广东省东莞实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份广东省东莞实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
出题：温沛银 审题：贺晶 2023.11.6
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．经过，两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A． B． C．-3D．3
2．若两条不同的直线：与直线：平行，则a的值为（ ）
A．-1B．1C．-1或1D．0
3．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．圆C：被过点的直线截得的最短弦长为（ ）
A．2B．4C． D．
6．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l．若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量。假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆(如图中虚线所示)，我们把飞行轨近地距道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地地球距离。设地球半径为R，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地离远地距离距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知定点，，若在圆M：上存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的最大值是（ ）
A．15B．25C．35D．45
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知M是椭圆C：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．椭圆的短轴长为4D．的面积的最大值是4
10．已知直线l过原点，且，两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（ ）
A． B． C． D．
11．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为90°B．直线与所成的角为90°
C．直线与平面所成的角为45°D．直线与平面ABCD所成的角为45°
12．已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8
C．当∠APB最大时，D．当∠APB最大时，直线AB的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点B，则______．
14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为l，小明分别在水平面和斜坡面选取A，B两点，且，A到直线l的距离，B到直线l的距离，，则斜坡面与水平面所成角的大小为______．
15．已知实数x，y满足方程，则的最大值为______．
16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是______．（填写序号）
①曲线C围成的图形的周长是；
②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；
③曲线C围成的图形的面积是；
④若是曲线C上任意一点，则的最小值是．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线l过点．
（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程;
（2）若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程．
18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且．
（1）求证：；
（2）当时，求点A到平面的距离．
19．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P为C上一点，且，求的面积．
20．已知圆：和圆：．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长；
（2）求经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
21．已知圆C的方程为：．
（1）试求m的值，使圆C的周长最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点的直线方程．
22．如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：平面PDC；
（2）已知，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
东莞实验中学2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学答案
1-8 DBAB CBDD 9．BCD 10．AC 11．ABD 12．AD
13． 14． 15．1 16．①③④
17．（1）因为直线l与直线垂直，
所以可设直线l的方程为，
因为直线l过点，所以，解得，
所以直线l的方程为．
（2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即．
当直线l不过原点时，设直线l的方程为，
把点代入方程得，所以直线l的方程是．
综上，所求直线l的方程为或．
18．（1）证明：如图，以BC为x轴，BA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
故，所以；
（2）当时，，，，，
则，，，
设是平面的法向量，则
由，解得，取，得，
设点A到平面的距离为d，则，
所以点A到平面的距离为．
19．（1）解：设椭圆C的焦距为2c，因为，可得，所以，
则，，
由圆的定义可得，所以，
故椭圆C的标准方程为．
（2）解：由，可得，
又由椭圆的定义，可得，
平方得，即，
解得，所以的面积．
20．（1）设两圆交点为，，
则A，B两点坐标是方程组的解．
①-②，得
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆的圆心，，到直线AB的距离为，
∴，即两圆的公共弦长为
（2）（方法1）解方程组得两圆的交点，
设所求圆的圆心为，因圆心在直线上，故．
则，
解得，故圆心为，半径为．
故圆的方程为，即
（方法2）设所求圆的方程为，
其心为，代入，解得
故所求圆的方程为．
21．（1），
配方得：，
当时，圆C的半径有最小值2，此时圆的周长最小．
（2）由（1）得，，圆的方程为：．
当直线与x轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与x轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即．
综上，直线方程为或．
22．（1）证明：在正方形ABCD中，，因为平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，又因为平面PAD，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面ABCD是正方形，
所以，∴，且平面ABCD，所以，∴，
因为，所以平面PDC．
（2）因为DP，DA，DC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，， ，，，
设，则有，，，
设平面QCD的法向量为，则，即，
令，则，所以平面QCD的一个法向量为，
则，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于
，
当且仅当时取等号，所以直线PB与平面2CD所成角的正弦值的最大值为．