北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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2024.10
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算，再计算交集得到答案.
【详解】，
，.
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定，，，得到答案.
【详解】，，，故.
故选：D.
3. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断四个选项中的函数的奇偶性和在上的单调性，得到答案.
【详解】选项A中，，是奇函数，但在上单调递增，不满足要求；
选项B中，，是偶函数，不满足要求，
选项C中，，是奇函数，在上单调递减，满足要求；
选项D中，，是偶函数，不满足要求.
故选：C.
【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.
4. 在的展开式中，常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式可求常数项.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，则，故常数项为，
故选：C.
【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.
5. 已知函数，则函数（ ）
A. 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增
B. 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减
C. 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增
D. 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函数的定义判断函数的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数的单调性.
【详解】∵
∴，
∴ 函数为偶函数，
当时，，
∵ 函数在(0,+∞)上单调递增，函数在(0,+∞)上单调递减，
∴在(0,+∞)上单调递增，
即函数在(0,+∞)上单调递增.
故选：A.
6. 阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A. 是有理数B. 是无理数
C. 存在无理数a，b，使得为有理数D. 对任意无理数a，b，都有为无理数
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.
【详解】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.
故选：C
7. 若点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到，再根据二倍角公式计算得到答案.
【详解】，故，.
故选：C.
8. 已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】把函数拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.
【详解】当时，作出的图像，

可以看出时，函数在区间上存在零点，反之也成立，故选C.
【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.
9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为. 科学研究发现与成正比. 当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为. 当时，其耗氧量的单位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，利用当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为求出后可计算时鲑鱼耗氧量的单位数.
【详解】设，因为时，，故，
所以，故时，即.
故选：D.
【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.
10. 已知各项均为整数的数列满足，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C选项一定正确.
【详解】根据题意可知，又数列an的各项均为整数，所以最小可以取4，即；
同理可得，所以最小可以取7，即；
同理，所以最小可以取12，即，
即可以成立，因此可得A不一定正确；
同理易得；；；；
，即不成立，B错误；
又；；
；，
，即可得一定成立，即C正确；
显然若，则明显错误，即D错误.
故选：C
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数的虚部为________.
【答案】－1
【解析】
【详解】试题分析：，所以其虚部－1
考点：复数的虚部
12. 函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数的定义域求解即可.
【详解】因为的定义域为，
所以在上恒成立，即，
由于在上恒成立，故实数的取值范围为.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得.
【详解】由题可知，
所以，
，
令，则，
当时，，即，下面用数学归纳法证明
当时，成立，假设时，成立，
当时，，即时也成立，
所以时，，即，
所以时，，时，，
由当时，有最小值，最小值为.
故答案为：；.
14. 已知函数，的零点为__________，若存在实数使有三个不同的解，则实数的取值范围为__________.
【答案】 ①. 0 ②.
【解析】
【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.
【详解】令，可得，由可得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，即，
又，且时，，当时，gx>0，
令，其图象为过原点的一条直线，将的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：

当时，如下图，在上零点为0，

当时，如下图，在上的零点为0

当时，如下图，在上的零点为0，

综上可知，的零点为0；
当时，如下图所示，曲线与直线至多有两个交点，

当时，如下图所示，曲线与直线至多有三个交点，

当时，如下图所示，曲线与直线至多有两个交点；

综上可知，若使有三个不同的解，则实数的取值范围为.
故答案为：0；
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①当时，恰有2个零点；
②存在正数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有2个零点；
④对任意只有一个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②④
【解析】
【分析】把函数的零点个数问题，转化为函数与函数的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.
【详解】令，得，
函数的零点个数，即为方程的根的个数，
方程根个数，即为与函数的交点个数，
又函数是过定点的直线，
作出的图象如图所示，
当直线与函数有一个交点，
故有一个零点，故①错误；
当在第一象限与函数相切时，
函数有一个零点，故②正确；
函数绕着顺时针从转到时，两图象只有一个交点，
故时，函数只有一个零点，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点.点的纵坐标是，点的横坐标是.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义可得，再由二倍角公式计算可得；
（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.
【小问1详解】
由题可知，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于两点；
点的纵坐标是，点的横坐标是，
所以.
即可得.
【小问2详解】
由于，且，所以，
同理由于，
所以.
17. 某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
（1）求甲没有获得奖金的概率；
（2）求甲最终获得的奖金的分布列及期望；
（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，40（元）
（3）不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，从而求得对应的概率；
（2）易知的可能取值为，，，，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；
（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.
【小问1详解】
甲没有获得奖金，则题目A没有做对，
设甲没有获得奖金为事件，则.
【小问2详解】
分别用表示做对题目的事件，则相互独立.
由题意，的可能取值为.
;
.
所以甲最终获得的奖金的分布列为
（元）.
【小问3详解】
不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：
由（2）知，按照的顺序获得奖金的期望为40元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元；
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元；
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元，
若按照顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元，
显然按照的顺序获得奖金的期望最大.
18. 已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）将在区间上为增函数转化为在上恒成立，构造函数并求导得出其单调性，求出最大值可得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
易知
可得，
所以切线方程为.
【小问2详解】
易知
由函数在区间上为增函数，可得f′x≥0在上恒成立，
即在上恒成立，
令
法一：
令，得，
的变化情况如下：
所以为上的增函数，最大值为.
即的取值范围是.
法二：
当时，；
当时，.
综上，当时，为上的增函数，最大值为.
即的取值范围是.
19. 现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为.
（1）求出与的关系式；
（2）求该铁皮盒体积的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意得到，化简得到，并由实际情境得到；
（2）表达出，求导得到其单调性，进而得到最大值.
【小问1详解】
因为材料利用率为，
所以，即；
因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，
综上，，；
【小问2详解】
铁皮盒体积，
，令，得
的变化情况如下：
在上为增函数，在上为减函数，
则当时，取最大值，
最大值为.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，判断与的大小，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）单调递增区间为，单调递减区间为和；
（3），理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数求出函数的单调区间.
（3）构造函数，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.
【小问1详解】
函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
函数的定义域为，且，
当时，，当或时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和.
【小问3详解】
当时，，证明如下：
令，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，则，即，
函数在上为增函数，当时，，
所以.
21. 已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.
（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II）若为的“伴随数列”，证明：；
（III）已知数列存在“伴随数列”且求的最大值.
【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）详见解析；（III）.
【解析】
【分析】（I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.
（II）利用差比较法判断出的单调性，由此证得结论成立.
（III）利用累加法、放缩法求得关于的不等式，由此求得的最大值.
【详解】（I）不存在.理由如下：因为，所以数列不存在“伴随数列”.
（II）因为，
又因为，所以，所以，即，所以成立.
（III），都有，因为，，
所以，所以.
因为，
所以.
而，即，
所以，故.
由于，经验证可知.所以的最大值为.
【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.
题目
A
做对的概率
获得的奖金/元
20
40
80
0
20
60
140
0
+
0
+
20
+
0
-