四川省遂宁市遂宁中学2024-2025学年高三上学期10月月考（一诊模拟）数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ）
A. B. C. D. 3
3. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. D.
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
5. 已知角满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数在区间内恰有3条对称轴，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 函数的最小值为
10. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 在内有3个极值点D. 在区间上的最大值为
11. 如果项数有限的数列an满足，则称其为“对称数列”，设bn是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（ ）
A. 若，则B. 若，则bn所有项的和为
C. 当时，bn所有项的和最大D. bn所有项的和不可能为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数，则______．
13. 已知，设函数，则______．
14. 如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3:4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是______________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，函数.
（1）求的最小正周期;
（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
16. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望.
参考公式：，其中．
参考数据：
17. 已知数列的首项为，且满足，数列满足，且．
（1）求，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求．
18. 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，，，为的内角，，的对边，且满足．
（1）证明：；
（2）若，设，，，求四边形面积最大值．
19. 设函数．
（1）已知对任意恒成立，求实数k的取值范围；
（2）已知直线l与曲线分别切于点，其中．
①求证：；
②已知对任意恒成立，求的最大值．
平均车速超过人数
平均车速不超过人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
0.15
010
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7879
10.828