2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期10月适应性检测数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期10月适应性检测数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则BM=( )
A. 12a−12b+cB. 12a+12b+cC. −12a−12b+cD. −12a+12b+c
2.已知直线l的一个方向向量n=(−1,2)，且过点(−1,2)，则直线l的方程为( )
A. 2x+y=0B. x−2y+5=0C. x+2y−3=0D. 2x−y+4=0
3.已知a=(2,0,−1),b=(3,−2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 15(3,−2,5)B. 138(3,−2,5)C. 15(2,0,−1)D. 138(2,0,−1)
4.直线l1:ax+3y+2a=0与直线l2:2x+(a−1)y+(a+1)=0平行，则“l1/​/l2”是“a=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要
5.已知两点M3,−1,N2,5，直线l过点P1,1且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. −∞,−1B. 4,+∞
C. −1,4D. −∞,−1∪4,+∞
6.以A2,1，B4,2，C8,5为顶点的三角形的面积等于( )
A. 1B. 45C. 65D. 2
7.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y−7=0和l2:x+y−5=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A. 3 2B. 2C. 2D. 4
8.三棱锥A−BCD满足BC−AC=BD−AD=2，二面角C−AB−D的大小为60∘，CD⊥AB，AB=4，CD=3，则三棱锥A−BCD外接球的体积为( )
A. 7πB. 28πC. 7 7π3D. 28 7π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若a·b>0，则a,b是锐角
C. 已知向量组{a,b,c}是空间的一个基底，则{2a,b,c−a}也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，则P，A，B，C四点共面
10.已知直线l： 3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的一个法向量为 3,1
B. 若直线m：x− 3y+1=0，则l⊥m
C. 点 3,0到直线l的距离是2
D. 过2 3,2与直线l平行的直线方程是 3x−y−4=0
11.已知点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，则以下说法正确的是( )
A. 当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45∘的点P的轨迹为椭圆
D. 若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF//平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l的斜率k∈[1, 3)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ．
13.过点2,−1且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ．
14.设m∈R，过定点A的动直线x+2+my−7=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点Px,y，则PA+PB的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l:a−1y=2a−3x+1．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知直线l1：2x−(a−1)y−2=0，l2：(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R).
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1// l2，求l1，l2之间的距离．
17.(本小题12分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，∠DAB=90∘，AD/​/BC，E，F，G分别为A1B1，A1B，CD的中点．
(1)证明：FG/​/平面CD1E.
(2)若A1A=AD=AB=2，BC=1，求二面角B−CD1−E的余弦值．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD，O为BD的中点，▵OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA．
(1)证明：OA⊥BC；
(2)当AO=1时，求点E到直线BC的距离；
(3)若二面角E−BC−D的大小为45∘，求三棱锥E−BCD的体积．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120∘，∠ADC=45∘．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB=AP．
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3344，求线段AB的长．
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
利用空间向量的线性运算进行求解．
【解答】
解： BM=BB1+B1M=BB1+12(A1D1−A1B1)=AA1+12(AD−AB)=c+12(b−a)=−12a+12b+c ．
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量、求直线方程，属基础题．
【解答】
解：因为直线l的一个方向向量n=(−1,2)，
所以直线l的斜率为−2，
又因为直线l过点(−1,2)，
则直线l的方程为y−2=−2(x+1)，即2x+y=0．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查投影向量的计算，属于基础题．
利用投影向量的计算公式计算即可．
【解答】
解：因为a=(2,0,−1),b=(3,−2,5)，则向量b在向量a上的投影为： a⋅b|a|=2×3+0×(−2)+(−1)×5 4+1= 55，
所以向量b在向量a上的投影向量是 55×a|a|= 55×1 5a=15a=15(2,0,−1)．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定及应用，充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
根据两直线平行得a(a−1)=6a(a+1)≠4a，解得a值并结合充要条件的定义即可求解．
【解答】
解：直线l1:ax+3y+2a=0与直线l2:2x+(a−1)y+(a+1)=0平行的充要条件是
a(a−1)=6a(a+1)≠4a，即a=−2；
故“l1/​/l2”是“a=−2”的充要条件．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】先利用斜率公式求出kPM=−1,kPN=4，再由倾斜角斜率取值图象数形结合求得即可．
【详解】
由图象结合题意可知：kPM=1−−11−3=−1,kPN=1−51−2=4，
观察到直线过点P与线段MN有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，
斜率大于或等于直线PM的斜率；
为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线PN的斜率；
所以直线l的斜率k的取值范围是−1,4．
6.【答案】A
【解析】【分析】先求出AB及直线AB的方程，再利用距离公式求出C到直线AB的距离，按照三角形的面积公式即可求解．
【详解】由题意知：AB= 2−42+(1−2)2= 5，直线AB的方程为y−1=2−14−2⋅(x−2)，即x−2y=0，则C到直线AB的距离为8−2×5 12+(−2)2=2 55，
故三角形的面积为12× 5×2 55=1．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了两点间距离公式，点到直线的距离公式的应用，属中等题．
确定过中点M的直线方程，将距离最小值问题转化成点到直线的距离问题即可．
【解答】
解：由题意知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线方程为x+y+c=0，
则|c+7| 2=|c+5| 2，解得c=−6，
∴点M在直线x+y−6=0上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y−6=0的距离，即|−6| 2=3 2．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三棱锥外接球的问题，属于中档题．
设AC=m,AD=n，根据对角线向量的性质列方程求m,n关系，从而可得线线垂直，过C作CE⊥AB，连接DE，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角C−AB−D的平面角，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，从而可得球的体积．
【解答】
解：如图所示，
设AC=m,AD=n，则BC=m+2,BD=n+2，
由向量的运算及余弦定理可得：
CD⋅AB=(AD−AC)⋅AB=AD⋅AB−AC⋅AB
=|AD→|⋅|AB→|cs∠BAD−|AC→|⋅|AB→|cs∠BAC
=|AD|⋅|AB|⋅|AD|2+|AB|2−|BD|22|AD|⋅|AB|−|AC|⋅|AB|⋅|AC|2+|AB|2−|BC|22|AC|⋅|AB|
=AD2+BC2−BD2−AC22，
所以CD⋅AB=n2+m+22−n+22−m22=0，
解得：m=n，故AC=AD,BC=BD，
过C作CE⊥AB，连接DE，则DE⊥AB，
设AE=x，则m2−x2=m+22−4−x2=9，
解得：m=3,x=0，所以点E与点A重合，
故AC⊥AB，AD⊥AB，
即∠CAD为二面C−AB−D的平面角，
故三棱锥可放置成如图所示，
O1为底面正▵ACD的外心，即AO1=3 32×23= 3，
O为A−BCD的外接球球心，即OO1//AB，
为使得OA=OB=OC=OD，故OO1=12AB=2，
所以三棱锥A−BCD的外接球半径R= 3+4= 7，
所以外接球的体积V=43π 73=28 7π3．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查空间向量共面，夹角，空间向量的基本定理，属于中档题．
根据空间向量共面的定义可判断A，利用向量夹角的取值范围可判断B，根据基底的定义可判断C，根据空间向量共面的充要条件可判断D．
【解答】
解：对于A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，故A正确;
对于B，若a⋅b>0，则a,b是锐角或a与b同向，故B错误;
对于C，因为{a,b,c}是空间中的一组基底，所以a，b，c不共面，
假设2a，b，c−a共面，则2a=λb+μc−a，即2=−μλ=0μ=0，矛盾，
所以2a，b，c−a不共面，
所以{2a,b,c−a}可以是空间的一组基底，故C正确;
对于D，因为OP=112OA+14OB+23OC，且112+14+23=1，
所以P，A，B，C四点共面，故D正确;
故选：ACD．
10.【答案】CD
【解析】【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解．
【详解】对于A，因为直线l： 3x−y+1=0的斜率k= 3，
但1 3⋅ 3=1≠−1，可知 3,1不为直线l的一个法向量，故A错误；
对于B，因为直线m：x− 3y+1=0的斜率k′= 33，且kk′=1≠−1，
所以直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点 3,0到直线l的距离d= 3× 3−0+1 32+−12=2，故 C正确；
对于D，过2 3,2与直线l平行的直线方程是y−2= 3x−2 3，即 3x−y−4=0，故 D正确．
故选：CD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查点到平面的距离、空间几何体的体积、空间向量等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由四棱锥的高和底面积判断A；建立坐标系，求出D1P=(x,2−x,−2)，A1C1=(−2,2,0)，利用向量的夹角公式求解判断B；根据直线AP与平面ABCD所成的角为45°，结合正方体的特征判断C；建立空间直角坐标系，求出FP的坐标进行判断．
【解答】
解：对于A，当点P在平面BCC1B1上运动时，点P到面AA1D1D的距离不变，S正方形AA1D1D不变，
∴当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变，故A正确；
对于B，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，
设P(x,2−x,0)，0≤x≤2，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
则D1P=(x,2−x,−2)，A1C1=(−2,2,0)，
设D1P与A1C1所成角为θ，
则csθ=|cs|=|D1P⋅A1C1||D1P|⋅|A1C1|=|x−1| (x−1)2+3，
∵0≤|x−1|≤1，当|x−1|=0时，θ=π2，
当001a−1≤0，解得a0)，则E0,13,2t3，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，
设平面BCE的法向量为n=x,y,z，又BC= 32,32,0,BE=0,43,2t3,
所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得 32x+32y=043y+2t3z=0,
令x= 3，则y=−1，z=2t，故n=( 3,−1,2t)，
因为二面角E−BC−D的大小为45∘，
所以csn,OA=|n⋅OA||n||OA|=2t 4+4t2= 22，
解得t=1，所以OA=1，
又S▵OCD=12×1×1× 32= 34，所以S▵BCD= 32，
故三棱锥E−BCD的体积VE−BCD=13S▵BCD⋅2t3=13× 32×23= 39．

【解析】(1)由平面ABD⊥平面BCD，证得AO⊥平面BCD，进而证得AO⊥BC；
(2)取OD的中点F，过O作OM//CF与BC交于点M，可得OM，OD，OA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出csBC,BE，可得sinBC,BE，点E到直线BC的距离为|BE|sinBC,BE，计算即可；
(3)设A0,0,t(t>0)，求出平面BCD和平面BCE的法向量，由二面角E−BC−D的大小为45∘求出t的值，进而可求出三棱锥的体积．
19.【答案】(1)
在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)
如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系A−xyz，
设AB=t，则AP=t，由AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120∘，∠ADC=45∘，
则Bt,0,0，P0,−t2, 3t2，因AD=5−t，则D0,5−t,0，C1,4−t,0，
所以CP=−1,t2−4, 3t2，CD=−1,1,0
①设平面PCD的法向量为n=x,y,z，由n⊥CP，n⊥CD，得：
−x+t−82y+ 3t2z=0−x+y=0，可取n=1,1,10−t 3t
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则有：sinθ=csn,BP，BP=−t,−t2, 3t2，
即： 3344=−t−t2+10−t2 1+1+10−t 3t2 t2+t24+3t24，化简得：23t2−116t+140=0，
解得t=2或t=7023，即AB=2或AB=7023
②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45∘，所以∠CGD=90∘，
所以GD=CDcs45∘=1，
又AB=t得AD=5−t，AG=AD−GD=4−t，所以G0,4−t,0，P0,−t2, 3t2
由GP=GD得−t2−4−t2+ 3t22=1，即t2−42+34t2=1，
亦即t2−4t+15=0(*)，
因为Δ=−42−4×15