专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15854" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc15854 \h 1
\l "_Tc2100" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2100 \h 1
\l "_Tc16340" 题型一：倒序相加法 PAGEREF _Tc16340 \h 1
\l "_Tc16969" 题型二：通项为型求和 PAGEREF _Tc16969 \h 3
\l "_Tc14555" 题型三：通项为型求和 PAGEREF _Tc14555 \h 5
\l "_Tc11656" 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 PAGEREF _Tc11656 \h 7
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（ ）．
A．2012B．C．2013D．
3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为 .
5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
题型二：通项为型求和
1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．
2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值．
6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且．
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
题型三：通项为型求和
1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，若表示的前n项和，求；
(3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，．
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足，求的前2n项和．
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列数列的前项和为，求．
6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
7．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
8．（2024·广西贺州·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前30项的和.
15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)，求数列的前项和；