四川省成都市2023_2024学年高一数学上学期10月月考检测试题含解析

这是一份四川省成都市2023_2024学年高一数学上学期10月月考检测试题含解析，共16页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知命题，使得，则为， 已知集合．则， 已知，则的最小值为， 下列关系中正确的是， 若，下列不等式一定成立的有等内容，欢迎下载使用。
一. 单选题
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
2. 已知命题，使得，则为（）
A. ，都有B. ，使得
C. ，都有D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.
【详解】因为，使得，
所以为：，都有.
故选：C.
3. 已知集合．则（）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】因为集合或，
，
所以或，
故选：C
4. 已知​，​，​，下列关系正确的是（）
A. ​B. ​C. ​D. ​
【答案】D
【解析】
【分析】应用作差比较法.
【详解】​，
​，
故选：D.
5. “”是“不等式对任意的恒成立”的（）条件
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式恒成立，求实数的取值范围，再利用集合的包含关系，判断充分，必要条件.
【详解】当时，对任意的恒成立，
当时，则，解得：，故的取值范围为．
故“”是的充分不必要条件．
故选：A
6. 已知，则的最小值为（）
A. 16B. 18C. 8D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”灵活代换及均值不等式即可求解.
【详解】解：因，所以，
又因为，
所以
（当且仅当即时等号成立），
故选：B.
7. 甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（）
A. 甲B. 乙C. 一样低D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.
【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
8. 已知函数​其中​是实数​中，​的取值范围是​，若关于​的不等式​的解集为​，则实数​的值为（）
A. ​B. ​C. ​D. ​
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数值域可得，再利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即得.
【详解】因为的取值范围是，则，解得，
因为不等式的解集为，
令，即，则此方程的两根为，，
且，解得，而，
于是，
即，解得，
所以实数的值为16.
故选：A
9. 下列关系中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空集的定义和性质，依次判断即可
【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；
选项B：中只有一个元素，故B正确；
选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确
故选：BCD
10. 若，下列不等式一定成立的有（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用作差法逐项判断.
【详解】A项，，故正确；
B项，，故错误；
C项．，故正确；
D项．，分母正负号不确定，故错误；
故选：AC
11. 下列命题中的真命题有（）
A. 当​时，​的最小值是​
B. ​的最小值是​
C. 当​时，​的最大值是​
D. 若正数​，​为实数，若​，则​的最大值为​
【答案】AC
【解析】
【分析】选项ABC，利用基本不等式求解最值，注意“正、定、等”的分析；选项D，利用“1”的代换转化应用基本不等式求解最值.
【详解】对于选项A，因为，则，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B，因为
，
等号成立的条件是，无解，所以等号取不到，
即恒成立，
显然最小值大于，故选项B错误；
对于选项C，因为，则，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D，由，可得，
故
，
当且仅当，即时取等号，故选项D错误
故选：AC.
12. 已知关于​的一元二次不等式​的解集为​，则下列说法正确的是（）
A. 若​，则​，​
B. 若​，则关于​的不等式​的解集也为​
C. 若​，则关于​的不等式​的解集为​或​
D. 若​，​为常数​，且​，则​的最小值为​
【答案】ACD
【解析】
【分析】A项，结合二次函数图象可得；B项，分析二次项系数异号时解集情况可知；C项，由不等式的解集可得方程的根，从而得到系数的关系，代入可解新的不等式；D项，结合二次函数图象得系数的等量关系，消元代入所求式子，将换元看成一个整体，利用基本不等式可求最值.
【详解】A项，由题意知，
若​，则无解，即恒成立，
故二次函数开口向下，且与轴无交点，或有且仅有一个公共点，
故​，​，故​A正确；
B项，由题意知，设​，
则​，​，​，
设不等式的解集为，
若​，则不等式​，
则​，解集，故 ​B错误；
C项，若一元二次不等式解集为​，
则是方程的两根，
则由韦达定理知​，且​，
​，不等式​可化为
，即，由，
解得​或​，
​不等式​的解集为​或​，故 C正确；
D项，若一元二次不等式​的解集为​，​为常数​，
且​，
故二次函数图象开口向上，且与轴有且仅有一个公共点，
​且​，​，
设​，则​，
则​
当且仅当​，即​，​时取等号，
​的最小值为​，故​D正确.
故选：ACD.
二．填空题
13. 已知集合，定义集合运算，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由新定义运算求解，
【详解】由题意知，集合
则a与b可能的取值为0，2，3，
∴的值可能为0，2，3，4，5，6，
∴
故答案为：
14. 若集合，若的真子集个数是3个，则的范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得方程有两个不相等的根，所以，从而可求出的范围
【详解】因为集合的真子集个数是3个，所以集合中有两个元素，
所以方程有两个不相等的根，
所以，解得，且，
即的范围为，
故答案为：
15. 若，，，则的取值范围为__________
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质运算即可得解.
【详解】解：设，则，
解得：，，则，
而由，可得，
再由，可得，
所以，
即，可得.
故答案为：.
16. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果.
详解】由，可得，
由题意当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，为，则，
此时，与矛盾；
当时，即，不等式的解集为，不符合题意；
当，即时，不等式的解集为；
若满足解集中仅有四个整数，可能为，或，
当为时，则，且，无解，
当整数解为时，，且，
解得；
综上知，实数的取值范围是.
故答案为：
三. 解答题
17. 已知集合，，
（1）求；
（2）求，.
【答案】（1）或
（2），或
【解析】
【分析】（1）利用不等式的解法、补集的概念运算即可得解.
（2）利用不等式的解法、集合的运算分析运算即可得解.
【小问1详解】
解：由题意，，
∴或.
【小问2详解】
解：由题意，，
或，
∴，或.
18. 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，问：
（1）设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用=）
（2）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）
【答案】（1）
（2）最多使用10年报废
【解析】
【分析】（1）根据题意，即可求得年平均费用y关于x的表达式；
（2）由，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用年时，总的维修费用为万元，
所以关于的表达式为.
【小问2详解】
解：因为，所以，
当且仅当时取等号，即时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.
19. 已知命题，为假命题.
（1）求实数取值集合；
（2）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，故.
【小问2详解】
解：由题意可知.
当时，则，解得，此时成立；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
20. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集为或，得到1和是方程的两个实数根求解.
（2）根据，由，利用基本不等式求得最小值即可.
【小问1详解】
解：因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.
21. 已知命题​，​成立​命题​：对​，​，​，都有​成立​
（1）若命题​为真命题，求​的取值范围​
（2）若命题​和命题​有且只有一个命题是真命题，求​的取值范围​
【答案】（1）
（2）​或​
【解析】
【分析】（1）将分母看成整体，将式子配凑成可用基本不等式求最值的形式，再求解即可；
（2）分真假与真假两类情况分别求解，最后求并集.
【小问1详解】
因为命题​为真命题，
则对​，​，​，都有​成立​
因​，所以​，
因为​​
​，
当且仅当，即​时等号成立，
要使​恒成立，则​，
即​.
【小问2详解】
由命题​为真命题，则方程在内有解
得​，解得​或​，
当命题​为真命题时，命题​为假命题，
可得​或​，
当命题​为假命题时，命题​为真命题，
可得​，
综上所述：​的取值范围是​或​
22. 已知函数．
（1）若不等式的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求m取值范围．
【答案】（1）；
（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；
（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集
（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．
【小问1详解】
根据题意，当，即时，，不合题意；
当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
即，故时，或.
故 ．
【小问2详解】
，即，
即，
当，即时，解集为；
当，即时，，
，
解集为或；
当，即时，，
，
解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为或.
【小问3详解】
，即，
恒成立，
，
设则，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
．
【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.