初中数学浙教版（2024）七年级上册3.2 实数课后练习题

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册3.2 实数课后练习题，共48页。
一．数轴（共9小题）
1．（2022秋•东阳市月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的2022所对应的点与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A．AB．BC．CD．D
2．（2022秋•义乌市校级月考）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．若点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，|PD|、|PO|分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则|PD|﹣|PO|的最小值是 ．
3．（2021秋•慈溪市期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝ ，AC＝ ，BC＝ ．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
4．（2022秋•吴兴区期中）【新知理解】
点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点“伴侣线段．例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”．
（1）若点C为图1中线段AB的“优点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝ ；
（2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC BD（填“＝”或“≠”）
【解决问题】
如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F；
（3）若不同的两点M，N都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；
（4）如图2，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）．
5．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．
（1）圆的周长为多少？
（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？
（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？
6．（2022秋•义乌市月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数﹣8的点和表示数3的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，
（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是 ．
（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有 个．
（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是 ．
（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是 ．
（5）|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|最小值是 ．
7．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．
（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
①若点C表示的数是3，求线段MN的长．
②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．
（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．
8．（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．
（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为 ；
（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是 ．
9．（2021秋•武昌区期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．
（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．
二．实数与数轴（共12小题）
10．（2022秋•慈溪市期中）数轴上有A，B，C三个点，点A表示的数是，点B表示的数是1，点A到点B的距离与点C到点B的距离相等，那么点C表示的数是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022秋•杭州期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ，B表示的数是 ．
12．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
13．（2022秋•越城区期中）如图，在数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣2
14．（2021秋•吴兴区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．3.2B．C．D．
15．（2022秋•义乌市校级月考）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB＝|a﹣b|．
利用数轴回答下列问题：
（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．
②若x表示一个有理数，且﹣2＜x＜2，则|x﹣2|+|x+2|＝ ．
③当|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|时，求xy的最大值和最小值．
（2）实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，当x为何值时，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|的值最小，并求最小值．
16．（2022秋•拱墅区月考）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．如图1，从数轴上看，
若点A，B表示的分别是1，4，则|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3；
若点A，B表示的数分别是﹣1，4，则|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝4+1＝5或|AB|＝|﹣1﹣4|＝|﹣5|＝5；
若点A，B表示的数分别是﹣1，﹣4，则|AB|＝|（﹣1）﹣（﹣4）|＝|﹣1+4|＝3或|AB|＝|﹣4﹣（﹣1）|＝|﹣4+1|＝3．
【归纳】若点A，B表示的数分别是x1，x2则|AB|＝|x1﹣x2|或|AB|＝|x2﹣x1|．
【知识迁移】（1）如图1，点A，B表示的数分别是﹣4.5，b，且|AB|＝3，则b＝ ；
（2）如图2，点A，B表示的数分别是x1，x2，若把AB向左平移|AB|个单位，则点A与﹣50重合：若把AB向右平移|AB|个单位，则点B与70重合，那么x1＝ ，x2＝ ；
【拓展应用】
（3）一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路．
（4）结合几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值．
17．（2021秋•拱墅区校级期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（2）把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
（3）在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
18．（2022秋•海曙区期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕D点翻转第2次；继续翻转，则翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 ．
19．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 的点重合；
（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示5的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．
③表示点与表示 的点重合；
（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？
20．（2021秋•诸暨市期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧．
（1）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值．
（2）请利用整体思想和方程思想进行解题．
①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝ ．
②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？
（3）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？
21．（2022秋•鄞州区期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上﹣2和5这两点之间的距离为 ．
（2）若x表示一个实数，|x+2|+|x﹣4|的最小值为 ．
（3）直接写出所有符合条件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，则x的值为 ．
三．实数与数轴复杂应用题（共7小题）
22．（2022秋•宁波期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离AC＝ ，线段BC的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．
【拓展提升】
（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．
23．（2022秋•莲都区期中）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0．
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，何时P，A，B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间t；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动．当PQ＝10时，求P运动的时间．
24．（2021秋•平阳县期中）如图1，数轴上有A，B两点（点A在点B的左侧），点A表示的数是﹣x，点B表示的数是3x﹣4，点P，Q是数轴A，B之间的动点，且点P以每秒4个单位的速度运动，点Q以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当数轴沿原点折叠时，点A与点B重合，则点A表示的数为 ．
（2）若x＝22时，点P，Q分别从点A，B同时出发，相向而行，点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，当t为何值时，A，B两点之间的距离是P，Q两点之间距离的6倍．
（3）若点P，Q同时从点A出发，在线段AB上各自做不间断的往返运动（即只要动点与线段AB的某一端点重合则立即转身以同样的速度向另一点运动）．
①如图2，点P与点Q第一次重合于点C，第二次重合于点D，且点C与点D之间的距离为40，求线段AB的长；
②在①的基础上，当t＝2021时，点P，Q两点之间的距离是点A，P两点之间的距离的 倍．（请直接写出答案）
25．（2022秋•富阳区期中）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：
（1）A与B之间距离为 ，A，B中点对应的数为 ，B点向左平移7个单位对应的数为 ．
（2）若点C对应的数为﹣3，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动：
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
26．（2022秋•萧山区期中）如图，已知数轴上三点A、B、C分别对应的数为a、b、c．
（1）点A、点B在数轴上所表示的数互为相反数，且A、B两点之间距离为4．
①若A、C两点之间距离为2，且点C在点A的左侧，则点C所表示的数为 ．
②点D位于点C的左侧，且点D到B、C两点的距离之和为7，则点D所表示的数为 ．
③数轴上是否存在点P，使得点P到A、B、C三点的距离之和为9．若存在，请直接写出点P在数轴上所表示的数，若不存在请说明理由．
（2）点B、点C在数轴上所表示的数互为相反数．请判断下列两个代数式的结果是正数还是负数，并说明理由．
①a（b+c）+ac；
②|c+a|﹣|a+b|．
27．（2021秋•定海区期末）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且满足（m﹣11）2+（n+4）2＝0．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？
（3）若点A、B为线段MN上的两点，且NA＝AB＝BM，点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k，使得PQ﹣kAR的值与它们的运动时间无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
28．（2020秋•鹿城区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
重难点02有关实数与数轴的应用题（3种题型）
【考点剖析】
一．数轴（共9小题）
1．（2022秋•东阳市月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的2022所对应的点与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A．AB．BC．CD．D
【分析】圆沿着数轴向右滚动505周，再向右滚动2个单位后，即可判断．
【解答】解：∵2022÷4＝505……2，
∴圆沿着数轴向右滚动505周，再向右滚动2个单位，与圆周上字母C重合．
故选：C．
【点评】本题考查数轴的有关知识，关键是判断出圆沿着数轴向右滚动505周后，还需向右滚动2个单位．
2．（2022秋•义乌市校级月考）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．若点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，|PD|、|PO|分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则|PD|﹣|PO|的最小值是 ﹣1 ．
【分析】由数轴的概念，非负数的性质，即可求解．
【解答】解：∵（x﹣3）2+|y+5|＝0，
∴x﹣3＝0，y+5＝0，
∴x＝3，y＝﹣5，
∴点A、B在数轴上所对应的数分别是3，﹣5，
∵点D是AB的中点，
∴点D对应的数是﹣1，
当点P在点D左边时，|PD|﹣|PO|的值最小，
最小值是﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查数轴的概念，非负数的性质，关键是确定点P的位置：在点D的左边．
3．（2021秋•慈溪市期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ﹣2 ，b＝ 1 ，c＝ 7 ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 4 表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝ 3t+3 ，AC＝ 5t+9 ，BC＝ 2t+6 ．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性即可求出a，c，再利用题干条件即可求出b；
（2）先将对称点求出，再利用与点B重合的数和点B到对称点的距离相等即可求解；
（3）先将点A，B，C表示出来，即可得到AB，AC，BC；
（4）利用（3）中AB和BC，代入式子即可得到定值．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，
∴a+2＝0，c﹣7＝0，
解得a＝﹣2，c＝7，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
故答案为：﹣2，1，7；
（2）∵（7+2）÷2＝4.5，
∴对称点为7﹣4.5＝2.5，
2.5+（2.5﹣1）＝4，
故答案为：4；
（3）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，
∴t秒钟过后，点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为7+4t，
∴AB＝1+2t﹣（﹣2﹣t）＝1+2t+2+t＝3t+3，AC＝7+4t﹣（﹣2﹣t）＝7+4t+2+t＝5t+9，BC＝7+4t﹣（1+2t）＝7+4t﹣1﹣2t＝2t+6，
故答案为：3t+3，5t+9，2t+6；
（4）不变，理由如下：
由（3）知：AB＝3t+3，BC＝2t+6，
∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝6t+18﹣6t﹣6＝12，
∴3BC﹣2AB的值不随着时间t的变化而改变．
【点评】本题考查数轴，绝对值和偶次方的非负性，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握表示两点之间距离的方法．
4．（2022秋•吴兴区期中）【新知理解】
点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点“伴侣线段．例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”．
（1）若点C为图1中线段AB的“优点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝ 18 ；
（2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC ＝ BD（填“＝”或“≠”）
【解决问题】
如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F；
（3）若不同的两点M，N都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；
（4）如图2，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）．
【分析】（1）由BC＝2AC即可求解；
（2）利用“优点”定义求出BD即可；
（3）分两种情况讨论，第一是点M在N左侧，第二是点M在N右侧，再由“优点”定义求解即可；
（4）分为两种情况，一是点G在线段EF中间，可得出EG＝2GF或GF＝2EG，二是点G在线段EF右侧，可得出EF＝2GF或GF＝2EF，求解即可．
【解答】解：（1）∵点C为线段AB的“优点”，AC＜BC，AC＝6，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB＝AC+BC＝18，
故答案为：18．
（2）如图，
∵点D是线段AB的“优点”，
∴AD＝2BD，
∴AB＝AD+BD＝2BD+BD＝3BD＝18，
∴BD＝6，
∵AC＝6，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
（3）∵点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F，
∴点F表示的数为4，
∴OF＝4，
当点M在点N左侧时，则：
MF＝2OM，ON＝2NF，
∴OM＝NF＝OF＝，
∵OF＝OM+MN+NF，
∴MN＝，
当点M在点N右侧时，则：
2MF＝OM，2ON＝NF，
∴ON＝MF＝OF＝，
∵OF＝ON+MN+MF，
∴MN＝，
综上，线段MN的长为．
（4）∵点E表示的数为1，点F表示的数为4，
∴EF＝4﹣1＝3，
①线段EG，GF互为“优点“伴侣线段时，有
EG＝2GF或GF＝2EG，
当EG＝2GF时，
EF＝EG+GF＝2GF+GF＝3GF＝3，
∴GF＝1，
∴点G表示的数为3，
当GF＝2EG时，
EF＝EG+GF＝EG+2EG＝3EG＝3，
∴EG＝1，
∴点G表示的数为2，
②线段EF，GF互为“优点“伴侣线段时，有
EF＝2GF或GF＝2EF，
当EF＝2GF时，
GF＝1.5，
∴点G表示的数为5.5，
当GF＝2EF时，
GF＝6，
∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为2或3或5.5或10．
【点评】本题考查数轴相关知识点，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义．
5．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．
（1）圆的周长为多少？
（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？
（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？
【分析】（1）利用圆的周长公式计算；
（2）滚动一周点B的对应数为2，以后每滚动一周，B点对应的数加4，由此规律即可求解；
（3）此题需要寻找规律：每4个数一组，计算2024÷4，可得表示﹣2024的点是第506个循环组的第4个数D重合．
【解答】解：（1）圆的周长＝2π•＝4个单位长度；
（2）滚动一周后点B的对应数为2，滚动2周后点B对应的数是2+4＝6；
（3）由图可知，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是﹣2，C点对应的数是﹣3，D点对应的数是﹣4，
∴每4个数为一个循环组依次循环，
∵2024÷4＝506，
∴表示﹣2024的点是第506个循环组的第4个数D重合．
【点评】本题考查了实数与数轴，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
6．（2022秋•义乌市月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数﹣8的点和表示数3的点之间的距离是 11 ．
（二）数轴上点A用数a表示，
（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是 8或﹣3 ．
（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有 6 个．
（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是 2025 ．
（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是 2031 ．
（5）|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|最小值是 15 ．
【分析】（一）根据两点间距离的求法直接写出即可；
（二）（1）由题意可得a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，求出a的值即可；
（2）根据绝对值的几何意义可知﹣2≤a≤3时，|a+2|+|a﹣3|有最小值5，再由a是整数，求出符合条件的a的值即可；
（3）根据绝对值的几何意义可知当﹣2022≤a≤3时，|a﹣3|+|a+2022|的最小值是2025；
（4）根据绝对值的几何意义可知当a＝3时，3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|有最小值2031；
（5）根据绝对值的几何意义可知当﹣1≤a≤2时，|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|有最小值15．
【解答】解：（一）表示数﹣8的点和表示数3的点之间的距离是|﹣8﹣3|＝11，
故答案为：11；
（二）（1）∵|a﹣3|＝5，
∴a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，
解得a＝5或a＝﹣2，
∴a的值是5或﹣2，
故答案为：5或﹣2；
（2）∵|a+2|+|a﹣3|表示数轴上表示a的点与﹣2、3的点的距离之和，
∴﹣2≤a≤3时，|a+2|+|a﹣3|有最小值5，
∵a是整数，
∴a的值有﹣2，﹣1，0，1，2，3，
故答案为：6；
（3）∵|a﹣3|+|a+2022|表示数轴上表示a的点与﹣2022、3的点的距离之和，
∴当﹣2022≤a≤3时，|a﹣3|+|a+2022|的最小值是2025，
故答案为：2025；
（4）∵3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|＝|a﹣3|+|a﹣3|+|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|，
∴当a＝3时，3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|有最小值2031，
故答案为：2031；
（5）∵|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|＝3|a+1|+|a+4|+4|a﹣2|，
∴当﹣1≤a≤2时，|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|有最小值15，
故答案为：15．
【点评】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．
7．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．
（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
①若点C表示的数是3，求线段MN的长．
②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．
（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．
【分析】（1）①先根据数轴上两点的距离可得AB的长，由线段中点的定义可得AM的长，同理得CN的长，由线段的和差关系可得MN的长；
②存在两种情况：C在D的左边或右边，同理根据线段的和差关系可得MN的长；
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，结合数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式和线段的和差关系列方程求解．
【解答】解：（1）①如图1，
∵点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
∴AB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，
∵M是AB的中点，
∴AM＝AB＝2，
同理得：CD＝3﹣1＝2，CN＝CD＝1，
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝3﹣（﹣5）﹣2﹣1＝5；
②若CD＝1，存在两种情况：
i）如图2，点C在D的左边时，C与原点重合，表示的数为0，
∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝1﹣（﹣5）﹣2﹣＝；
ii）如图3，点C在D的右边时，C表示的数为2，
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2﹣（﹣5）﹣2﹣＝；
综上，线段MN的长为或；
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，
∵点A、B、C、D、M、N是数轴上的点，且点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，
∴点M在数轴上表示的数为，点N在数轴上表示，
∴MN＝|﹣|，
∵点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，
∴2|﹣|＝a+b+c，
整理，得|a+b﹣1﹣c|＝a+b+c，
当a+b﹣1﹣c＝a+b+c时，
解得c＝﹣（不符合题意，舍去），
当﹣a﹣b+1+c＝a+b+c时，
解得：a+b＝，
∴点M在数轴上表示的数为＝，
综上，点M在数轴上所对应的数为．
【点评】本题主要考查了数轴，数轴上的点的几何意义，绝对值的意义等知识的应用．掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键．
8．（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．
（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为 ﹣0.5 ；
（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是 ﹣5＜m≤﹣3.5 ．
【分析】（1）根据友好点的定义可得AB＝2AC，经过计算可得答案；
（2）当点C在线段AB上时，存在三个时刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2BC时，另一个时刻为点C在点A的左侧时，分别计算出m的值可得取值范围．
【解答】解：（1）设点C表示的数为x，则AC＝x+2，AB＝1+2＝3，
∵点A是B、C两点的“友好点”，
∴当AB＝2AC时，则3＝2（x+2），解得x＝﹣0.5，
所以点C表示的数是﹣0.5，
故答案为：﹣0.5；
（2）当点C在线段AB上时，若A、B、C三点满足“友好关系”，
存在三个时刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2CB时，
此时m＝﹣0.5或﹣1或0，
∴另外一个时刻则点C在点A的左侧时，则AB＝2AC或BC＝2AC，
∴m＝﹣3.5或﹣5，
∵只有四个时刻，
∴m的取值范围是﹣5＜m≤﹣3.5．
故答案为：﹣5＜m≤﹣3.5．
【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差以及运用一元一次方程是解题关键．
9．（2021秋•武昌区期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．
（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a＝﹣8，b＝16，再根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据时间＝路程和÷速度和，列式计算即可求解；
（3）由于PA+PB＝AB＝2，只需要PC+PD是定值，从快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开之间都满足PC+PD是定值，依此分析即可求解．
【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，
∴|a+8|+（b﹣16）2＝0，
∴a+8＝0，b﹣16＝0，
解得a＝﹣8，b＝16．
∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）＝24单位长度；
（2）（24﹣8）÷（6+2）
＝16÷8
＝2（秒）．
或（24+8）÷（6+2）＝4（秒）
答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；
（3）∵PA+PB＝AB＝2，
当P在CD之间时，PC+PD是定值4，
t＝4÷（6+2）
＝4÷8
＝0.5（秒），
此时PA+PC+PB+PD＝（PA+PB）+（PC+PD）＝2+4＝6（单位长度）．
故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．
【点评】本题考查了数轴，涉及的知识点有：非负数的性质，两点之间的距离公式，路程问题，综合性较强，有一定的难度．
二．实数与数轴（共12小题）
10．（2022秋•慈溪市期中）数轴上有A，B，C三个点，点A表示的数是，点B表示的数是1，点A到点B的距离与点C到点B的距离相等，那么点C表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设点C表示的数为x，根据数轴上点A到点B的距离与点C到点B的距离相等，列出方程求解即可．
【解答】解：设点C表示的数为x，
由题意得，x﹣1＝1﹣（﹣），
解得x＝，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示，是基础题．
11．（2022秋•杭州期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 2﹣ ，B表示的数是 2+ ．
【分析】先求出单位正方形的对角线的长，设点A表示的数为x，点B表示的数为y，则（2﹣x）和（y﹣2）是单位正方形的对角线的长，求出x和y即可．
【解答】解：如图：
由题意可知：CD＝CB＝CA＝＝，
设点A表示的数为x，
则：2﹣x＝，
解得x＝2﹣，
即点A表示的数为2﹣；
点B表示的数为y，
则：y﹣2＝，
解得y＝2+．
故答案为：2，2+．
【点评】本题考查了实数与数轴的有关问题，解题的关键是利用勾股定理求出CD的长．
12．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣+2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2
＝1﹣﹣+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
13．（2022秋•越城区期中）如图，在数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣2
【分析】利用数轴知识列等式，求出A表示的数．
【解答】解：∵在数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
设A点表示的数为a，
∴BC＝AC，
∴﹣2＝2﹣a，
∴a＝4﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
14．（2021秋•吴兴区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．3.2B．C．D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为1+．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
15．（2022秋•义乌市校级月考）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB＝|a﹣b|．
利用数轴回答下列问题：
（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ；数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 |x+2| ．
②若x表示一个有理数，且﹣2＜x＜2，则|x﹣2|+|x+2|＝ 4 ．
③当|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|时，求xy的最大值和最小值．
（2）实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，当x为何值时，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|的值最小，并求最小值．
【分析】（1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；
②根据题意可得|x﹣2|+|x+2|＝2﹣x+x+2＝4；
③根据绝对值的几何意义可知﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤3，再求解即可；
（2）根据题意可得a＜0，c＞0，b＜0，则当x＝c时，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|有最小值为﹣a﹣b．
【解答】解：（1）①表示2和5两点之间的距离是|2﹣5|＝3，
表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
故答案为：3，|x+2|；
②∵﹣2＜x＜2，
∴|x﹣2|+|x+2|＝2﹣x+x+2＝4，
故答案为：4；
③∵|x﹣1|+|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2的点的距离与到1的点的距离之和，
当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|有最小值3，
∵|y﹣3|+|y+4|表示数轴上表示y的点到表示3的点的距离与到﹣4的点的距离之和，
∴﹣4≤y≤3时，|y﹣3|+|y+4|的最小值为7，
∵|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|，
∴﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤3，
∴xy的最大值为8，最小值为﹣6；
（2）∵a＜b＜c，ac＜0，
∴a＜0，c＞0，
∵|c|＜|b|＜|a|，
∴b＜0，
∴|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|表示数轴上表示x的点到表示a、c、﹣b的点的距离之和，
当x＝c时，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|有最小值为﹣a﹣b．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．
16．（2022秋•拱墅区月考）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．如图1，从数轴上看，
若点A，B表示的分别是1，4，则|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3；
若点A，B表示的数分别是﹣1，4，则|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝4+1＝5或|AB|＝|﹣1﹣4|＝|﹣5|＝5；
若点A，B表示的数分别是﹣1，﹣4，则|AB|＝|（﹣1）﹣（﹣4）|＝|﹣1+4|＝3或|AB|＝|﹣4﹣（﹣1）|＝|﹣4+1|＝3．
【归纳】若点A，B表示的数分别是x1，x2则|AB|＝|x1﹣x2|或|AB|＝|x2﹣x1|．
【知识迁移】（1）如图1，点A，B表示的数分别是﹣4.5，b，且|AB|＝3，则b＝ ﹣1.5或﹣7.5 ；
（2）如图2，点A，B表示的数分别是x1，x2，若把AB向左平移|AB|个单位，则点A与﹣50重合：若把AB向右平移|AB|个单位，则点B与70重合，那么x1＝ ﹣10 ，x2＝ 30 ；
【拓展应用】
（3）一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路．
（4）结合几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值．
【分析】（1）根据题意可得|﹣4.5﹣b|＝3，求出b的值即可；
（2）由题意可得方程﹣50＝2x1﹣x2，70＝2x2﹣x1，求解方程即可；
（3）由题意可得，求解方程组即可求解；
（4）由绝对值的几何意义可得，当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的值最小．
【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是﹣4.5，b，
∴|﹣4.5﹣b|＝3，
解得b＝﹣1.5或b＝﹣7.5，
故答案为：﹣1.5或﹣7.5；
（2）∵点A，B表示的数分别是x1，x2，
∴|AB|＝x2﹣x1，
当AB向左平移|AB|个单位后，﹣50＝x1﹣（x2﹣x1）＝2x1﹣x2，
当AB向右平移|AB|个单位后，70＝x2+（x2﹣x1）＝2x2﹣x1，
解得x1＝﹣10，x2＝30，
故答案为：﹣10，30；
（3）设美羊羊现在x岁，则存在爷爷现在y岁，
由题意可得，
解得，
∴村长爷爷现在64岁，，美羊羊现在12岁；
（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的值最小，
∴最小值为6，
∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值为6．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，解二元一次方程组是解题的关键．
17．（2021秋•拱墅区校级期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（2）把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为 +1 ．
（3）在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
【分析】（1）利用正方体的体积求得正方体的棱长，再利用正方形的性质求得正方形ABCD的边长及面积；
（2）利用（1）的结论和数轴上点的特征解答即可；
（3）利用正方形的性质和数轴上点的特征解答即可．
【解答】解：（1）∵立方体组成的魔方的体积为8，
∴魔方的棱长为2，
由题意：A，B，C，D为各棱的中点，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝＝，
∴阴影部分的边长为，阴影部分的面积为2；
（2）由（1）知：AD＝，
∵A与1重合，
∴D在数轴上表示的数为﹣（﹣1）＝﹣+1，
故答案为：+1；
（3）∵正方形ABCD的边长为，
∴正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动，当点B第一次落在数轴上时，点B距离表示出数1的点的长度为3，
∴此时点B对应的数为：﹣（3﹣1）＝﹣3+1，
∴点B在数轴上表示的数为﹣3+1．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，立方根的意义，熟练掌握数轴上的点与实数之间的对应关系是解题的关键．
18．（2022秋•海曙区期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕D点翻转第2次；继续翻转，则翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 3033 ．
【分析】找出翻转后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数的规律，利用规律解答即可得出结论．
【解答】解：翻转1次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为1，
翻转2次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为2，
翻转3次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为4，
翻转4次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为5，
翻转5次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为7，
翻转6次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为8，
••••••，
翻转偶数次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为3的倍数，
即：翻转2n次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为3n﹣1，
∵2022÷2＝1011，
∴翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是1011×3﹣1＝3032，
故答案为：3032．
【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，找出翻转后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数的规律是解题的关键．
19．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 2 的点重合；
（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示5的点与表示 ﹣3 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 ﹣ ；点B表示的数是 ．
③表示点与表示 2﹣ 的点重合；
（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？
【分析】（1）根据题意确定纸片是沿着0点进行折叠的，再求解即可；
（2）①由题意确定纸片是沿着表示1的点进行折叠的，再求解即可；
②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，根据折叠的性质可得＝1，求出x的值再求解即可；
③由①的折痕点，可求出表示点与表示2﹣的点重合；
（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，则x＝﹣1+2t，根据题意列出方程|x+1|＝2|x﹣3|，求出x后再求t的值即可求解．
【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合，
∴纸片是沿着0点进行折叠的，
∴表示﹣2的点与表示2的点重合，
故答案为：2；
（2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
又∵＝1，
∴纸片是沿着表示1的点进行折叠的，
∴表示5的点与表示﹣3的点重合，
故答案为：﹣3；
②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，
∵A、B两点经折叠后重合，
∴＝1，
解得x＝﹣，
∴﹣+13＝，
∴点A表示的数是﹣，点B表示的数是，
故答案为：﹣，；
③∵纸片是沿着表示1的点进行折叠的，
∴表示点与表示2﹣的点重合，
故答案为：2﹣；
（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，
∴x＝﹣1+2t，
∵它到点P的距离是到点Q的距离的2倍，
∴|x+1|＝2|x﹣3|，
解得x＝7或x＝，
当x＝时，2t﹣1＝，解得t＝，
当x＝7时，2t﹣1＝7，解得t＝4，
∴运动4秒或秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，折叠的性质，根据折叠后对应的点表示的数，确定折痕点是解题的关键．
20．（2021秋•诸暨市期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧．
（1）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值．
（2）请利用整体思想和方程思想进行解题．
①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝ 6 ．
②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？
（3）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？
【分析】（1）根据乘方的意义解答即可；
（2）①把x＝﹣2代入第一个方程求出p的值，再把p的值代入第二个方程可得y的值；
②根据题意可得a﹣2+m＝b+6+m，d+n﹣2＝c+6+n，经过整理可得a﹣b＝8，d﹣c＝8，再计算即可；
（3）分两种情况：当0≤t≤2时，OP＝2﹣t，OQ＝|6﹣4t|；当2＜t≤4时，OP＝t﹣2，OQ＝|4t﹣10|，再根据题意列出方程可得t的值．
【解答】解：（1）∵（﹣2）3＝﹣8，
∴x＝﹣2，
答：x的值是﹣2；
（2）①把x＝﹣2代入方程x﹣3＝5x﹣p得，
﹣1﹣3＝﹣10﹣p，解得p＝﹣6．
把p＝﹣6代入方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p得，
（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）+6，解得y＝6，
故答案为：6；
②每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，而x＝﹣2，y＝6，
∴a﹣2+m＝b+6+m，即a﹣b＝6+m+2﹣m＝8，
d+n﹣2＝c+6+n，即d﹣c＝6+n﹣n+2＝8，
∴（a﹣b）+（d﹣c）＝8+8＝16；
（3）设运动时间为t秒，
①当0≤t≤2时，OP＝2﹣t，OQ＝|6﹣4t|，
∴|6﹣4t|＝2（2﹣t），解得t＝1或；
②当2＜t≤4时，OP＝t﹣2，OQ＝|﹣2+4（t﹣2）|＝|4t﹣10|，
∴|4t﹣10|＝2（t﹣2），解得t＝3或；
综上，P点运动1秒或秒或秒或3秒后，OQ＝2OP．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
21．（2022秋•鄞州区期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上﹣2和5这两点之间的距离为 7 ．
（2）若x表示一个实数，|x+2|+|x﹣4|的最小值为 6 ．
（3）直接写出所有符合条件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，则x的值为 3或﹣6 ．
【分析】（1）利用数轴直观得出答案．
（2）x在﹣2到4之间值最小，两点之间线段最短．
（3）2到﹣5之间是7，与9相差2，分到两段中，每段加1，得出结果．
【解答】解：（1）|（﹣2）﹣5|＝7．
（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2＞6；
当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝6；
当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2＞6，
故|x+2|+|x﹣4|最小值为6．
（3）当x＜﹣5时，|x﹣2|+|x+5|＝﹣（x﹣2）﹣（x+5）＝﹣2x﹣3＝9，
解方程得：x＝﹣6；
当﹣5≤x≤2时，|x﹣2|+|x+5|＝7，无解；
当x＞2时，|x﹣2|+|x+5|＝2x+3＝9，
解方程得：x＝3．
故x的值为﹣6或3．
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，解本题的关键是分段讨论．
三．实数与数轴复杂应用题（共7小题）
22．（2022秋•宁波期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离AC＝ 7 ，线段BC的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ﹣2+2t ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．
【拓展提升】
（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．
【分析】（1）①根据两点间距离公式、线段中点公式代入即可得到答案；
②根据点P的运动方向和运动速度，结合点C表示的数即可得到结果；
（2）点M表示为，根据题意得，解出t即可；
（3）分两种情况：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为6﹣2t，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值；②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为﹣4，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值即可得到结果．
【解答】解：（1）①∵点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，
∴AC＝|5﹣（﹣2）|＝7，
线段BC的中点表示的数为；
故答案为：7，；
②∵点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动，
∴t秒后点P表示的数为﹣2+2t；
故答案为：﹣2+2t；
（2）∵点M为PA的中点，
∴点M表示为，
∵，
∴，
解得：t＝2或t＝1，
∴当t的值为1或2时，；
（3）①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为6﹣2t，
∵线段GH的中点为点K，
∴点K表示的数为，
∵HK＝3
∴HK＝，
解得：t＝3，
②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为﹣4，
∵线段GH的中点为点K，
∴点K表示的数为，
∵HK＝3，
∴HK＝，
解得：t＝7，
综上，当t＝3或t＝7时，HK＝3．
【点评】本题主要考查数轴、两点距离公式、一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系列出方程是解题关键．
23．（2022秋•莲都区期中）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0．
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，何时P，A，B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间t；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动．当PQ＝10时，求P运动的时间．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据P点运动时间设未知数列方程即可求解；
（3）利用P点和Q点的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，
∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝16；
（2）当PA＝PB时，P是线段AB的中点，
此时P点表示的数为：（4+16）÷2＝10，
点P的运动时间为：（10﹣4）÷3＝2（秒），
第二种情况：AB＝BP，
∵AB＝16﹣4＝12，
∴PB＝12，
∴PA＝2PB＝24，
∴点P的运动时间为：24÷3＝8（秒），
综上，点P的运动时间为2秒或8秒；
（3）设ts时，PQ＝10，
分四种情况讨论：
①点Q、点P向右运动，点P在点Q左侧，
3t﹣t＝16﹣4﹣10，
解得：t＝1；
②点Q、点P向右运动，点P在点Q右侧，
3t﹣t＝16﹣4+10，
解得：t＝11，
∵点P到达点C的时间为（36﹣4）÷3＝，11，
∴t＝11不合题意，舍去；
③点P向左运动，点P在点Q右侧，
12+t+10+3t﹣32＝32，
解得：t＝；
∵t＞，而，
∴不合题意，舍去．
④点P向左运动，点P在点Q左侧，
12+t﹣10+3t﹣32＝32，
解得：t＝，
综上所述，当PQ＝10时，P点运动的时间为：1或．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离、非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间距离找等量关系．
24．（2021秋•平阳县期中）如图1，数轴上有A，B两点（点A在点B的左侧），点A表示的数是﹣x，点B表示的数是3x﹣4，点P，Q是数轴A，B之间的动点，且点P以每秒4个单位的速度运动，点Q以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当数轴沿原点折叠时，点A与点B重合，则点A表示的数为 ﹣2 ．
（2）若x＝22时，点P，Q分别从点A，B同时出发，相向而行，点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，当t为何值时，A，B两点之间的距离是P，Q两点之间距离的6倍．
（3）若点P，Q同时从点A出发，在线段AB上各自做不间断的往返运动（即只要动点与线段AB的某一端点重合则立即转身以同样的速度向另一点运动）．
①如图2，点P与点Q第一次重合于点C，第二次重合于点D，且点C与点D之间的距离为40，求线段AB的长；
②在①的基础上，当t＝2021时，点P，Q两点之间的距离是点A，P两点之间的距离的 倍．（请直接写出答案）
【分析】（1）根据题意得﹣x+3x﹣4＝0，解方程即可求解；
（2）当x＝22时，A，B两点之间的距离为＝|3x﹣4+x|＝84，根据题意，P，Q两点之间的距离为84÷6＝14，先用t表示出P在数轴上可表示：﹣22+4t，Q在数轴上可表示：62﹣3t，①当点P在点Q左边时，得：62﹣3t+22﹣4t＝14，②当点P在点Q右边时，得：﹣22+4t﹣62+3t＝14，解方程即可求解；
（3）①当点P与点Q第一次重合时，P，Q一共走2AB，同理当P，Q第二次重合时，一共走4AB，设第一次重合所用时间为t，则4t+3t＝2AB，则第二次重合所用时间为2t，则CD＝AC﹣AD＝3t﹣8t+2AB＝40，得方程7t﹣5t＝40，即可求解；
②先求出点P、Q每次在点A相遇时需要的时间为：70×2÷（4﹣3）＝140秒，此时2021÷140＝14……61，当点P、Q每次在相遇时需要的时间为：70×2÷（4+3）＝20，此时61÷20＝3……1，P、Q刚刚相遇已经过了1秒，则PQ＝（3+4）×1＝7，此时AP＝70×4﹣61×4＝36，即可求解．
【解答】解：（1）∵数轴沿原点折叠时，点A与点B重合，
∴﹣x+3x﹣4＝0，
解得：x＝2，
∴点A表示的数是﹣x＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）当x＝22时，3x﹣4＝62，
A，B两点之间的距离为＝|3x﹣4+x|＝84，
∵A，B两点之间的距离是P，Q两点之间距离的6倍时，
∴P，Q两点之间的距离为84÷6＝14，
根据题意得：P在数轴上可表示：﹣22+4t，Q在数轴上可表示：62﹣3t．
①当点P在点Q左边时，得：62﹣3t+22﹣4t＝14，
解得t＝10，
②当点P在点Q右边时，得：﹣22+4t﹣62+3t＝14，
解得t＝14
综上所述，当t＝10秒或者14秒时，A，B两点之间的距离是P，Q两点之间距离的6倍；
（3）①当点P与点Q第一次重合时，P，Q一共走2AB，
同理当P，Q第二次重合时，一共走4AB，
设第一次重合所用时间为t，
∴AC＝3t，4t+3t＝2AB，
则第二次重合所用时间为2t，
∴AD＝4×2t﹣2AB＝8t﹣2AB，
∵C，D两点距离为40，
∴CD＝AC﹣AD＝3t﹣8t+2AB＝40，
∴7t﹣5t＝40，t＝20，
∴AB＝70，
∴A，B两点之间的距离为70．
②由AB＝70，
则当点P、Q每次在点A相遇时需要的时间为：70×2÷（4﹣3）＝140秒，
此时2021÷140＝14……61，
而此时可以看作t＝61秒，
当点P、Q每次在相遇时需要的时间为：70×2÷（4+3）＝20，
此时61÷20＝3……1，
即p、Q刚刚相遇已经过了1秒，则PQ＝（3+4）×1＝7，
此时AP＝70×4﹣61×4＝36，
则PQ是AP的．
故答案为：．
【点评】本题考查了数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解．
25．（2022秋•富阳区期中）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：
（1）A与B之间距离为 6 ，A，B中点对应的数为 1 ，B点向左平移7个单位对应的数为 ﹣3 ．
（2）若点C对应的数为﹣3，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动：
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
【分析】（1）利用数轴知识做即可；
（2）分情况讨论C点的运动，再根据距离来判断符合题意的可能情况；
（3）设未知数，应用一元一次方程方程，分情况解决所有的可能．
【解答】解：（1）由图可知：A与B之间距离为：4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
A，B中点对应的数为：1，B点向左平移7个单位对应的数为：﹣3，
故答案为：6，1，﹣3；
（2）当C点移动到﹣8位置时，A点到B、C两点的距离相等，都是6；
当C点移动到1位置时，C点到B、A两点的距离相等，都是3；
当C点移动到10位置时，B点到A、C两点的距离相等，都是6；
（3）①设点P运动t秒时，点P和点Q重合，
根据题意，得
3t+6＝5t，
解得t＝3（秒），
答：点P运动3秒时，点P和点Q重合；
②设点P运动t秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度，
P，Q之间的距离为3个单位长度有两种可能，
当Q在P的右边时，根据题意得
5t﹣3t＝6﹣3，
t＝1.5（秒），
当Q在P的左边时，根据题意得
5t﹣3t＝6+3，
t＝4.5（秒），
∴当点P运动1.5秒或4.5秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，一元一次方程的应用．
26．（2022秋•萧山区期中）如图，已知数轴上三点A、B、C分别对应的数为a、b、c．
（1）点A、点B在数轴上所表示的数互为相反数，且A、B两点之间距离为4．
①若A、C两点之间距离为2，且点C在点A的左侧，则点C所表示的数为 ﹣4 ．
②点D位于点C的左侧，且点D到B、C两点的距离之和为7，则点D所表示的数为 ﹣ ．
③数轴上是否存在点P，使得点P到A、B、C三点的距离之和为9．若存在，请直接写出点P在数轴上所表示的数，若不存在请说明理由．
（2）点B、点C在数轴上所表示的数互为相反数．请判断下列两个代数式的结果是正数还是负数，并说明理由．
①a（b+c）+ac；
②|c+a|﹣|a+b|．
【分析】（1）根据题意可得出点A所对应的数为﹣2，点B对应的数为2；
①根据两点间的距离可得出点C所表示的数；
②设点D所表示的数为x，根据题意建立方程，求解即可；
③设点P所对表示的数为m，对点P的位置进行讨论，再表达点P到点A，B，C三点的距离之和为9，建立方程，由此可得出结论；
（2）结合数轴可得出c＜a＜0＜b，且b+c＝0，再依次判断给出代数式的正负即可．
【解答】解：（1）点A、点B在数轴上所表示的数互为相反数，且A、B两点之间距离为4，
∴点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数为2，
①∵A、C两点之间距离为2，且点C在点A的左侧，
∴点C所表示的数为﹣2﹣2＝﹣4；
故答案为：﹣4；
②设点D所表示的数为x，
∵点D在点C的左侧，
∴﹣4﹣x+2﹣x＝7，
解得x＝﹣．
故答案为：﹣．
③存在，理由如下：
设点P所对表示的数为m，
当点P在点C左侧时，﹣4﹣m+（﹣2﹣m）+2﹣m＝9，
解得m＝﹣，符合题意；
当点P在点C，A之间时，m﹣（﹣4）+（﹣2﹣m）+2﹣m＝9，
解得m＝﹣5，不合题意，舍去；
当点P在AB之间时，m﹣（﹣4）+m﹣（﹣2）+2﹣m＝9，
解得m＝1，符合题意；
当点P在点B的右侧时，m﹣（﹣4）+m﹣（﹣2）+m﹣2＝9，
解得m＝，不符合题意，舍去；
综上，点P所表示的数为﹣或1；
（2）∵点B、点C在数轴上所表示的数互为相反数，
∴b+c＝0，
由图可知，点A离点C更近，
∴c＜a＜0＜b，
①a（b+c）+ac＝ac＞0；
②|c+a|﹣|a+b|．
＝﹣c﹣a﹣a﹣b
＝﹣2a＞0．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
27．（2021秋•定海区期末）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且满足（m﹣11）2+（n+4）2＝0．
（1）m＝ 11 ，n＝ ﹣4 ；
（2）若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？
（3）若点A、B为线段MN上的两点，且NA＝AB＝BM，点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k，使得PQ﹣kAR的值与它们的运动时间无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出m，n的值；
（2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是﹣4+t，点Q对应的数是11﹣2t，根据PQ＝6，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由A，B，M，N四点间的关系可找出点A，B对应的数，当运动时间为t秒时，点P对应的数是﹣4﹣3t，点Q对应的数是11+4t，点R对应的数是6+5t，利用数轴上两点件的距离公式可得出PQ，AR的长度，进而可得出PQ﹣kAR＝15﹣5k+（7﹣5k）t，再结合PQ﹣kAR的值与它们的运动时间（t）无关，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵|m﹣11|+（n+4）2＝0，
∴m﹣11＝0，n+4＝0，
∴m＝11，n＝﹣4．
故答案为：11，﹣4；
（2）当运动时间为t秒时，点P对应的数是﹣4+t，点Q对应的数是11﹣2t，
依题意得：|﹣4+t﹣（11﹣2t）|＝6，
解得：t＝7或t＝3，
答：经过7秒或3秒后P，Q两点相距6个单位长度；
（3）∵A，B为线段MN上的两点，且NA＝AB＝BM，
∴点A对应的数是﹣4+5＝1，点B对应的数是11﹣5＝6．
当运动时间为t秒时，点P对应的数是﹣4﹣3t，点Q对应的数是11+4t，点R对应的数是6+5t，
∴PQ＝（11+4t）﹣（﹣4﹣3t）＝15+7t，AR＝（6+5t）﹣1＝5+5t，
∴PQ﹣kAR＝15+7t﹣k（5+5t）＝15﹣5k+（7﹣5k）t，
∴当k＝1.4时，PQ﹣kAR与它们的运动时间无关，为定值，该定值为8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出m，n的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）利用数轴上两点间的距离，找出PQ﹣kAR与t之间的关系．
28．（2020秋•鹿城区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据数轴即可确定点P对应的数；
（2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别求出x的值即可．
（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边时，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．
【解答】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P是线段AB的中点，
∵点A、B对应的数分别为﹣1、3，
∴点P对应的数是1；
（2）①当点P在A左边时，﹣1﹣x+3﹣x＝8，
解得：x＝﹣3；
②点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝8，
解得：x＝5，
即存在x的值，当x＝﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）①当点A在点B左边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则3+0.5t﹣（2t﹣1）＝3，
解得：t＝，
则点P对应的数为﹣6×＝﹣4；
②当点A在点B右边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则2t﹣1﹣（3+0.5t）＝3，1.5t＝7
解得：t＝，
则点P对应的数为﹣6×＝﹣28；
综上可得当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是﹣4或﹣28．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．