河南省部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试卷（含解析）

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1. 直线的一个方向向量为（ ）
A. B. -3,2C. 2,3D.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ）
A B. C. D.
3. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
5. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 若，则的一个方向向量为B. 若，则或
C. 若，则D. 若不经过第二象限，则
10. 下列说法错误是（ ）
A. 若空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 三棱锥的外接球的半径为
C. 当异面直线和所成的角为时，D. 点F到平面与到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________.
13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ________ ．
14. 在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
16. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.

（1）求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.
18. 如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求．
19. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记.
（1）若M在正方体棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值；
（2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值；
（3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值.