内蒙古自治区赤峰市部分学校2024-2025学年高三上学期9月联考 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区赤峰市部分学校2024-2025学年高三上学期9月联考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则“”是“”的，每年3月21日是世界睡眠日，已知函数恰有一个零点，则，下列结论错误的有等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质，指数函数与对数函数，一元函数的导数及其应用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定为
A.，B.，C.，D.，
2.满足的集合的个数为
A.8B.7C.6D.4
3.已知，，，则
A.B.C.D.
4.已知函数，则
A.有最小值1，无最大值B.有最大值1，无最小值C.有最小值0，无最大值D.有最大值0，无最小值
5.已知，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率的关系如下表：
已知青少年羽毛球运动后的心率与运动时间（单位：分钟）满足关系式，其中为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（参考数据：）
A.35分钟B.41分钟C.52分钟D.62分钟
7.已知函数恰有一个零点，则
A.－2B.－1C.0D.1
8.已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论错误的有
A.若，则B.若，，则
C.若，则D.若，则
10.已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为
A.B.C.D.
11.对任意，，函数，都满足，则
A.是增函数B.是奇函数
C.的最小值是D.为增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在处的切线方程为________.
13.已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为________.
14.已知，，且，若的最小值为3，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求的取值范围.
16.（15分）
已知正实数，满足.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
17.（15分）
已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
18.（17分）
已知，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围.
19.（17分）
在平面直角坐标系中，定义：若曲线和上分别存在点，关于原点对称，则称点和点为和的一对“关联点”.
（1）若上任意一点的“关联点”为点，求点所在的曲线方程.
（2）若上任意一点的“关联点”为点，求的取值范围.
（3）若和有且仅有两对“关联点”，求实数的取值范围.
高三数学试卷参考答案
1.C 全称量词命题的否定为存在量词命题.
2.A 由题可知，则满足条件的集合有8个.
3.B 因为，，，所以.
4.C 因为，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，无最大值.
5.A 若，则，即.取，，，满足，，不满足.故“”是“”的充分不必要条件.
6.B 由题可知，，则，所以，从而，故运动时间至少约为41分钟.
7.B 为偶函数，其图象关于轴对称.由恰有一个零点，可得，解得，此时，当时，，，则在上无零点，从而恰有一个零点.
8.D .令，易知在上单调递增，.当时，则存在，使得，符合是函数的极大值点；当时，则存在，使得，不符合是函数的极大值点；当时，，不符合是函数的极大值点.综上，的取值范围为.
9.ABD 对于A，当时，，所以A错误；
对于B，若，，，，则，，此时，所以B错误；
对于C，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D，，则，所以D错误.
10.BD 设，因为的图象过点，所以，解得，所以，，故A，C错误，B，D正确.
11.ACD 由题意得恒成立，所以存在常数，使得且.
令，得解得经检验，符合条件.
由，得是增函数且不是奇函数，A正确，B错误.因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，C正确.，D正确.
12. 由，得.当时，，，故曲线在处的切线方程为.
13. 设，则，所以，，，则，故.
由，得.因为在上单调递增，在上单调递减，所以根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间为.
14.8 因为，所以.，当且仅当时，等号成立.故，解得.
15.解：（1）由，得，则.…………1分
因为，所以由，得，则.…………2分
故，，.…………6分
（2）因为，所以.…………7分
若，即，则，符合；…………9分
若，即，则，…………10分
由，可得解得.…………12分
综上所述，的取值范围为.…………13分
16.（1）解：因为，所以…………3分
，…………5分
当且仅当，时，等号成立，…………6分
故的最小值为.…………7分
（2）证明：由，可得，…………9分
则，…………11分
当且仅当时，等号成立，…………12分
则，…………14分
从而.…………15分
17.解：（1）因为，所以，…………3分
则.…………5分
又，…………6分
所以，…………7分
从而.…………8分
（2）由（1）可知，…………9分
显然在上单调递增.…………10分
因为，所以由，可得，…………12分
则，解得或，…………14分
故不等式的解集为.…………15分
18.解：（1）的定义域为，.…………1分
当时，，则在上单调递增；…………3分
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.…………6分
（2）由，可得，即.…………9分
令，易知单调递增.…………10分
由，可得，则，即.…………分
令，则.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，…………15分
则，解得，故的取值范围为.…………17分
19.解：（1）设点，则点的“关联点”为，
将点的坐标代入，得，…………2分
即，所以点所在的曲线方程为.…………4分
（2）设，则根据对称性得.…………5分
因为曲线关于轴对称，当时，设，，，…………7分
所以，…………9分
所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.10分
（3）和有且仅有两对“关联点”等价于曲线和有且仅有两个交点，
即，化简可得.…………11分
令，则.
（i）若，则，由，得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
①当时，，即，则没有零点，不满足题意.
②当时，，只有一个零点，不满足题意.
③当时，，即，
当时，，，
因为，所以，故，
又，所以在上有一个零点.
设，则，单调递增，所以，
则当时，，
又，所以，因此在上有一个零点.
故当时，有两个不同的零点，满足题意.…………14分
（ii）若，则由，得，.
①当时，，当时，；当时，；当时，.所以在和上单调递减，在上单调递增.
又，所以至多有一个零点，不满足题意.
②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意.
③当时，，当时，；当时，；当时，.所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，所以至多有一个零点，不满足题意.
综上，实数的取值范围为.…………17分运动强度等级
运动不足
中等强度
运动过量
运动后的心率