内蒙古自治区赤峰市第二实验中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再利用并集的运算即可求解.
【详解】集合，
则，
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先进行复数除法运算化简求解，再求复数的共轭复数，然后进行加减运算可得.
【详解】，
则，所以.
故选：C.
3. 已知平面向量，，若，则实数（ ）
A. -1B. -2C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为，，
所以，，
因为，
所以，
解得.
故选：D
4. 已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
【详解】由可设的公比为，
等比数列的前三项和为84，，
，解得，
故选：B.
5. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.
【详解】因为，
又，即，则，
所以，
故.
故选：D
6. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到函数的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且，
则在上单调递减，且，，
所以当时，，
当时，，
所以由可得：
或或，
解得或或，即或，
所以满足的的取值范围是.
故选：D.
7. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化命题为不等式恒成立问题，利用分离参数法求的范围，再由包含关系可得.
【详解】命题“，”为假命题命题“，”为真命题.
所以关于的不等式在恒成立，
则，
令，则，
所以的值域为，
要使恒成立，则.
所以命题“，”为假命题的充要条件为，即.
选项A，，故不是的充分条件；
选项B，是的充要条件；
选项C，由可知，是一个充分不必要条件；
选项D，，故不是的充分条件；
故选：C.
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，根据双曲线的定义，可得和，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于，的关系，可得双曲线的离心率.
【详解】如图：设，则，
根据双曲线的定义，可得，，
因为，所以，
所以
由，
代入可得
故选：B
【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值域是B. 图象的对称中心为
C. D. 的值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】分离常数法，利用反比例函数图象的平移变换可得AB项，由对称性可得C项，由换元法可求复合函数值域得D项.
【详解】，
函数的图象可看作函数向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，
由函数对称中心为，且值域为，
故函数的值域为，对称中心为，
所以A项错误；B项正确；
C项，由的图象关于中心对称，则，
故，故C正确
D项，令，由，则，
由，则.
因为在单调递减，故的值域为.
所以的值域是，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知，，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最小值为2D. 的最大值为4
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式求解出最值，检验即可判断各项.
【详解】对于A项，因为，，，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
所以，故A正确；
对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为4，故D不正确.
故选：AC.
11. 已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是周期为4的奇函数B. 图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由赋值法可得y=fx是定义在R上的奇函数，则f-x=-fx，结合fx+2=-fx可得函数y=fx的图象关于直线对称，且是以4为周期的周期函数，从而可判断AB选项，由条件，可得y=fx在-1,0上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断CD选项.
【详解】任意，有，
令，则，解得，
任意x∈R，令，则，
即，所以是奇函数，则的图象关于原点对称；
又fx+2=-fx=f-x，则函数y=fx的图象关于直线对称；
又fx+2=-fx，则fx+4=-fx+2=fx，
所以函数y=fx为周期函数，4为函数y=fx的一个周期，
故A正确，B正确；
C项，对任意，都有，
故在-1,0单调递增，又图象关于原点对称，
则在0,1单调递增，又的图象关于直线对称，
则在1,2单调递减，故C错误；
D项，由的周期为4，且的图象关于直线对称，
则，故D正确：
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.
【详解】由的展开式的通项得：，
令，得，故．
故答案：.
13. 甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有__________.
【答案】18
【解析】
【分析】按照分步计数原理并利用平均分组后再分配的计算方法求解可得.
【详解】根据题意，安排6位同学到社区参加义务劳动可分成两步：
第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙一组，其余4位同学平均分组，
则有种分组方法；
第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况；
则由分步计数原理可得，
甲、乙到同一社区的不同安排方案共有种不同的安排方法.
故答案为：18.
14. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据直三棱柱及条件，建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线线角即得.
【详解】在直三棱柱中，.
如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，，
得，
，
因此，
由异面直线与所成角范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【小问1详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
【小问2详解】
由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
16. 如图，在三棱锥中，平面，．

（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【小问1详解】
因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数在的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时, ，，求出，，即可写出点处的切线方程.
（2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调区间.
（3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可.
【小问1详解】
当时, ，所以.
得，点处的切线斜率为，
所以函数的图像在点处的切线方程为：，
即：.
【小问2详解】
由得，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增.
综上所述，
当时， 在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
小问3详解】
由（2）可知，当时，
的最小值.
要证，
只需证
只需证
设.
则，令得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增.
所以在处取最小值，且，
所以得证，
即得证.
18. 已知数列中，，，.设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的前项的和为，求.
（3）设，设数列的前项和，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，变形为，根据，代入即可证明结论.
（2）由（1）可得，利用时，，可得，利用求和公式即可得出数列的前项的和为.
（3），利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.
【小问1详解】
，
，
，，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
【小问2详解】
由（1）可得，
时，，
时也成立.
，
，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
数列的前项的和为.
【小问3详解】
，
数列的前项和，
.
19. 随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．
（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；
（3）已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程．
参考数据：，．
参考公式：，，．
【答案】（1）表格见解析，有
（2）分布列见解析，
（3）．
【解析】
【分析】（1）由频数分布表直接填写即可；结合公式可判断相关性；
（2）由频数分布表可判断支持态度的人数符合，结合二项分布的概率公式可求X的分布列以及数学期望；
（3）先求出，再由求出，再由求出，进而求出线性回归方程.
【小问1详解】
完成列联表如下：
故本次实验中的观测值，
故有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
【小问2详解】
依题意，，
故，，
，，
；
故X的分布列为：
故；
【小问3详解】
依题意，，，由得，
，
所以．
故y关于x的线性回归方程是．
年龄
频数
30
75
105
60
30
持支持态度
24
66
90
42
18
年龄在50周岁以上（含50周岁）
年龄在50周岁以下
总计
持支持态度
不持支持态度
总计
i
1
2
3
4
5
6
7
第天
2
4
8
12
22
26
38
使用人数
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年龄在50周岁以上（含50周岁）
年龄在50周岁以下
总计
持支持态度
60
180
240
不持支持态度
30
30
60
总计
90
210
300
X
0
1
2
3
4
P