2023届四川省遂宁市安居育才中学高三上学期“一诊”模拟考试数学（文）试题含解析

2023届四川省遂宁市安居育才中学高三上学期“一诊”模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合与交集的含义即可得到答案.

【详解】根据集合表示纵坐标为1的点集，集合表示横坐标为0的点集，

所以两者交集为，

故选：B.

2．若复数，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】先进行计算求出复数，再根据复数的模公式求.

【详解】因为复数，

所以．

故选：B．

3．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．5 D．9

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.

【详解】如图，

设抛物线的准线为，过作于，过作于，

因为，所以当，，三点共线时，

取得最小值，故的最小值为．

故选:A.

4．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角的余弦公式以及可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】因为，则，，

因为，所以，解得．

所以．

故选：C.

5．某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：

由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（    ）A．105 B．104              C．103              D．102

【答案】A

【分析】设出第4周的治愈人数为，得到样本中心点，代入回归方程，即可求出.

【详解】设第4周的治愈人数为，

，

样本中心点为

将代入中，，

解得：.

故选：A

6．设双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据题意可得，然后由可求出离心率.

【详解】由双曲线方程可得其焦点在x轴上，

因为其一条渐近线为，

所以，

所以．

故选：B．

7．若满足，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将化为，然后就是一个斜率型的线性规划，作图计算即可.

【详解】由题可知，表示图中阴影部分表示与阴影部分内的点的连线的斜率

如图所示，为的交点为，当与连线时，此时斜率最大为,可取到；当过的直线与平行是斜率最小为，取不到；故.

故选:D

8．已知函数的图象如图所示，当时，有，则下列判断中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据的定义域为得到，排除A选项；

根据，得到，再结合时，得到，排除D选项；

根据，得到，排除C选项.

【详解】由图象可得，定义域为，所以可能是的解，也可能是的解，

当是的解时，，此时的解为，跟题意不符；

当是的解时，，符合要求，所以，故A错；

因为，，，所以，

当时，，而，所以的符号在时不变，则的符号也不变，所以只能大于零，即，故D错；

因为，，所以，即，故B正确，C错.

故选：B.

9．函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由对称性求得的解析式，方法1：换元后画图研究交点个数可得m的范围；

方法2：直接画的图象研究交点个数可得m的范围.

【详解】∵ ，

∴关于对称，

∴，，解得：，，

又∵ ， ∴，

∴

方法1：， ，即：，，

设，

则在有两个实根，

即：在有两个交点，

如图所示，

当时，，

∴ ，即：，

故选：A.

方法2：∵在有两个实根，

∴在有两个交点，

如图所示，

当时，

∴，即：即：，

故选：A.

10．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（    ）.

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可.

【详解】为偶函数，为奇函数，且①

②

①②两式联立可得，.

由得，

∵在是增函数，且，在上是单调递增，

∴由复合函数的单调性可知在为增函数，

∴，

∴，即实数的最大值为

故选：D.

11．设半径为的球面上有四点，且两两垂直，若，则球半径的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】A

【分析】设，由两两垂直得，由结合均值不等式即可求的最小值.

【详解】设，两两垂直，∴，

，当且仅当a=b=c等号成立即.

故选：A

12．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断的大小关系.

【详解】构造，，

，

在时为减函数，

且，

所以在恒成立，

故在上单调递减，

所以，

即，所以，即.

故选：.

二、填空题

13．已知向量，，若，则______．

【答案】5

【分析】因，则，据此可得答案.

【详解】因为，所以，解得．

故答案为：

14．若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______．

【答案】

【分析】根据给定条件，确定函数的个数，再求出满足的函数个数即可计算作答.

【详解】因函数的定义域和值域分别为和，则函数有6个，它们是：

；；；

；；，

满足的函数有2个数，它们是或，

因此满足的函数有4个，所以满足的函数概率是.

故答案为：

15．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

（2）若外一条直线与内一条直线平行，则和平行；

（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

（4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直.

以上说法正确的是___________.（㝍出序号）

【答案】（1）（2）

【分析】由面面平行的判定定理可知（1）正确；由线面平行的判定定理可知（2）正确；显然和所成的角可以是直角，也可是锐角或钝角，所以（3）错误；由线面垂直判定定理可知，垂直于两条相交直线时，直线才与平面垂直，即（4）错误.

【详解】对于（1），若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，由面面平行的判定定理可知，平行于，所以（1）正确；

对于（2），若外一条直线与内一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，和平行，所以（2）正确；

对于（3），和相交于直线，若内有一条直线垂直于，这时和所成的角可以是直角，也可是锐角或钝角，所以（3）错误；

对于（4），若与内的两条直线垂直，则直线与不一定垂直，可以相交，也可以在内，只有与内的两条相交直线垂直时，直线与垂直.所以（4）错误；

故答案为：（1）（2）

16．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，以及的范围，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.

【详解】根据题意，令，解得或，不妨设

作图如下：

又直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；

且为方程，即的两根，

当时，，则，

故；

为方程，即的两根，

当时，，则，

故；

则，

令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，

又，故，即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得，和的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.

三、解答题

17．已知等差数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为d，然后根据题意列出关于的方程组，解出，从而可求出通项公式；

（2）根据通项公式可判断出当时，，当时，，然后分情况讨论求解即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

由题意可得，

解得，

故．

（2）设数列的前n项和为，则．

当时，；

当时，，则

．

综上，.

18．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

(1)现在用分层抽样的方法在第二，三组共选取5人参加传染病知识学习，若从参加学习的5人中随机选取2人参加考试，求恰有一人来自第二组的概率；

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

附：

，其中．

【答案】(1)

(2)填表见解析；没有

【分析】（1）根据分层抽样确定抽取人数，然后列举出所有结果，由古典概型概率公式可得；

（2）根据公式计算，然后查表可得.

【详解】（1）根据分层抽样方法，

第二组抽取人数为，第三组抽取人数为，

假设第二组2人为，；第三组3人为，，，

从5人中抽取2人有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，

共10种选择，恰有一人来自第二组有6种，

故恰有一人来自第二组的概率为；

（2）根据分层抽样方法，

潜伏期不超过6天的抽取人数为，

潜伏期超过6天的抽取人数为，

根据题意补充完整的列联表如下：

则，

所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)若，求的周长；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)18

(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角可求出，结合余弦定理，由代换，求得，进而得解；

（2）由正弦定理，代换得，求出，可解得，由正弦面积公式即可求解.

【详解】（1）因为，所以．

又，所以，即．又，所以．

，

解得，则．故的周长；

（2）因为，所以．

由，，得，解得，．

故的面积．

20．是等腰直角三角形，且，四边形是直角梯形，，，且，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)若点是线段上的一个动点，问点在何位置时三棱锥的体积为.

【答案】(1)证明见解析；

(2)在PB中点

【分析】（1）直角梯形中由几何关系得，可由面面垂直证平面，再证，即可由线线垂直证平面；

（2）设，由平面得到平面PAD的距离，由列方程解得参数即可.

【详解】（1）证明：直角梯形中，，，且，则，由得，

∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，

又，平面，∴平面；

（2）设，∵平面，则到平面PAD的距离d有：，

等腰直角三角形，且，则，

∴.

故点在PB中点时三棱锥的体积为.

21．已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最大值；

（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．

【详解】（1）时，，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

则当时，取得最大值

（2），，则，

当时，，在单调递增，

且，则当时，，不符合要求.

当时，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

则当时，取得最大值

则由恒成立，可得成立，

令

则

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

则当时，取得最小值

则恒成立，（当且仅当时等号成立）

则的解集为

则a的取值范围为．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），的参数方程为（t为参数）.

(1)求的普通方程并指出它的轨迹；

(2)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：与曲线的交点为O，P，与的交点为Q，求线段的长.

【答案】(1)答案见详解；

(2).

【分析】（1）消去，即可求得的普通方程为，轨迹为圆，又，方程为，可知轨迹为上半圆及其与轴的两个交点；

（2）根据（1）可求得的极坐标方程为，，代入，可求得.将的参数方程化为普通方程后，可求得极坐标方程，代入，可求得，进而求出线段的长.

【详解】（1）由已知可得，，则，

又，所以，则.

所以的普通方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆的上半圆以及其与轴的两个交点，.

（2）由曲线化为极坐标方程：，.

把代入可得，所以.

的参数方程为（t为参数），消去参数可得，

可得极坐标方程为，把代入方程可得，所以，所以.

又三点共线，且有.

23．已知函数的最大值为.

(1)求的值；

(2)若，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用分段函数的单调性求出函数的最大值，即可得到答案；

（2）利用均值不等式得到，计算即可.

【详解】（1）由于，

当时，，

当时，，

当时，

所以

（2），即，

时等号成立，故，有最大值为.