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2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）
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这是一份2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期10月月考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=−1,0,1,2，集合B=x|−1A. 0,1B. −1,0,1C. −1,0,1,2D. 0
2.在复平面内，复数z=−i1−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则A−35,−45，则tanα=( )
A. 34B. 43C. −34D. −43
4.在等差数列an中，a2=1,a4=5，则a8=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
5.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是
A. y=x12B. y=2−xC. y=lg12xD. y=1x
6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B=30∘,a=1,c= 3，则b=( )
A. 1B. 3C. 2D. 7
7.已知ax−1 x6的展开式中，常数项为60，则a的值为( )
A. 2B. 2，−2C. 3D. 3，−3
8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2–m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2).已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.1
9.已知等差数列an的公差为π3，且集合M=xx=sinan,n∈N∗中有且只有4个元素，则M中的所有元素之积为( )
A. 14B. −14C. 116D. 34
10.已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=lnx的图象上的两个不同的点，则( )
A. ey1+y2>x1+x22B. ey1+y2x12+x222D. ey1+y2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数2024−2025i的虚部是 ．
12.已知扇形AOB的面积为2π3，圆心角为60∘，则该扇形的半径为 ，弧长为 ．
13.在▵ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则最大角的正弦值为 ．
14.已知函数f(x)=12x,&x≤a,2x,&x>a.
①当a=0时，f(x)的值域为 ；
②若关于x的方程f(−x)=f(x)恰有2个正实数解，则a的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)=sinx+csxsin2x，则下列说法正确的有 ．
①函数f(x)的图象关于直线x=π对称；②2π是函数f(x)的周期
③函数f(x)在区间−π2,0上单调递减；④当x∈0,π2时，f(x)≥ 2
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在▵ABC中，bsin2A= 3asinB．
(1)求∠A；
(2)当▵ABC的面积为3 3，bc=3 34，求a的值．
17.(本小题12分)
已知{an}是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=2，a3+a5=22，b2b4=b6．
(1)数列{an}和bn的通项公式；
(2)设cn=an−bn，求数列cn前n项和．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，D是边AC上一点，CD=1，BD=2，AB=3，cs∠BDC=18．
(1)求AD的长；
(2)求▵ABC的面积．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφω>0,|φ|<π2．
(1)若f(0)=− 32，求φ的值．
(2)已知f(x)在区间−π3,2π3上单调递增，f2π3=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
条件①：fπ3= 2；
条件②：f−π3=−1；
条件③：f(x)在区间−π2,−π3上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题12分)
函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示．
(1)求函数fx的解析式；
(2)将函数fx的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数gx的图象，求gx在x∈−π12,π6上的最大值和最小值；
(3)若关于x的方程gx−m=0在x∈−π12,π6上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数fx=3−2xx2+a．
(1)若a=0，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若fx在x=−1处取得极值，求fx的单调区间，以及其最大值与最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.A
9.A
10.D
11.−2025
12.2 2π3/23π
13. 154/14 15
14.(0 , +∞)，[−1 , 1)
15.②③④
16.(1)因为bsin2A= 3asinB，由正弦定理得，sinBsin2A= 3sinAsinB，
又B∈0,π，所以sinB≠0，得到sin2A= 3sinA，
又sin2A=2sinAcsA，所以2sinAcsA= 3sinA，
又A∈0,π，所以sinA≠0，得到csA= 32，
所以A=π6．
(2)因为S▵ABC=12bcsinA=12bcsinπ6=14bc=3 3，所以bc=12 3，
又bc=3 34，得到b=3 34c，
代入bc=12 3，得到3 34c2=12 3，
解得c=4，所以b=3 3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA=(3 3)2+42−2×3 3×4× 32=27+16−36=7，
所以a= 7．
17.(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.因为a3+a5=2a4=22，所以a4=11=2+3d.解得d=3.又因为b2b4=b1b5=b6=qb5，所以q=b1=2.所以an=3n−1,bn=2n,n∈N∗．
(2)由(1)知，an=3n−1,bn=2n,n∈N∗．
因此cn=an−bn=3n−1−2n
数列an前n项和为n2+3n−12=3n2+n2．
数列bn的前n项和为21−2n1−2=2n+1−2．
所以，数列cn前n项和为3n2+n2−2n+1+2,n∈N∗．
18.(1)因为cs∠BDC=18，
则cs∠ADB=csπ−∠BDC=−cs∠BDC=−18，BD=2，AB=3，
▵ABD中，AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs∠ADB，
即9=AD2+4−2×2×AD×−18，解得：AD=2或AD=−52(舍)，
所以AD=2；
(2)csA=AB2+AD2−BD22⋅AB⋅AD=9+4−42×3×2=34，
因为0所以sinA= 1−cs2A= 74，AC=AD+DC=2+1=3，
所以S▵ABC=12×AB×AC×sinA=12×3×3× 74=9 78．
19.解：(1)因为f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ,ω>0,|φ|<π2
所以f(0)=sinω⋅0csφ+csω⋅0sinφ=sinφ=− 32，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3．
(2)因为f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ,ω>0,|φ|<π2，
所以f(x)=sinωx+φ,ω>0,|φ|<π2，所以f(x)的最大值为1，最小值为−1 ．
若选条件①：因为f(x)=sinωx+φ的最大值为1，最小值为−1，
所以f(π3)= 2>1无解，故条件①不能使函数f(x)存在；
若选条件②：因为f(x)在−π3,2π3上单调递增，且f2π3=1，f−π3=−1
所以T2=2π3−−π3=π，所以T=2π，ω=2πT=1，
所以f(x)=sinx+φ，
又因为f−π3=−1，所以sin−π3+φ=−1，
所以−π3+φ=−π2+2kπ,k∈Z，
所以φ=−π6+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=−π6．
所以ω=1，φ=−π6；
若选条件③：因为f(x)在−π3,2π3上单调递增，在−π2,−π3上单调递减，
所以f(x)在x=−π3处取得最小值−1，即f−π3=−1．
以下与条件②相同．
20.(1)由函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象可知A=2，
∵1112π−16π=34T，∴T=π，ω=2πT=2，又fπ6=2，
∴2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，由φ<π2可得φ=π6，
∴fx=2sin2x+π6；
(2)将fx向右平移π4个单位，得到y=2sin2x−π4+π6=2sin2x−π3，
再将所有点的横坐标缩短为原来的12，得到gx=2sin4x−π3，
令t=4x−π3，由x∈−π12,π6，可得t∈−2π3,π3，
因为函数y=2sint在−2π3,−π2上单调递减，在−π2,π3上单调递增，
又2sin−π2=−2，2sinπ3= 3，2sin−2π3=− 3，
可得gxmax= 3，gxmin=−2；
(3)因为关于x的方程gx−m=0在x∈−π12,π6上有两个不等实根，
即y=m与y=g(x)的图象在x∈−π12,π6有两个交点．
由图象可知符合题意的m的取值范围为−2
21.解：(1)当a=0时，fx=3−2xx2，则f′x=2x−3x3，∴f1=1，f′1=−4，
此时，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=−4x−1，即4x+y−5=0；
(2)因为fx=3−2xx2+a，则f′x=−2x2+a−2x3−2xx2+a2=2x2−3x−ax2+a2，
由题意可得f′−1=24−aa+12=0，解得a=4，
故fx=3−2xx2+4，f′x=2x+1x−4x2+42，列表如下：
所以，函数fx的增区间为−∞,−1、4,+∞，单调递减区间为−1,4．
当x<32时，fx>0；当x>32时，fx<0．
所以，fxmax=f−1=1，fxmin=f4=−14． x
−∞,−1
−1
−1,4
4
4,+∞
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
1.已知集合A=−1,0,1,2，集合B=x|−1
2.在复平面内，复数z=−i1−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则A−35,−45，则tanα=( )
A. 34B. 43C. −34D. −43
4.在等差数列an中，a2=1,a4=5，则a8=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
5.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是
A. y=x12B. y=2−xC. y=lg12xD. y=1x
6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B=30∘,a=1,c= 3，则b=( )
A. 1B. 3C. 2D. 7
7.已知ax−1 x6的展开式中，常数项为60，则a的值为( )
A. 2B. 2，−2C. 3D. 3，−3
8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2–m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2).已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.1
9.已知等差数列an的公差为π3，且集合M=xx=sinan,n∈N∗中有且只有4个元素，则M中的所有元素之积为( )
A. 14B. −14C. 116D. 34
10.已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=lnx的图象上的两个不同的点，则( )
A. ey1+y2>x1+x22B. ey1+y2
11.复数2024−2025i的虚部是 ．
12.已知扇形AOB的面积为2π3，圆心角为60∘，则该扇形的半径为 ，弧长为 ．
13.在▵ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则最大角的正弦值为 ．
14.已知函数f(x)=12x,&x≤a,2x,&x>a.
①当a=0时，f(x)的值域为 ；
②若关于x的方程f(−x)=f(x)恰有2个正实数解，则a的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)=sinx+csxsin2x，则下列说法正确的有 ．
①函数f(x)的图象关于直线x=π对称；②2π是函数f(x)的周期
③函数f(x)在区间−π2,0上单调递减；④当x∈0,π2时，f(x)≥ 2
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在▵ABC中，bsin2A= 3asinB．
(1)求∠A；
(2)当▵ABC的面积为3 3，bc=3 34，求a的值．
17.(本小题12分)
已知{an}是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=2，a3+a5=22，b2b4=b6．
(1)数列{an}和bn的通项公式；
(2)设cn=an−bn，求数列cn前n项和．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，D是边AC上一点，CD=1，BD=2，AB=3，cs∠BDC=18．
(1)求AD的长；
(2)求▵ABC的面积．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφω>0,|φ|<π2．
(1)若f(0)=− 32，求φ的值．
(2)已知f(x)在区间−π3,2π3上单调递增，f2π3=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
条件①：fπ3= 2；
条件②：f−π3=−1；
条件③：f(x)在区间−π2,−π3上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题12分)
函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示．
(1)求函数fx的解析式；
(2)将函数fx的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数gx的图象，求gx在x∈−π12,π6上的最大值和最小值；
(3)若关于x的方程gx−m=0在x∈−π12,π6上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数fx=3−2xx2+a．
(1)若a=0，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若fx在x=−1处取得极值，求fx的单调区间，以及其最大值与最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.A
9.A
10.D
11.−2025
12.2 2π3/23π
13. 154/14 15
14.(0 , +∞)，[−1 , 1)
15.②③④
16.(1)因为bsin2A= 3asinB，由正弦定理得，sinBsin2A= 3sinAsinB，
又B∈0,π，所以sinB≠0，得到sin2A= 3sinA，
又sin2A=2sinAcsA，所以2sinAcsA= 3sinA，
又A∈0,π，所以sinA≠0，得到csA= 32，
所以A=π6．
(2)因为S▵ABC=12bcsinA=12bcsinπ6=14bc=3 3，所以bc=12 3，
又bc=3 34，得到b=3 34c，
代入bc=12 3，得到3 34c2=12 3，
解得c=4，所以b=3 3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA=(3 3)2+42−2×3 3×4× 32=27+16−36=7，
所以a= 7．
17.(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.因为a3+a5=2a4=22，所以a4=11=2+3d.解得d=3.又因为b2b4=b1b5=b6=qb5，所以q=b1=2.所以an=3n−1,bn=2n,n∈N∗．
(2)由(1)知，an=3n−1,bn=2n,n∈N∗．
因此cn=an−bn=3n−1−2n
数列an前n项和为n2+3n−12=3n2+n2．
数列bn的前n项和为21−2n1−2=2n+1−2．
所以，数列cn前n项和为3n2+n2−2n+1+2,n∈N∗．
18.(1)因为cs∠BDC=18，
则cs∠ADB=csπ−∠BDC=−cs∠BDC=−18，BD=2，AB=3，
▵ABD中，AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs∠ADB，
即9=AD2+4−2×2×AD×−18，解得：AD=2或AD=−52(舍)，
所以AD=2；
(2)csA=AB2+AD2−BD22⋅AB⋅AD=9+4−42×3×2=34，
因为0
所以S▵ABC=12×AB×AC×sinA=12×3×3× 74=9 78．
19.解：(1)因为f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ,ω>0,|φ|<π2
所以f(0)=sinω⋅0csφ+csω⋅0sinφ=sinφ=− 32，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3．
(2)因为f(x)=sinωxcsφ+csωxsinφ,ω>0,|φ|<π2，
所以f(x)=sinωx+φ,ω>0,|φ|<π2，所以f(x)的最大值为1，最小值为−1 ．
若选条件①：因为f(x)=sinωx+φ的最大值为1，最小值为−1，
所以f(π3)= 2>1无解，故条件①不能使函数f(x)存在；
若选条件②：因为f(x)在−π3,2π3上单调递增，且f2π3=1，f−π3=−1
所以T2=2π3−−π3=π，所以T=2π，ω=2πT=1，
所以f(x)=sinx+φ，
又因为f−π3=−1，所以sin−π3+φ=−1，
所以−π3+φ=−π2+2kπ,k∈Z，
所以φ=−π6+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=−π6．
所以ω=1，φ=−π6；
若选条件③：因为f(x)在−π3,2π3上单调递增，在−π2,−π3上单调递减，
所以f(x)在x=−π3处取得最小值−1，即f−π3=−1．
以下与条件②相同．
20.(1)由函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象可知A=2，
∵1112π−16π=34T，∴T=π，ω=2πT=2，又fπ6=2，
∴2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，由φ<π2可得φ=π6，
∴fx=2sin2x+π6；
(2)将fx向右平移π4个单位，得到y=2sin2x−π4+π6=2sin2x−π3，
再将所有点的横坐标缩短为原来的12，得到gx=2sin4x−π3，
令t=4x−π3，由x∈−π12,π6，可得t∈−2π3,π3，
因为函数y=2sint在−2π3,−π2上单调递减，在−π2,π3上单调递增，
又2sin−π2=−2，2sinπ3= 3，2sin−2π3=− 3，
可得gxmax= 3，gxmin=−2；
(3)因为关于x的方程gx−m=0在x∈−π12,π6上有两个不等实根，
即y=m与y=g(x)的图象在x∈−π12,π6有两个交点．
由图象可知符合题意的m的取值范围为−2
21.解：(1)当a=0时，fx=3−2xx2，则f′x=2x−3x3，∴f1=1，f′1=−4，
此时，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=−4x−1，即4x+y−5=0；
(2)因为fx=3−2xx2+a，则f′x=−2x2+a−2x3−2xx2+a2=2x2−3x−ax2+a2，
由题意可得f′−1=24−aa+12=0，解得a=4，
故fx=3−2xx2+4，f′x=2x+1x−4x2+42，列表如下：
所以，函数fx的增区间为−∞,−1、4,+∞，单调递减区间为−1,4．
当x<32时，fx>0；当x>32时，fx<0．
所以，fxmax=f−1=1，fxmin=f4=−14． x
−∞,−1
−1
−1,4
4
4,+∞
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
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