初中数学浙教版（2024）九年级上册1.1 二次函数课堂检测

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册1.1 二次函数课堂检测，共68页。

题型一：图像法解一元二次不等式
题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围
题型三：根据交点确定不等式的解集
【考点剖析】
题型一：图像法解一元二次不等式
一、单选题
1．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②．B．②③．C．①③．D．①②③．
2．（2022春·浙江绍兴·九年级专题练习）知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，对该函数及其图象，笑笑进行探究，得到了以下结论：①a＝2；②b＝﹣5；③该函数当x≥2时，y随x的增大而增大；④结合图象，可以直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5为x≥．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②③
二、填空题
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）二次函数图像如图所示，当时，的取值范围是______．
4．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．
三、解答题
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系内，二次函数（a为常数）．
(1)若函数y的图象经过点，求函数的表达式．
(2)若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为﹣1，2，请直接写出当时x的取值范围．
(3)已知在函数的图象上，当时，求证：．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数
(1)求出该函数图象的顶点坐标，图象与轴的交点坐标
(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大?
(3)当x在什么范围内时，?
7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示．
(1)求b，c的值；
(2)直接写出该二次函数当时，x的取值范围．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数(，是常数，且)的图象经过点．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若该函数图象还经过点
①求该函数的解析式；
②当时，直接写出的取值范围．
9．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．
(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
(3)已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，已知二次函数的图象过，和三点．
(1)求这个二次函数及直线的函数关系式；
(2)直接写出不等式的解；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
11．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且．抛物线经过点，．
(1)求这条抛物线的解析式，并直接写出当时的取值范围；
(2)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移2个单位，此时点恰好落在线段上，求的值．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知：直线经过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积；
(3)请直接写出不等式的解集．
14．（2022·浙江杭州·统考一模）在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）．
(1)已知函数的图象经过点（1，2）和，求函数的表达式．
(2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
(3)已知点，在函数的图象上，且．当时，求自变量x的取值范围．
题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围
一、单选题
1．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）已知满足，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．
6．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是_______．
三、解答题
7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且当，时，．
(1)求的值；
(2)若，也是该二次函数图象上的两个点，且，求实数的取值范围；
(3)若点不在该二次函数的图象上，求的取值范围．
8．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
获得图象：
计算x与y的几组对应值，列表如下：
(1)如图，在直角坐标系中画出了函数将这个图象补画完整．
探究性质：
(2)根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：
解决问题：
(3)若过定点的直线与函数（）的图象只有一个交点，请结合函数图象求出t的取值范围．
9．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)x与y的几组对应值如下表，其中m=________．
(2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
(3)结合函数图象，解决下列问题：
①解不等式：；
②若直线与函数的图象只有一个的交点，求t的取值范围．
10．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)二次函数的图象开口向______，对称轴为直线______．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)当时，求y的取值范围，
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知二次函数经过点，，且最大值为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
12．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知拋物线．
(1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
(2)若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
题型三：根据交点确定不等式的解集
一、单选题
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如表：
则当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
二、填空题
3．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为_______．
4．（2023秋·浙江杭州·九年级期中）如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点三个点，则不等式的解是____．
三、解答题
5．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
(2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围．
6．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)求此二次函数图象的顶点坐标；
(2)当函数值时，求自变量x的取值范围．
7．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点．
(1)求与的函数关系式；
(2)直接写出当时，的取值范围；
(3)点为一次函数图象上一点，点的横坐标为，若将点向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求的值．
8．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）若二次函数的图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如是的伴随函数．
(1)若函数先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后是的伴随函数，求的值
(2)若函数的伴随函数与轴只有一个交点，求当时，的取值范围．
9．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知抛物线与一次函数有两个交点，且交点的横坐标分别为，．
(1)根据图象直接写出，当时，的取值范围为 ；
(2)将抛物线向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）已知函数（a是常数，且）．
(1)若点在二次函数y的图象上，
①求该函数的表达式和顶点坐标；
②若点和在函数的图象上，且，求的取值范围；
(2)若函数y的图象过和两点，且当时，始终都有，求a的取值范围．
11．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知二次函数，．
(1)若二次函数的图象经过A，C两点，求二次函数的解析式．
(2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由．
(3)若二次函数图象经过点C，设P为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线的下方，求m的取值范围．
12．（2023·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点．
(1)若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值；
(2)对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围．
13．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）平面直角坐标系中有函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，经过与轴的交点以及的顶点．
(1)求和的表达式；
(2)当时，试比较与的大小：
(3)当时，均随着的增大而增大，求实数的最大值．
x
•••
•••
y
•••
•••
x
……
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
……
y
……
5
0
-3
m
-3
0
1
0
-3
……
…
0
1
2
…
…
2
7
…
重难点专项突破02二次函数与不等式（3种题型）
【题型细目表】
题型一：图像法解一元二次不等式
题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围
题型三：根据交点确定不等式的解集
【考点剖析】
题型一：图像法解一元二次不等式
一、单选题
1．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②．B．②③．C．①③．D．①②③．
【答案】A
【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得轴与轴左边的交点为，即可判断B，根据图象可知当或时，原方程有两个实数根，据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，此图像关于轴对称，故①正确；
②对称性可得轴与轴左边的交点为，则不等式即的解集是或，故②正确；
③∵，当时，，顶点坐标为和，且与轴交于点，
∴当或时，方程有两个实数解，
故③不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022春·浙江绍兴·九年级专题练习）知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，对该函数及其图象，笑笑进行探究，得到了以下结论：①a＝2；②b＝﹣5；③该函数当x≥2时，y随x的增大而增大；④结合图象，可以直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5为x≥．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②③
【答案】D
【分析】①②由题意得：，即可求解；
③函数的表达式为，当时，，当时，，根据函数表达式画出函数图象，即可求解；
④观察函数图象即可求解．
【详解】解：由题意得： ，解得，故①②正确；
因此函数的表达式为，
当时，，
当时，；
根据函数表达式画出函数图象如下：
从图象看，当时，随的增大而增大，故③正确；
（3）从图象看两个函数交于点、，
联立和得：，解得（负值已舍去），
即点 的横坐标为，
从函数图象看，不等式的解集为或，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式，正确画出函数图象是本题解题的关键．
二、填空题
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）二次函数图像如图所示，当时，的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用抛物线与x轴的两个交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（，0），与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点和图像法解一元二次不等式，解题的关键是通过数形结合的方法求解一元二次不等式．
4．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．
【答案】或
【分析】直接利用函数图象即可得出结论．
【详解】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，
∴函数y=a（x-2）2+b（x-2）+c的图象与x轴的交点为3，5，（把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，）
∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集为x<3或x>5，
故答案为x<3或x>5．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
三、解答题
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系内，二次函数（a为常数）．
(1)若函数y的图象经过点，求函数的表达式．
(2)若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为﹣1，2，请直接写出当时x的取值范围．
(3)已知在函数的图象上，当时，求证：．
【答案】(1)或；
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意画出草图解答便可；
（3）由题意可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．
（1）
解：∵函数y1的图象经过点，
∴，
解得：或1，
∴函数y1的表达式为或．
（2）
解：根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或x＞2．
（3）
证明：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线x＝a，抛物线开口方向向上，
∴x＝0和x＝2a时的函数值相同，
∴由图象可知当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，配方法的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数
(1)求出该函数图象的顶点坐标，图象与轴的交点坐标
(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大?
(3)当x在什么范围内时，?
【答案】(1)顶点为，与轴的交点为
(2)
(3)或
【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和对称轴即可，然后令解方程求出的值，即可得到与轴的坐标即可；
（2）根据二次次函数的性质解答即可；
（3）根据函数图象分别解答即可．
【详解】（1），
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
令，则，
整理得，
解得，，
∴函数图象与轴的交点坐标为；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
（3）令，即
解得：
根据图象可知，当或时，
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示．
(1)求b，c的值；
(2)直接写出该二次函数当时，x的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由函数的图象可知，抛物线过点和，然后利用待定系数法求出b，c的值即可；
（2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴以及它与x轴的另一交点坐标，然后根据抛物线开口向下，时，函数的图象位于x轴的上方得出答案．
【详解】（1）解：由函数的图象可知，抛物线过点和，
将，代入得：，
解得：，；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，
∴对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∵抛物线开口向下，时，函数的图象位于x轴的上方，
∴当时，x的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数(，是常数，且)的图象经过点．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若该函数图象还经过点
①求该函数的解析式；
②当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据解析式可知抛物线与轴交于点，而与关于抛物线的对称轴对称，即可求得对称轴为直线；
（1）①根据（1）的结论得出，则抛物线解析式为，将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
②令，求得抛物线与轴的交点坐标，进而根据以及，即可求得不等式的解集．
【详解】（1）解：由，令，解得：
∴抛物线与轴交于点，
而与关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线；
∴，即，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线还经过点：
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
令，即，
解得：
∵，抛物线开口向上，
∴当时，．
【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数．
(1)若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值时自变量x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值．
(3)已知 ，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证．
【答案】(1)，当时，；
(2)2或8；
(3)见解析．
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图象，结合图象可求解；
（2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论；
（3）由，得，容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
画出函数图象，如图，
当时，，解得，，
由图象可得：当时，；
（2）当时，，
，
，，
∴，，
∴，
①如图，当C在B的左侧时，
∵B，C是线段的三等分点，
∴，
由题意得：,
∴，
∴，
②同理，当C在B的右侧时，，
∴，
综上，的值为2或8；
（3）证明：由，得，
由题意，得，，
所以
，
由条件，知．所以 ，得证．
【点睛】本题查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键．
10．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，已知二次函数的图象过，和三点．
(1)求这个二次函数及直线的函数关系式；
(2)直接写出不等式的解；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点的坐标为
【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入抛物线中，即可得，设直线BC的函数解析式为：，将B（3，0），C（0，3）代入中，即可得；
（2）根据图象可直接得出不等式的解；
（3）由题意得PA=PB，当C、B、P三点共线时，PA+PC最小时，根据A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），即可得点P的横坐标为1，将1代入中，得，即可得点P的坐标为（1，2）．
(1)
解：将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入抛物线中，得
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
设直线BC的函数解析式为：，将B（3，0），C（0，3）代入中，得
解得：，
∴直线BC的函数解析式为：；
(2)
解：由（1）可知，二次函数的解析式为：
点B的坐标为，点C的坐标为
由图象可直接得出不等式的解集为：或
(3)
解：如图所示，
∵直线l是抛物线的对称轴，且A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点A，B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴当C、B、P三点共线时，PA+PC最小时，
即点P就是直线BC与l的交点，
∵A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），
∴点P的横坐标为1，
将1代入中，得，
∴点P的坐标为（1，2）．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，解不等式， 解题的关键是掌握这些知识点．
11．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且．抛物线经过点，．
(1)求这条抛物线的解析式，并直接写出当时的取值范围；
(2)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移2个单位，此时点恰好落在线段上，求的值．
【答案】(1)，x<1或x>3
(2)2
【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y=ax²+bx即可得，然后把y=- 代入得到关于x的方程，解方程求得x=1或x=3，结合图象即可求得；
（2）求出AB解析式，用m表示的坐标代入即可得答案．
（1）
解：∵B(0，2)，
∴OB=2，
∵点A在x轴正半轴上，且OA=2OB，
∴A(4，0)．
∶将A(4，0)，代入y=ax²+bx得∶

解得
∴抛物线的表达式为
把y= 代入
解得x=1或x=3，
由图象可知，当y>时，x的取值范围是x<1或x>3；
（2）
解：设直线AB的解析式是y=px+q，
将A(4，0)，B(0，2)代入得

解得
∴直线AB的解析式是y=-x+2，
∵抛物线向右平移m个单位，再向上平移2个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移2个单位，而C(1，)·
∴
∵在线段AB上，
∴ ，
∴m=2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
【答案】(1)m=﹣1；y=x2﹣3x+2
(2)x＜1或x＞3
【分析】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c求解即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2；
（2）由图可知，当x2﹣3x+2＞x﹣1时，
x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式及图象法解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知：直线经过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积；
(3)请直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据抛物线的顶点写出抛物线的顶点式，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，根据三个固定点坐标求出面积即可；
（3）根据二次函数的图象在x轴的上方且在一次函数图象下方时，写出对应的x的范围即可得答案．
【详解】（1）解：抛物线的顶点，
，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：令时，，
所以与y轴的交点坐标为：，
令时，即，解得：，，
所以与y轴的交点坐标为：，，
∴抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积为：；
（3）解：将点代入中得：，
解得：，
，解得：，，
∴抛物线与一次函数的两个交点坐标为：，；
∴不等式的解集为：.
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，三角形的面积，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，其中求交点坐标是解题的关键．
14．（2022·浙江杭州·统考一模）在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）．
(1)已知函数的图象经过点（1，2）和，求函数的表达式．
(2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
(3)已知点，在函数的图象上，且．当时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）把（1，2）和代入抛物线，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）先求解抛物线的顶点坐标为： 再把顶点坐标代入，变形后可得答案；
（3）把点，在函数的图象上，可得可得，再由 可得再利用二次函数的性质可得答案．
(1)
解：把（1，2）和代入抛物线，

解得：
所以抛物线为：
(2)
解： 函数
抛物线的顶点横坐标为：
抛物线的纵坐标为：
函数图象的顶点在函数的图象上，

整理得：

(3)
解： 点，在函数的图象上，

解得：
，
则
当时，则

令
二次函数图象的开口向上，
令则
解得：
所以时，或
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质，利用二次函数的性质解不等式，掌握“数形结合的方法解不等式”是解问题的关键．
题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围
一、单选题
1．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）已知满足，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程组，求出x和y，从而得到x和y的关系式，将代入得到t与y的关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：，
得：，
，
得：，
，
∴，
∴，
如图：
当时，，
当时，t有最小值3，
当，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握消元的思想以及二次函数的性质．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】函数的图象如下图所示，当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），同理当时可求出C点坐标，可确定a,b的值，即可求解．
【详解】函数的图象如下图所示，
当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，
故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），
同理点C（，﹣）
则b﹣a的最大值为2﹣＝.
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解.
3．（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，得出，再结合图象，得出若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即可联立不等式组，解出即可得出结论．
【详解】解：如图，
由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限，
∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，
∵抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，
∴，
结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，
即，解得：，
又∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解恒成立是解本题的关键．
4．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得点，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和，分两种情况：①当时，②当时，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，
，直线为，抛物线的对称轴为直线，轴右侧的部分的抛物线为，
，
点在点左侧，
如图，当时，函数单调递增，
，
①当时，
，
，
解得，
又，
；
②当时，，
，
解得，
又，
，
综上，的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
二、填空题
5．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．
【答案】﹣＜a＜0或a＞1．
【分析】首先根据已知条件得到符合题意的一个一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式得到a的大致范围，最后结合二次图象及方程两根小于1得到a的精确范围．
【详解】解：根据题意，可得
两个相异的二合点x1，x2是方程
an2+n﹣1＝2﹣n的两个根，
整理，得
an2+2n﹣3＝0，
△＞0，
即4+12a＞0，解得a＞﹣．
①当a＞0时，抛物线开口向上，
∵x1＜x2＜1，
当x＝1时，y＞0，
即a+2﹣3＞0，解得a＞1．
所以a＞1．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
∵x1＜x2＜1，当x＝1时，y＜0，
即a+2﹣3＜0，解得a＜1，
所以﹣＜a＜0．
综上所述：﹣＜a＜0或a＞1．
故答案为﹣＜a＜0或a＞1．
【点睛】本题考查二次函数、一元二次方程与一元一次不等式的综合运用，熟练掌握二次函数的图象、一元二次方程根的判别式及分类思想的运用是解题关键．
6．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立方程，
当∆时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
三、解答题
7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且当，时，．
(1)求的值；
(2)若，也是该二次函数图象上的两个点，且，求实数的取值范围；
(3)若点不在该二次函数的图象上，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，再根据对称轴公式列得，由此求出b；
（2）将点P、Q代入函数解析式得到不等式，由此得到m的取值范围；
（3）由抛物线与直线没有交点，即方程没有实数根，根据判别式列得，由此求出c的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，且当，时，．
∴点A、B关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得；
（2）∵，也是该二次函数图象上的两个点，且，
∴，
解得；
（3）由题意得，抛物线与直线没有交点，
即方程没有实数根，
整理得，
，
解得，
故c的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的对称性，用所学知识解决问题，学会数形结合法解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
获得图象：
计算x与y的几组对应值，列表如下：
(1)如图，在直角坐标系中画出了函数将这个图象补画完整．
探究性质：
(2)根据函数图象，写出该函数的一个正确结论：
解决问题：
(3)若过定点的直线与函数（）的图象只有一个交点，请结合函数图象求出t的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)函数有最大值
(3)
【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可；
（2）观察函数图象，该函数有最大值1；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）描点、连线画出函数的图象如图，
（2）观察函数图象，该函数有最大值；
（3）把（，）代入得，
解得，
∵，
∴直线一定过点（，），
由图象可知，过定点的直线与函数的图象只有一个交点，则．
【点睛】本题主要考查了自变量的取值范围，二次函数图像的性质，一次函数图像的性质，解一元二次方程等知识，借助图像利用数形结合的方法是解答本题的关键，
9．（2022秋·浙江金华·九年级校联考期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)x与y的几组对应值如下表，其中m=________．
(2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
(3)结合函数图象，解决下列问题：
①解不等式：；
②若直线与函数的图象只有一个的交点，求t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)①或；②或．
【分析】（1）把代入即可求得；
（2）描点、连线画出函数的图象即可；
（3）①观察函数图象得到当时，，当时，，令，得，解得（舍去），，由图象得到不等式的解为或；
②根据图象即可求得．
【详解】（1）把代入得，，
∴；
故答案为：；
（2）描点、连线画出函数的图象如图，
（3）①由图象知，当时，x1=－2，x2=0，x3=4
当时，
当时，
令，得，解得（舍去），
结合图象得，当时，或
∴原不等式的解为或．
②当时，
由得
，解得．
把代入的，
∴ t的取值范围为：或
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键．
10．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)二次函数的图象开口向______，对称轴为直线______．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)当时，求y的取值范围，
【答案】(1)上，
(2)
(3)
【分析】（1）当时，；当时，，可得对称轴，可得出抛物线有最小值即开口向上；
（2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，
，
二次函数的图象开口向上，
故答案为：上，；
（2）解：将，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为；
（3）解：当时，；
当时，．
又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上，
当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知二次函数经过点，，且最大值为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设二次函数解析式为交点式，再配方成顶点式，由最大值为4即可求得二次项系数，从而求得函数解析式；
（2）列表、描点、连线，即可得到函数的图象；
（3）求出当时的函数值，结合函数图象即可写出y的取值范围．
【详解】（1）解：设，
则，
则，解得：；
即，化为一般式为：；
（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
列表如下：
描点并连线，得到的函数图象如下：
（3）当时，，观察图象知，当时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，结合函数图象求函数值的取值范围等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键，注意数形结合．
12．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知拋物线．
(1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
(2)若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，证明见解析
【分析】（1）①由抛物线与轴只有一个公共点得到求出，然后抛物线过点．把坐标代入函数解析式即可求解；
②首先把的坐标代入二次函数解析式中求出，然后联立两个解析式解方程组得到两点坐标即可求解；
（2），首先设此抛物线解析式为，接着把 代入解析式得到，然后利用函数图象的示意图即可得到，即可得到．
【详解】（1）①∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴，
∴，
又∵抛物线过点．
∴，
∴抛物线的解析式；
②当时， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立，
解得或，
∴，
∴当时，或；
（2），理由：
由题知，将此抛物线向上平移个单位，
其解析式为，且过点，
∴，
∴，
∴，
且当时，，
对称轴：，抛物线开口向上，画草图如下所示．
由题知，当时，．
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与直线的交点坐标及抛物线与不等式的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
题型三：根据交点确定不等式的解集
一、单选题
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如表：
则当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得出时，，据此即可求解．
【详解】表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，，
∴当时，，
∴当时，的取值范围是或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，得出抛物线的对称轴与开口方向是解题的关键．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【详解】对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或（舍去），
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
（2）当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
（3）当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数以一次函数的综合，根据一次函数的取值范围，正确分三种情况讨论是解题关键．
二、填空题
3．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为_______．
【答案】或
【分析】根据图象得到的解集为或，然后不等式两边同时除以a，不等号方向改变即可求解．
【详解】解：由题意可知：和是方程的两根，
由图象可知：的解集为或，且二次函数的开口向下，
∴的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系的运用，数形结合思想，解答时分析函数的图象是关键．
4．（2023秋·浙江杭州·九年级期中）如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点三个点，则不等式的解是____．
【答案】或
【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，找出x的范围即可．
【详解】解：不等式的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，
∴不等式的解为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查利用函数图象解不等式，即比较图象的高低．
三、解答题
5．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
(2)若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)，其图象的顶点坐标为
(2)或
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）根据图象，直接求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，，
∴其函数表达式可设为，
即．
又∵，
∴，，
∴所求二次函数表达式为．
∵
∴其图象的顶点坐标为，
（2）∵一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，
∵，当时，，
，当时，
∴一次函数的图象与二次函数的交点坐标为，，
如图所示
根据图象可知，当时，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)求此二次函数图象的顶点坐标；
(2)当函数值时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为
(2)自变量x的取值范围为或
【分析】（1）将函数配方即可得到答案；
（2）令解出交点，根据抛物线性质即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，
，
解得：，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当，时函数图像在x轴的下方，
∴当函数值时，，；
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数与一元二次不等式之间的关系，解题的关键是熟练掌握函数图像的性质．
7．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点．
(1)求与的函数关系式；
(2)直接写出当时，的取值范围；
(3)点为一次函数图象上一点，点的横坐标为，若将点向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)的值为1或
【分析】（1）将两点坐标分别代入两个表达式即可；
（2）即的图象在的上面，根据两个交点分界选择合适范围即可；
（3）根据点的平移规律得到最后的点坐标，然后代入二次函数表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
∴；
把点代入中，得
∴，
把点、分别代入中，得，
解得，
∴；
（2）解：观察图象可知，当时，的取值范围是或；
（3）解：∵点为一次函数图象上一点，∴，
将点向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点，
把代入，得，
解得
所以的值为1或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的结合，相关知识点有：求函数表达式、点的平移等，数形结合是解题的关键．
8．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）若二次函数的图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如是的伴随函数．
(1)若函数先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后是的伴随函数，求的值
(2)若函数的伴随函数与轴只有一个交点，求当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据二次函数图象平移规律，得出函数平移后的解析式为，再根据伴随函数的定义，得出的图象的顶点在一次函数的图象上，然后把顶点坐标代入，解出即可得出的值．
（2）根据题意，可得：二次函数图象顶点的纵坐标为，进而得出，解出得出，再根据伴随函数的定义，得出的顶点在函数的图象上，然后把代入，即可得出，再根据函数图象，即可得出当时，的取值范围．
【详解】（1）解：∵函数先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为，
又∵是的伴随函数，
∴的图象的顶点在一次函数的图象上，
∴可得：，
解得：；
（2）解：∵函数与轴只有一个交点，即二次函数图象顶点的纵坐标为，
∴，
解得：，
∴函数的伴随函数，
∴函数的顶点在函数的图象上，
∴可得：，
解得：，
∴，
当与相交时，可得：，
即，
解得：，，
如图，当时，的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数的综合运用，涉及二次函数图象平移、新定义函数的定义、二次函数的顶点式、二次函数与一次函数的交点问题、用图象法解不等式等知识点，解本题的关键在理解伴随函数的定义．
9．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知抛物线与一次函数有两个交点，且交点的横坐标分别为，．
(1)根据图象直接写出，当时，的取值范围为 ；
(2)将抛物线向上平移，使其顶点落在一次函数图象上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）观察函数图象便可得解；
（2）先求出原抛物线与直线的交点坐标，再用待定系数法求得原抛物线的解析式，进而求得顶点坐标，根据平行性质求出平移后抛物线的顶点坐标，便可根据顶点式写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：（1）根据图象可知，当时，或，
故当时，的取值范围为：或，
故答案为：或；
（2）（2）把代入，得，
把代入，得，
抛物线与一次函数有两个交点坐标为或，
把或都代入，得
，
解得，
原抛物线的解析式为，
，
原抛物线的解析式为的顶点为，，
把代入，得，
将抛物线向上平移，使其顶点落在一次函数图象上时，新抛物线的顶点坐标为，，
平移后图象所对应的二次函数的表达式为：，
即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数与不等式的关系，平移的性质，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，及二次函数图象平移的性质．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）已知函数（a是常数，且）．
(1)若点在二次函数y的图象上，
①求该函数的表达式和顶点坐标；
②若点和在函数的图象上，且，求的取值范围；
(2)若函数y的图象过和两点，且当时，始终都有，求a的取值范围．
【答案】(1)①二次函数的表达式为，顶点坐标；②或
(2)
【分析】（1）①把代入解析式计算即可；
②先求出，再求出的解，即可根据得到的取值范围；
（2）根据二次函数的增减性计算即可，注意分类讨论．
【详解】（1）①∵点在二次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为
∵
∴顶点坐标；
②∵在函数的图象上，
∴，
当时，，
∵开口向下，且点和在函数的图象上，且，
∴或
（2）二次函数对称轴为直线，
∵当时，始终都有，
∴当时，随的增大而减小，
当时，在对称轴左边随的增大而减小，即
此时，解得；
当时，在对称轴右边随的增大而减小，即
此时，此不等式组无解；
综上所述，当时，始终都有，a的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2023春·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知二次函数，．
(1)若二次函数的图象经过A，C两点，求二次函数的解析式．
(2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由．
(3)若二次函数图象经过点C，设P为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线的下方，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)二次函数的图象与x轴必有两个交点，理由见解析
(3)
【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；
（2）根据二次函数图象与y轴正半轴有交点，得到，求出判别式的符号，即可得出结论；
（3）根据题意，画出图形，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过两点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：．
（2）二次函数的图象与x轴必有两个交点，理由如下：
令，
则，
∵二次函数图象与y轴正半轴相交，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点．
（3）由二次函数图象经过点可得：，
∴．
∵为二次函数图象上的一个动点，
∴．
∵点关于轴的对称点的坐标为．
∴点在二次函数的图象上
∴对于，当时，；当时，．
∵，
∴直线的解析式为，
∴当时，．
∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，
结合图象可知：，即，
解得：．
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．解（3）要画出图象利用数形结合的思想解答．
12．（2023·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点．
(1)若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求t的值；
(2)对于该二次函数图象上的两点，当时，始终有．求的取值范围．
【答案】(1)①；②的值为；
(2)或．
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再利用得，所以，根据二次函数的性质，当时，时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，则，然后解方程即可；
（2）先利用二次函数的图象经过点得到，则可求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，即，解得或，然后利用得到或，从而得到的范围．
【详解】（1）解：①把分别代入
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
②∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴当时，时，函数有最小值-4，即N=-4，
当或时，函数有最大值，即，
∵，
∴ t2-2t-3-（-4）=3，
解得（舍去），，
∴的值为；
（2）∵二次函数的图象经过点（，
∴，
解得，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵在抛物线上，且，
∴点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，
∴，
∴或，
∵，
∴或，
解得或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
13．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）平面直角坐标系中有函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，经过与轴的交点以及的顶点．
(1)求和的表达式；
(2)当时，试比较与的大小：
(3)当时，均随着的增大而增大，求实数的最大值．
【答案】(1)，；
(2)当时，；当时，；当时，．
(3)
【分析】(1）根据、图象间的关系结合的函数表达式，即可得出的表达式，进而可找出与y轴的交点和的顶点，根据点的坐标利用待定系数法即可求出的表达式；
(2)画出与的函数图象，观察图象，即可得出结论；
(3）根据的表达式，函数值随着的增大而增大的自变量取值范围，由此即可得出实数m的最大值．
【详解】（1）解：∵向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，
∴向左平移2个单位，向下平移1个单位得到，
，
∴的表达式为：，
∴与y轴的交点为
∵，
∴的顶点坐标为
∵经过，
∴，解得：，
∴的表达式为．
（2）依照题意，画出函数的、的图象，如图所示：
观察函数图象，可得：
当时，；
当时，；
当时，．
（3），
∴在时，随x的增大而增大，在时随x的增大而增大，一直都随x的增大而增大，
∴时，均随着x的增大而增大，
∴m的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求一次函数的解析式、二次（一次）函数图像以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用平移找出的表达式；(2）画出函数图象，利用数形结合解决问题；（3）三个函数中函数值随着的增大而增大的自变量取值范围．
x
•••
•••
y
•••
•••
x
……
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
……
y
……
5
0
-3
m
-3
0
1
0
-3
……
…
0
1
2
…
…
2
7
…


-2
-1
0
1
2
3
4

-5
0
3
4
3
0
-5