2022-2023学年北京市华中师大一附中朝阳学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市华中师大一附中朝阳学校高二（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线经过原点和点（﹣1，﹣1），则它的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．0°
2．（5分）已知空间向量，，若，则m+n＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交
4．（5分）直线l：y＝x﹣1截圆O：x2+y2＝1所得的弦长是（ ）
A．2B．C．D．1
5．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3＝0的圆心和半径分别为（ ）
A．（4，﹣6），16B．（2，﹣3），4C．（﹣2，3），4D．（2，﹣3），16
6．（5分）“”是“直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）直线kx﹣y+1﹣3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．（3，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（2，1）
8．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）两平行直线3x+2y﹣1＝0与6x+4y+1＝0之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP＝x，则当x∈[1，5]时，函数y＝f（x）的值域为（ ）
A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的标准方程为 ．
12．（5分）过点（0，1）且与直线2x﹣y+3＝0平行的直线方程为 ．
13．（5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用、、的线性组合表示＝ ．
14．（5分）过点P（﹣1，5）的圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的切线方程为 ．
15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
16．（5分）一个正方体的平面展开图如图所示．在该正方体中，以下命题正确的是 .（填序号）
①AF⊥CG；
②EC⊥平面AFG；
③AG与MN是异面直线且夹角为60°；
④BG与平面ABCD所成的角为45°；
⑤二面角G﹣BC﹣D的大小为45°．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知，．
（1）求的值；
（2）当时，求实数k的值．
18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别为A1B1、A1A的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
（1）求BN的模；
（2）求的值；
（3）求证：BN⊥平面C1MN．
19．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长；
（3）求AB边的高所在直线方程．
20．（12分）已知圆C：x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当α＝135°时，求弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（3）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y﹣4＝0的距离的最小值．
21．（12分）已知点A（1，﹣2），B（﹣1，4），求：
（1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
（2）过点A，B且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上的圆的标准方程．
（3）圆C的圆心为C（1，0），且过点．直线l：kx﹣y+2＝0与圆C交M，N两点，且，求k．
22．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝2，OP＝1．
（1）求二面角C﹣AP﹣B的大小；
（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
2022-2023学年北京市华中师大一附中朝阳学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择
1．（5分）直线经过原点和点（﹣1，﹣1），则它的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．0°
【分析】先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数．
【解答】解：设过原点（0，0）和点（﹣1，﹣1）的直线方程的斜率为k，且该直线的倾斜角为α，
由题意可知：tanα＝k＝＝1，又α∈（0，180°），
则α＝45°．
故选：A．
【点评】此题考查学生会根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角的关系，是一道基础题．
2．（5分）已知空间向量，，若，则m+n＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据已知条件，结合空间向量平行的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，，
∴，解得m＝，n＝，
∴m+n＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量平行的性质，属于基础题．
3．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交
【分析】判断与的位置关系，进而可得出结论．
【解答】解：∵，，
∴由已知可得，则，因此，l⊥α．
故选：B．
【点评】本题考查方向向量与法向量的关系，属于基础题．
4．（5分）直线l：y＝x﹣1截圆O：x2+y2＝1所得的弦长是（ ）
A．2B．C．D．1
【分析】利用圆的圆心到直线的距离，结合圆的半径，求解半弦长即可．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1到直线l：y＝x﹣1的距离为：＝，圆的半径为1，
所以，直线l：y＝x﹣1截圆O：x2+y2＝1所得的弦长是：2＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
5．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3＝0的圆心和半径分别为（ ）
A．（4，﹣6），16B．（2，﹣3），4C．（﹣2，3），4D．（2，﹣3），16
【分析】根据已知条件，结合配方法，即可求解．
【解答】解：圆x2+y2+4x﹣6y﹣3＝0，即（x+2）2+（y﹣3）2＝16，
故圆的半径为（﹣2，3），半径为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
6．（5分）“”是“直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两直线平行时，两直线的方向向量共线，且在x轴上的截距不相等，解方程求a的值，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由1•（﹣a）﹣2a（3a﹣1）＝0，且1•（﹣1）﹣（3a﹣1）•（﹣1）≠0，
解得a＝0或a＝，
故是直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查两直线平行的性质，考查充分必要条件，是一道基础题．
7．（5分）直线kx﹣y+1﹣3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．（3，1）B．（0，1）C．（0，0）D．（2，1）
【分析】直线方程转化为：（x﹣3）k﹣y+1＝0，然后令，解方程即可求解．
【解答】解：直线方程转化为：（x﹣3）k﹣y+1＝0，
令，解得x＝3，y＝1，
所以直线过定点（3，1），
故选：A．
【点评】本题考查了直线过定点的问题，考查了学生的理解转化能力，属于基础题．
8．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解．
【解答】解：
＝
＝1+1+4+2×1×2×cs60°+2×1×2×cs60°
＝10，
所以，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
9．（5分）两平行直线3x+2y﹣1＝0与6x+4y+1＝0之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】运用两平行直线间的距离公式即可得解．
【解答】解：将直线3x+2y﹣1＝0化为6x+4y﹣2＝0，
则这两条平行直线间的距离为＝．
故选：D．
【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP＝x，则当x∈[1，5]时，函数y＝f（x）的值域为（ ）
A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]
【分析】求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x＝1或5时，三角形的周长最小；x＝2或4时，三角形的周长最大，从而可得结论．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
∴正方体的对角线长为6，
∵x∈[1，5]，
∴x＝1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，
∴t＝，∴ymin＝；
x＝2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴ymax＝6．
∴当x∈[1，5]时，函数y＝f（x）的值域为[3，6]．
故选：D．
【点评】本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的标准方程为 x2+y2＝5 ．
【分析】根据已知条件，求出圆的半径，写出圆的标准方程．
【解答】解：由已知得，圆的半径，
所以该圆的标准方程为x2+y2＝5．
故答案为：x2+y2＝5．
【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
12．（5分）过点（0，1）且与直线2x﹣y+3＝0平行的直线方程为 2x﹣y+1＝0 ．
【分析】根据题意，设要求直线的方程为2x﹣y+m＝0，将点（0，1）的坐标代入，计算可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，要求直线与直线2x﹣y+3＝0平行，设要求直线的方程为2x﹣y+m＝0，
又由要求直线过点（0，1），则有﹣1+m＝0，即m＝1，
即要求直线的方程为2x﹣y+1＝0；
故答案为：2x﹣y+1＝0．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线平行的性质，注意设出要求直线的方程，属于基础题．
13．（5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用、、的线性组合表示＝ ．
【分析】先求出，再由求解即可．
【解答】解：在△ABC中，因为E是BC的中点，
所以，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量基本定理，属于基础题．
14．（5分）过点P（﹣1，5）的圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的切线方程为 x＝﹣1或5x+12y﹣55＝0 ．
【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．
【解答】解：已知圆心坐标为（1，2），半径为2，易知直线x＝﹣1是圆的切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣5＝k（x+1），即kx﹣y+k+5＝0，
由＝2，解得k＝﹣，切线方程为y﹣5＝﹣（x+1），即5x+12y﹣55＝0．
故答案为：x＝﹣1或5x+12y﹣55＝0．
【点评】本题考查圆的切线方程，属于基础题．
15．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 ．
【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上一点D1到B1为终点的向量．
【解答】解：以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则点E（0，2，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），B1（1，4，2），
从而＝（1，0，﹣2），＝（﹣1，2，0），＝（1，4，0），
设平面AD1E的法向量为 ＝（x，y，z），由可得，
令 ＝（2，1，1），
所以点B1到平面AD1E的距离为：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量法求点到平面的距离．属于立体几何的常规题，中档题．
16．（5分）一个正方体的平面展开图如图所示．在该正方体中，以下命题正确的是 ①②③⑤ .（填序号）
①AF⊥CG；
②EC⊥平面AFG；
③AG与MN是异面直线且夹角为60°；
④BG与平面ABCD所成的角为45°；
⑤二面角G﹣BC﹣D的大小为45°．
【分析】由正方体的平面展开图可得正方体ABCD﹣EFNG，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【解答】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD﹣EFNG（其中E与M重合），
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
G（0，0，1），E（1，0，1），N（0，1，1），F（1，1，1），M（1，0，1），
∴，，∴，∴AF⊥CG，∴①正确；
∵，，
∴，，∴AF⊥CE，AG⊥CE，又AF∩AG＝A，AF，AG⊂平面AFG，
∴EC⊥平面AFG，∴②正确；
∵，显然AG与MN是异面直线，设AG与MN所成角为θ，
则，又，
∴，故③正确；
∵，又平面ABCD的法向量为，
设BG与平面ABCD所成的角为α，
∴，故④错误；
∵，，设平面BCG的法向量为，
则，取，
设二面角G﹣BC﹣D为φ，显然二面角G﹣BC﹣D为锐二面角，
∴，∴φ＝45°，∴⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查向量法证明线线垂直问题，向量法证明线面垂直问题，向量法求解线面角问题，向量法求解二面角问题，属中档题．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知，．
（1）求的值；
（2）当时，求实数k的值．
【分析】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式，即可求解．
（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式，即可求解．
【解答】解：（1）因为，，
故，，
故．
（2），，，
因为，
所以，即，
故14k+6（k2﹣1）﹣9k＝0，即（2k+3）（3k﹣2）＝0，
故或．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别为A1B1、A1A的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
（1）求BN的模；
（2）求的值；
（3）求证：BN⊥平面C1MN．
【分析】建立空间直角坐标系，通过坐标表示出相应的直线，用向量法求解向量的模、数量积，证明向量垂直，转化为线线垂直，得出线面垂直证明线面垂直．
【解答】解：（1）由已知得，CA、CB、CC1三线两两垂直．
以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在的射线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0）．
则N（1，0，1），，），，
所以，．
（2）由（1）可得，，，
所以，，，，
（3）证明：由（1）可得，，，，
所以，，
，
所以BN⊥C1M，BN⊥C1N，
又C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN，
所以，BN⊥平面C1MN．
【点评】本题考查向量的模以及数量积运算和利用向量证明垂直问题，属于中档题．
19．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长；
（3）求AB边的高所在直线方程．
【分析】（1）由题意可得直线AB的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），代入距离公式可得；（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为﹣，可得点斜式方程，化为一般式可得．
【解答】解：（1）由题意可得直线AB的斜率k＝＝6，
故直线的方程为：y﹣5＝6（x+1），
化为一般式可得：6x﹣y+11＝0
（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），
故AM＝＝
（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为﹣，
故方程为y﹣3＝（x﹣4），化为一般式可得x+6y﹣22＝0
【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题．
20．（12分）已知圆C：x2+y2＝8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当α＝135°时，求弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（3）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y﹣4＝0的距离的最小值．
【分析】（1）写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长；
（2）求出圆心与P点连线斜率，从而得直线AB斜率，得直线方程；
（3）求出圆心到直线的距离，得直线与圆位置关系，易得所求最小值．
【解答】解：（1）由题意直线AB的斜率为k＝tan135°＝﹣1，直线方程为y﹣2＝﹣（x+1），即x+y﹣1＝0，
圆心为C（0，0），圆半径为，C到直线AB距离为，
所以；
（2）弦AB被点P平分，则CP⊥AB，又，所以，
直线AB方程为，即x﹣2y+5＝0；
（3）圆心C到直线x+y﹣4＝0的距离为，直线与圆相切，
所以点P到直线x+y﹣4＝0的距离的最小值为0．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知点A（1，﹣2），B（﹣1，4），求：
（1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
（2）过点A，B且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上的圆的标准方程．
（3）圆C的圆心为C（1，0），且过点．直线l：kx﹣y+2＝0与圆C交M，N两点，且，求k．
【分析】（1）AB为圆的直径时，满足题意，此时AB的中点为圆心，|AB|为直径长度，据此，可求得答案．
（2）设出圆的标准方程，然后根据题意，列出相应的方程组，计算即可求解．
（3）设出圆的标准方程，圆的半径设为r，设圆心到直线的距离为d，根据题意，利用弦长，计算即可求出答案．
【解答】解：（1）过点A，B且周长最小的圆，该圆的直径必为AB，设AB的中点为O，
∵A（1，﹣2），B（﹣1，4），得O（0，1），，
故所求的圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝10，
（2）过点A，B且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上的圆，可设圆心O（a，2a﹣4），
则可设圆的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2＝r2，
代入A，B，求得，解得，
∴O（3，2），
故所求的圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝20，
（3）设圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝r2，且过点，代入得r＝1，
直线l：kx﹣y+2＝0与圆C交M，N两点，且，
故设圆心到直线l的距离为d，则，
则，得，
所以，，得2（k+2）2＝1+k2，整理得（k+1）（k+7）＝0，
∴k＝﹣1或k＝﹣7，
故所求直线为：x+y﹣2＝0或7x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝2，OP＝1．
（1）求二面角C﹣AP﹣B的大小；
（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面PAB的法向量，根据线面垂直的性质及判定定理，可证BD⊥平面PAC，则即为平面PAC的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案．
（2）假设存在点Q满足题意，设Q（m，n，0），因为，即可求得Q点坐标，进而可得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，计算可得λ值，即可得答案．
【解答】解：（1）由题意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令x＝1，可得，所以，
因为PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥BD，
又因为AC⊥BD，AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
所以即为平面PAC的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角C﹣AP﹣B为锐二面角，
所以二面角C﹣AP﹣B的大小为；
（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设Q（m，n，0），因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为θ，
所以，
解得或（舍），
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点．
【点评】本题考查二面角，线面角的求法，考查点的位置的确定，属中档题．
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