北京市第八十中学2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷（Word版附解析）

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2024年10月
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知集合，集合，那么等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面，复数z对应的点坐标为，则（ ）
A. iB. -iC. D.
3. 若，则（ ）
A B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. “一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
8. 已知等差数列的前项和，则“”是“是递减数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在中，，，点在边上，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：
①若，则具有性质；
②若，则具有性质；
③若具有性质，则；
④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比取值范围为．
则所有正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知角，的终边关于原点O对称，则______．
12. 已知向量，且 与的夹角为，则_____________.
13. 等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______．
14. 设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________.
15. 在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论：
①线段长度的最大值为；
②存在点，使得；
③存在点，使得；
④是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．
16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分别是棱，的中点.求证：
（1）∥平面；
（2）.
17. 设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：在区间上单调递增；
条件③：足的一条对称轴．
18. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，求B最大时的面积．
19. 已知直线与函数的图象相切.
（1）求的值；
（2）求函数的极大值.
20. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数存在正零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记为的极值点，证明：.
21. 给定正整数，已知项数为且无重复项数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列；
（2）当时，证明：；
（3）当为奇数时，记的最大值为，求.