山西省太原市小店区山西大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份山西省太原市小店区山西大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于x的一元二次方程的根是（ ）
A．，B．，
C．D．
2．如果，则（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A．B．2C．D．5
6．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个根满足（ ）
A．B．C．D．
8．在正方形外侧作等边，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（ ）

A．B．C．3D．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程有一个根为1，则实数k的值为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．

13．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的面积为 ．
14．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
15．如图，正方形的对角线与交于点O．等腰直角三角形纸片的直角顶点与O重合，斜边的延长线恰好经过点A，连接，若，，则的长为 ．
三、解答题
16．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2)
17．如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：①，②．
18．如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为，求鸡场的长与宽各为多少米？
19．如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，且．若，，求的度数和线段的长．
20．“山西博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出500件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少10件．
(1)若每件纪念品售价为35元，求这些商店每天销售这种纪念品的利润；
(2)这些商店为了实现每日共有8000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应定为多少元？
21．如图，线段是矩形的对角线．

(1)实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母）
(2)猜想与证明 试猜想四边形的形状，并加以证明．
22． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，．

(1)单选题：这一过程体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
23．综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E．
猜想证明：
（1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论；
操作探究：
（2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若图2中，，将菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离．
1
1.1
1.2
1.3
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．本题中直接利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或，
∴，，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可．
【详解】解：，
设，，
，
故选：C．
3．C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握有三个角均为的四边形是矩形，矩形对角线相等，是解题的关键．
根据矩形的判定与性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是矩形，
∴，一定成立，故B符合要求；
，不成立，故D不符合要求；
，，不一定成立，故A、C不符合要求；
故选：B．
5．C
【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．
【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：
解得，
经检验，是分式方程的解且符合实际意义，
即P点表示的数为．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．
6．C
【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案．
【详解】解：连接，相交于点，
四边形是菱形，
，，，
点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，
，轴，
，
，
点的坐标为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直．
7．B
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可以判断方程时，有一个解满足．
【详解】解：由表格中数据可得，
当时，，
当时，，
∴方程必有一个根满足．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图像与性质是解题的关键．
8．C
【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；由四边形是正方形，是等边三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到，即可解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
又是等边三角形，
，，
∴，
是等腰三角形，，
．
∴
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
10．A
【分析】由矩形的性质得，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作图得，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
11．1
【分析】本题考查一元二次方程的根，把代入方程，建立关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：把代入方程，得
，
解得：，
故答案为：1．
12．4
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案．
【详解】∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．
13．/
【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与勾股定理，先画图，求解，过作于，结合可得答案．
【详解】解：如图，菱形的周长为，
∴，
过作于，而，
∴，
∴，
则在中，由勾股定理得，
∴
∴，
故答案为：．
14．20%
【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可.
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，
根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，
整理得，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；
即该药品平均每次降价的百分率是20%，
故答案为：20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键.
15．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练是解题的关键．
根据等腰直角三角形性质得到，根据正方形性质得到，得到，得到，得到，推出，得到，得到， 求得的长为．
【详解】∵等腰直角三角形中， ，
∴，
∵正方形的对角线与交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得（舍去）．
∴的长为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键；
（1）利用配方法方程两边加1，求解即可；
（2）利用因式分解法把方程左边分解成，再求解即可．
【详解】（1）解：
或
∴；
（2）解：
或
∴．
17．证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
由题意易得出，即易证，推出，．由，即可推出，即得到，从而证明了．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
18．鸡场的长与宽各为20米，15米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设鸡场的宽为x米，则长为米，根据长方形面积计算公式列方程求解即可．
【详解】解：设鸡场的宽为x米，则长为米，
由题意得，，
整理得，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴鸡场的长与宽各为20米，15米．
19．，
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质，三角形的外角，熟练正确相似三角形的性质是解题的关键．由得到，，代入数据即可求解，再根据外角结合等边三角形的内角为即可求出的度数．
【详解】解：为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．(1)6750元
(2)40元
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据总利润单件利润销售数量，即可求出结果；
（2）设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，再根据总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
（元），
答：销售这种纪念品的利润为6750元；
（2）解：设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
解得：，，
又∵要使消费者得到实惠，
∴，
∴定价为：元，
答：售价应定为40元．
21．(1)见解析
(2)菱形，见解析
【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法求解即可；
（2）首先证明出，得到，然后结合证明出四边形是平行四边形，然后利用即可证明出四边形是菱形．
【详解】（1）所求垂直平分线如图所示：·

（2）四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)D
(2)，2，12，
(3)图见解析，，
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；
（3）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）∵用几何法对一元二次方程进行求解的方法，
∴这一过程体现的数学思想是数形结合思想
故选：D；
（2）解：根据题意可得：
大正方形的边长为：，
小正方形的边长为：，
长方形面积之和为：，
大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
；
（3）解：第一步：将原方程变形为，即，
第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，

第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为，
小正方形边长为常数，
长方形面积之和为常数，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
得方程，
两边开方可求得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
23．（1）见解析；（2）矩形，理由见解析；（3）或
【分析】（1）在菱形中，，由，得到，等量代换，则；
（2）在菱形和菱形中，得到，，故可得四边形是平行四边形，再证明出，则四边形为矩形；
（3）当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为，①点在上时，连接，连接，交于点，可知旋转后，得到旋转角，求出，在菱形中，继而判断出点落在上，显然，则在中由勾股定理得：，而，故，在中，；②点在延长线上时，同上可得：，则，那么，仍然可得点在延长线上，此时，在中，．
【详解】（1）证明：在菱形中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：四边形为矩形，理由如下：
证明：在菱形和菱形中，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（3）解：当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为，
①点在上时，连接，连接，交于点,

∵四边形是菱形，
∴，
则旋转后，
∵，
∴，
∴旋转角，
∵，
∴
∵菱形，，
∴，
∴点落在上，
∴
∵菱形，
∴，
∴，
在中由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
②点在延长线上时，
同上可得：，
∴，
∴，
∴点在延长线上，
此时，
∴在中，，
综上所述：点在延长线上时，当，所在直线与所在直线互相垂直时，点到的距离为或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，对图形的旋转变化的画图能力要求比较高，难点在于最后一问容易漏解．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
C
C
B
C
C
A