四川省遂宁市第二中学校2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷（二）及答案

四川省遂宁市第二中学校2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷（二）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（    ）

A．城镇人口数逐次增加

B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多

C．城镇人口比重逐次增加

D．乡村人口数逐次增加

3．已知命题：“”；命题：“函数单调递增”，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件

4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

5．执行下侧所示的程序框图，输出的值为（    ）

A．30 B．70 C．110 D．140

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知离心率为的双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的方程是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，，则的大小关系为（    ）

A．  B．  C． D．

9．已知函数是偶函数，，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（    ）

A．28 B．32 C．36 D．40

11．某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，其中．给出以下命题：

①若在上有且仅有1个极值点，则；

②若在上没有零点，则或；

③若在区间上单调递增，则或．

其中所有真命题的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题

13．若 ​的展开式中​的系数为 150 ， 则​__________

14．双曲线 ​的左顶点为​， 右焦点​， 若直线​与该双曲线交于​两点，​为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________

15．若数列对任意满足：，则数列的前项和为_________．

16．已知函数， 任取​， 记函数​在上的最大值为​， 最小值为， 设， 则函数的值域为__________

三、解答题

17．第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查．某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：

(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？

(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户．若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为，求的分布列和数学期望．

附表及公式：

其中，．

18．在 中，，，分别为角、、的对边，．

(1)求 ；

(2)若角 的平分线交于， 且，， 求．

19．已知数列 ​的前​项和为​， 且​， __________．请在​成等比数列;​， 这三个条件中任选一个补充在上面题干中， 并解答下面问题．

(1)求数列 ​的通项公式;

(2)设数列 ​的前​项和​， 求证：​．

20．如图， 四棱锥 中， 侧面底面， 底面为梯形，， 且，．作交于点， 连接交于点．

(1)设 是线段上的点， 试探究： 当在什么位置时， 有平面;

(2)求平面 与平面所成二面角的正弦值．

21．已知函数（其中）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)对任意都有成立，求实数a的取值范围．

22．在直角坐标系 中， 曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线的极坐标方程为．

(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;

(2)已知点的直角坐标为， 直线与曲线相交于，两点， 求的值．

23．已知函数．

(1)求不等式​的解集;

(2)设​的最小值为​．若正实数​满足​， 求​的最小值．

参考答案：

1．D

【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.

【详解】，故.

故选：D

2．D

【分析】根据给定的条形图，结合选项，逐个判定，即可求解.

【详解】根据给定的条形图，可得城镇人口在逐年增加，所以A正确；

从给定的条形图象，可得再历次人口普查中第七次普查城镇人口最多的，所以B正确；

从图表中的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为，

，可知城镇人口比值逐次增加，所以C正确；

由图表，可得乡村人口先增加后减少，所以D不正确.

故选：D。

3．A

【分析】通过导数研究的单调性，以此判断命题p与的关系即可.

【详解】当时，，因，，

则，得单调递增，有，即p是的充分条件.

当函数单调递增，有恒成立，

得，有不能推出p（a可以等于1）.即p不是的必要条件.

综上：p是的充分不必要条件.

故选：A

4．A

【分析】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.

【详解】，即，则，.

故.

故选：A

5．B

【分析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】根据程序框图得到：开始，；；；

；；，结束.

故选：B

6．D

【分析】先根据偶函数性质排除B，再考虑当且时，，排除A.再用特殊值法排除C，即可得答案.

【详解】解：令，则函数定义域为 ，且满足，故函数f(x)为偶函数，排除选项B；

当且时，，排除选项A；

取特殊值时，，排除选项C.

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.

7．B

【分析】由抛物线的焦点得到，再由双曲线的离心率求得，即可得出的方程。

【详解】抛物线的焦点为，所以双曲线的，又因为双曲线的离心率为，则，则，，则的方程是：.

故选：B.

8．B

【分析】根据题意可判断出，在比较的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，由于，即比较小于，把与同时五次方即可比较出大小.

【详解】，，，，故.

故选：B.

9．C

【分析】化简函数，根据是偶函数，求得，得到，得到，根据题意转化为在有两个不相等实根，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数

因为是偶函数，则，可得，解得，

所以，所以，

若关于的方程在有两个不相等实根，

即在有两个不相等实根，

由，则，

又由，所以，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

10．C

【分析】本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值.

【详解】因为是偶函数，所以，

用代替可得：，所以，

所以函数关于直线对称，

又因为，所以，

所以，所以关于点中心对称，

所以函数的周期为，

因为当时，（且），且，

所以，解得：或，因为且，所以.

所以当时，，

所以，，，

，，，

，所以，

所以,

故选：.

11．C

【分析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，由勾股定理可得出，分析得出，可设，，其中，可得出，令，，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出的长，进而可求得结果.

【详解】如下图所示，可知四棱锥为正四棱锥，设，则球心在直线上，

设，，则，

由勾股定理可得，即，

当四棱锥的体积最大时，则点在线段上，则，

可设，，其中，

，

令，，

则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，所以，，

此时，，则，

因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是.

故选：C.

12．D

【分析】对于①，先整理得，再结合正弦函数的性质得到，从而得以判断正误；

对于②，先由正弦函数的性质得到，从而分析得，即或，从而可求得的取值范围.；

对于③，先由正弦函数的单调区间得到，从而分析得，即或，从而可求得的取值范围.

【详解】,

对于①，因为在上有且仅有1个极值点，则在上只有一个最值，

因为，所以，

令，则，则在上只有一个最值，

所以，得，故①正确；

对于②，因为，所以，令，则，

因为在上没有零点，则在上没有零点，

所以，故，

因为，所以，即，

又由，得，故，

又，所以或，

当时，，所以；当时，；

综上：或，故②正确；

对于③，因为，所以，令，则，

因为在区间上单调递增，则在上单调递增，

因为在上单调递增，

所以，故，

因为，所以，即，

又由，得，故，

又，所以或，

当时，，所以；当时，；

综上：或，故③正确.

故选：D.

13．15

【分析】根据二项展开式的通项公式可得，令​， 得，再求项的系数即可得解.

【详解】​的展开式的通项公式为​，

 令​， 得​，

所以展开式中​的系数为​，

所以​，

故答案为：

14．2

【分析】先由​为等腰直角三角形，得到​，解得​，直接求出离心率.

【详解】联立 ​， 可得​， 则​，

因为点 ​关于​轴对称， 且​为线段​的中点， 则​.

又因为 ​为等腰直角三角形， 所以，​， 即​，

即 ​， 所以，​， 可得​，

因此， 该双曲线的离心率为 ​．

故答案为：2

15．

【分析】本题首先可通过得出，然后两式相减，得出，再然后根据得出，最后通过裂项相消法求和即可得出结果.

【详解】当时，，

，

两式相减，得，，

当时，满足，

故，

则，

数列的前项和，

故答案为：.

16．

【分析】根据的周期得到的周期，将，的值域转化为，的值域，然后分，，，，，，六种情况得到的解析式，最后结合图象求值域即可.

【详解】因为， 其中，分别是指在区间上的最大值和最小值，

因为的周期， 故在区间的图象与在区间上的图象完全相同，

故，，故， 即是周期为 4 的函数， 故，的值域与，时的值域相同；

又在单调递减，单调递增，在单调递减，

故当时，在区间上的最大值为，最小值为， 此时；

当时，在区间上的最大值为， 最小值为，此时；

当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时；

当时，在区间上的最大值为 1 ，最小值为，此时；

当时，在区间上的最大值为1，最小值为，此时；

当时，在区间上的最大值为，最小值为，此时；

故在的函数图象如下所示：

数形结合可知，的值域为．

17．(1)表格见解析，有；

(2)分布列见解析，2.

【分析】（1）根据已知条件，补充列联表，根据参考公式求得，即可判断；

（2）求出随机变量的取值，以及对应的概率，写出分布列，再求数学期望即可.

【详解】（1）补充后的列联表为：

，

因此，有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系．

（2）这6户中户主45岁以上2户，45岁及以下4户，则的可能值为1，2，3，

则，，．

的分布列为

所以，的数学期望．

18．(1)​；

(2)​．

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换得到，然后根据正弦的和差公式得到，再进行边角互换得到，最后利用余弦定理求即可；

（2）根据角平分线定理得到，然后利用等面积的思路得到，解方程即可得到，，最后利用余弦定理求即可.

【详解】（1）因为，

所以，

即，

即，所以，

因为，所以.

（2）因为角 ​的平分线​交​于​， 且，

由角平分线定理得：，又，

即，

所以，即，所以，，

由余弦定理得，，所以.

19．(1)任选一条件，都有​；

(2)证明见解析

【分析】（1）根据得到数列​是首项为​， 公差为 1 的等差数列，然后利用等差数列的通项公式或前项和公式列方程求解即可；

（2）利用错位相减法得到，即可得到，然后根据得到数列是递增数列，即可得到.

【详解】（1）因为， 所以​， 即​，

所以数列​是首项为​， 公差为 1 的等差数列， 其公差​．

若选，

由， 得​， 即，

所以， 解得​，

所以， 即数列​的通项公式为；

若选，，成等比数列，

由，，成等比数列， 得​，

则， 所以​， 所以；

若选，

因为，所以​， 所以​，

所以.

（2）由题可知，所以，

，

两式相减得

，

所以，

所以，又，

所以数列是递增数列，，故.

20．(1)当点 ​是线段​上靠近点​的三等分点时， 有​平面​．

(2)​．

【分析】（1）根据，得到，，即可推出平面∥平面，然后根据面面平行的性质即可得到∥平面；

（2）利用空间向量的方法求二面角即可.

【详解】（1）

当点是线段上靠近点的三等分点时，有∥平面．

证明： 取线段靠近点的三等分点，取线段靠近点的三等分点， 连接交于点．由底面为梯形，，，

所以， 则，又，所以，，

而平面，平面，平面，平面，则∥平面，∥平面，

又，所以平面∥平面,

又平面，所以∥平面．

（2）

因为，，即为正三角形，

又，，所以为正三角形，所以，

由平面平面，，平面，平面平面，得平面,

因为平面，平面，所以，，

于是，以为坐标原点， 可建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

，令，则，，即，

平面的一个法向量为，

设面 与面所成二面角的平面角为， 则

，因为，所以，

故平面 与平面所成二面角的正弦值为.

21．(1)答案见解析

(2)

【分析】(1)求出函数的导数，根据的正负进行分类讨论.

(2) 任意都有成立，代入进行参变分离，得，构造新函数，求最值即可求得.

【详解】（1）由题意得，，

当时，恒成立，在单调递增.

当时，，，在上单调递增，

，，在上单调递减.

（2）任意都有成立，即，

即，令， ，令，则在上恒成立，即 在上单调递增.又，故在 内有零点，设零点为，当时，，当时，，

所以，则，所以，设，，所以在单调递增，，即，所以，所以，所以.

【点睛】导数中常用的转换方法，利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题解决.

22．(1)曲线 ​的普通方程为​；直线​的直角坐标方程为​

(2)​

【分析】（1）根据线的普通方程，根据，，得到直线的直角坐标方程；

（2）根据点在直线上得到直线的参数方程，然后根据直线的参数方程中参数的几何意义求即可.

【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为，

由得，所以，

∵，，

∴直线的直角坐标方程为.

（2）设直线的参数方程为（为参数），

点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理可得，，

设，是方程的两个实数根，

∴，，

∴.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分、和三种情况解不等式即可；

（2）根据的单调性得到，然后利用柯西不等式求最值即可.

【详解】（1）①当时，，

由，解得，所以；

②当时，，

由，解得，所以；

③当时，，

由，解得，所以，

综上，原不等式的解集为.

（2）由（1）得，

所以在上单调递减，上单调递增，

当时，取得最小值为2，所以，即，

由柯西不等式得，

所以，当且仅当，即，，时等号成立，

所以的最小值为.