四川省成都市2023_2024学年高一数学上学期10月阶段性测试试题无答案

这是一份四川省成都市2023_2024学年高一数学上学期10月阶段性测试试题无答案，共6页。试卷主要包含了已知，则在上的投影向量为，在空间中，定义向量的外积等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于（ ）
A．5B．2C．D．
2．已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，分别是的中点．设，则向量可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，在底面的射影是的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
6．在三棱锥中，两两垂直，为棱上一动点，．当与平面所成角最大时，到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．3
7．如图，在四面体中，是中点，是中点．在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
8．在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模，（表示向向的夹角）．
在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（ ）
①②
③④
A．1B．2C．3D．
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．空间向量，则下列选项中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点关于坐标平面的对称点的坐标为
B．点在平面面上
C．表示一个与坐标平面平行的平面
D．若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则有
11．在正三棱柱中，；点是线段的中点，点满足，其中，则（ ）
A．当时，有且仅有一个点，使得
B．当时，有且仅有两个点，使得
C．当时，有
D．当时，过且与直线和直线所成角都是的直线有四条
12．如图，在长方形中，为的中点，将沿向上解折到的位置，连接；在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．四棱锥体积的最大值为B．的中点的轨迹长度为
C．与平面所成角相等D．三棱锥外接球的表面积有最小值
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，则______．
14．为了测量一斜坡的坡度（坡度即坡角的正切值，坡角是坡面与水平面的夹角），小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且到直线的距离到直线的距离，则该斜坡的坡度是______．
15．如图，已知正方体的棱长为1，、、分别是棱的中点，设是该正方体表面上的一点，若；则点的轨迹所形成的长度是______．
16．已知点在直径为2的球面上，过点作球的两两垂直的三条弦，若．则的最大值为______．
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，
（1）求点到直线的距离．
（2）判断点是否共面，并说明理由．
18．（12分）如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．
（1）求对角线的长度．
（2）计算与夹角的余弦值．
19．（12分）如图．在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
20．（12分）如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：面面；
（2）若为上的一点，点到面的距离为，求的值及平面和平面夹角的余弦值．
21．（12分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直．
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面的距离为，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值?并求出最大值．
22．（12分）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．如图，在菱形中，，将沿翻折，使点到点处．分别为的中点，且是与的公垂线．
（1）证明：三棱锥为正四面体；
（2）若点分别在上，且为与的公垂线．
①线的值；
②记四面体的内切球半径为，证明：．