
，解得.
实数的值为2.
（2），
，
，
解得.
18.解：（1）设的中点为，则
由圆的性质得，
所以，得.
所以线段的垂直平分线方程是.
设圆的标准方程为，其中，半径为.
由圆的性质，圆心在直线上，化简得.
所以圆心.
所以圆的标准方程为；
（2）由（1）设为中点，则，得.
圆心到直线的距离.
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，即；
综上直线的方程为或.
19.解：（1）由已知，圆心到直线的距离等于半径，
即.
解得：或
（2）当时，直线的方程为，
四边形的面积
为直角三角形，
当最小时，切线长最短，显然当时，
.
四边形的面积最小值为.
此时，，
直线，即
由，解得，即.
20.解：（1），
所以，
椭圆标准方程为，
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，
则，则，
分别代入椭圆的方程，两式相减可得，
，
，
点为中点的弦所在直线方程为，
整理，得：.
21.解：（1）连，因为，所以，
即有，所以，
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则
因为为的中点，所以
设平面的一个法向量为，
则，
取得，
，
所以点到平面的距离为：；
（2）设，
，
设平面的一个法向量为，则，
取，得
，
所以
，
当时，取最大值
22.解：（1）椭圆的右焦点为，且经过点.
可得，
则椭圆方程为；
（2）证明：与椭圆方程联立，可得，
设，
，
的方程为，令，可得，即；
的方程为，令，可得.即.
，
，即为，
即有，由，解得，满足，
即有直线方程为，恒过原点.