山东省名校考试2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份山东省名校考试2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“x为整数”是“为整数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知命题,;命题,,则( )
A.p和q都是真命题B.和q都是真命题
C.p和都是真命题D.和都是真命题
4．下列不等式中成立的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
5．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
6．如果,那么下列不等式正确的是( )
A.B.
C.D.
7．正确表示图中阴影部分的是( )
A.B.C.D.
8．若,则的最小值为( ).
A.2B.C.4D.6
二、多项选择题
9．若关于x的一元二次不等式的解集为,则( )
A.B.C.D.
10．若非空集合M,N,P满足:,,则( )
A.B.C.D.
11．长方体的长、宽、高分别为a,b,1.长方体的表面积为16.则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．“,”的否定是________.
13．某校学生积极参加社团活动,高一年级共有100名学生,其中参加合唱社团的学生有名,参加科技社团的学生有75名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中,同时参加合唱社团和科技社团的最多有________名学生,最少有________名学生.
14．已知,则的最小值为________.
四、解答题
15．设集合，.
（1）若且，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
16．如图所示,某学校要在长为8m,宽为6m的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,均为xm,中间植草坪.
（1）若中间草坪面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是多少?
（2）为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x的取值范围是多少?
17．已知函数.
（1）若对任意,都有,求实数a的取值范围;
（2）若对任意满足的x,都有,求实数a的取值范围.
18．(1)设,证明：的充要条件为.
(2)设,,,求证：a,b,c至少有一个为负数.
19．（1）设,,求证:,
（2）设,,,求证:,
参考答案
1．答案：A
解析：由x为整数能推出为整数,故“x为整数”是“为整数”的充分条件,
由,为整数不能推出x为整数,故“x为整数”是“为整数”的不必要条件,
综上所述,“x为整数”是“为整数”的充分不必要条件,
故选:A.
2．答案：C
解析：因为,,所以.
故选:C.
3．答案：B
解析：对于p而言,取,则有,故p是假命题,是真命题,
对于q而言,取,则有,故q是真命题,是假命题,
综上,和q都是真命题.
故选:B.
4．答案：B
解析：A.若,则错误,如时,,所以该选项错误;
B.若,则,,所以该选项正确;
C.若,则,,所以该选项错误;
D.若,则,,所以该选项错误.
故选：B
5．答案：D
解析：因为,,所以,
则,,
故选:D.
6．答案：B
解析：由已知,利用基本不等式得出,
因为,则,,
所以,,
.
故选:B
7．答案：C
解析：A选项,如图1,表达的部分为①②③的并集,不满足要求,A错误;
BD选项,如图2,和表达的部分均为②③④部分的并集,不满足要求,BD错误;
C选项,根据计算,满足题意,C正确;
故选:C
8．答案：C
解析：,,,
当且仅当且,即时等号成立,所以的最小值为4,
故选:C.
9．答案：BCD
解析：对于A,由题意,结合二次函数的图象知,抛物线开口应向下,则,故A错误;
对于B,依题意,,且一元二次方程的两根为和3,
由韦达定理,,故,,即,故B正确;
对于C,由上解题思路可得,故C正确;
对于D,由上解题思路可得,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：ABD
解析：由得,由得,所以,B正确;
,A正确;
,C错误;
,D正确.
故选:ABD.
11．答案：BC
解析：由题长方体的表面积为,则.
因为,,得,当且仅当时取等号,
即,所以,得到,所以,故A错误,B正确;
又由,得到,当且仅当时取等号,即,
整理得到,解得,所以C正确,D错误.
故选:BC.
12．答案：,
解析：由命题否定的定义可知,命题“,”的否定是“,”.
故答案为:
13．答案：63;38
解析：设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为x,则,
由题意可得,解得,故,
故同时参加合唱社团和科技社团的最多有63个学生,最少有38个学生,
故答案为:63;38.
14．答案：
解析：.
当且仅当,即时取等号,
的最小值为,
故答案为:.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，且，所以，
解得，，综上所述，a的取值范围为.
（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，所以，
解得或(无解)；.
综上所述，a的取值范围为；
16．答案：（1）1;
（2）.
解析：由题意:中间草坪的长为,宽为,且
中间草坪的面积为,矩形土地的面积,
（1）因为中间草坪面积为矩形土地面积的一半,所以解得:,
所以若中间草坪面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是1
（2）因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半,所以,解得:
所以草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得:,
解得,
所以实数a的取值范围为.
（2）对任意满足的x,都有,
即,
又.所以对恒成立,
由于,当且仅当时取等号,即当时等号成立.
所以,
即实数a的取值范围为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)充分性：若,则,
,
,,
.
必要性：若,
则,,
,
.
(2)方法一：假设,
,
,
,
,,,
,
,与矛盾,
,b,c至少有一个为负数.
方法二：假设,
,
,,,
,,,
,
与矛盾,
,b,c至少有一个为负数.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析
解析：（1）方法一:,,,
,
.
方法二:,,
,,,
,,.
方法三:
,,,
,,,
,
即.
方法四:几何法
如图,做边长为的正方形ABCD,分别在边AD,AB上分别取点E,F,
使得,,
过E做交AD于E,交BC于H,
过F做交CD于G,交AB于F,
直线EH与FG交于点I,
则长方形EDGI的面积,
长方形FBHI的面积,
正方形ABCD的面积,
由图可知,
所以.
方法五:设,.
将y看做内的常数,则函数为一次函数,
又,
.
对于,都有,
即.
.
（2）方法一:,
,
,,,
,,,,.
,
.
方法二:,,,
,,,
,
,
.
,
.
方法三:几何法
做边长为的正方体.
分别在棱AB,AD,上取点E,F,,使得,,,
过E做平面,过F做平面,过做平面,交点见图.
长方体的体积,
长方体的体积.
长方体的体积.
正方体的体积.
,.
方法四:设.
将y,z看做内的常数,对于一次函数,
有,
.
对于,都有,
即.
.